Home » Геометрия в школе » § 6. Общие пары соответственных точек двух преобразований (часть 1).

§ 6. Общие пары соответственных точек двух преобразований (часть 1).

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости.
§ 6. Общие пары соответственных точек двух преобразований.

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости.

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

(стр. 181-226)

§ 6. Общие пары соответственных точек двух преобразований. (часть 1).

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

Для двух обратимых отображений одного множества на другое
(или на себя), как для двух Множеств пар, может быть поставлен
вопрос о нахождении общих пар. Пара (Л; Лх) называется общей
парой двух обратимых отображений / и <р одного множества на другое
или на себя, если f (Л) = Аг и ф (Л) = Лх.
Множество общих пар двух обратимых отображений может
быть пустым. Оно может содержать один элемент (отображения
имеют единственную общую пару соответственных элементов).
Возможен случай, когда обратимые отображения имеют две и даже
бесконечное множество общих пар.
Как же выяснить, сколько общих пар имеют два обратимых
отображения и как найти эти пары?
Ответ на поставленные вопросы можно получить из следующей
теоремы.
Т е о р е м а . Если f и ф — два обратимых отображения одного
множества на другое (или на себя), то каждому неподвижному элементу
композиции ф — 1 о / соответствует общая пара соответственных
элементов данных отображений, и обратно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Л — неподвижный элемент
композиции ф-1 о /. Это значит, что
Ф-1 о / ( Л ) = Л .

212 Общие пары соответственных точек двух преобразований

Если / ( Л ) = В , т о ‘ и з последнего равенства получим, что
qr1 (В) = Л, или ф (Л) = В. Таким образом, (Л; В) — общая
пара отображений f и ф.
Доказательство обратного утверждения также очевидно.
Пусть / и ф — два обратимых отображения одного и того же
множества М на себя или на другое множество и N cz М. Если
/ (АО = Ni и ф (АО == Nl9 то (N; Nx) — общая пара соответственных
подмножеств двух обратимых отображений одного множества
М на другое или на себя.
Вопрос об общих парах соответственных подмножеств двух
обратимых отображений решается с помощью теоремы, аналогичной
предыдущей: если f и ф — два обратимых отображения одного
множества на другое ( и л и на себя), то каждому двойному подмножеству
композиции ф-1 of соответствует общая пара соответственных
подмножеств данных отображений, и обратно.
Доказательство этой теоремы ничем не отличается от предыдущего.
В частном случае, если / и ф — подобия плоскости, то каждой
двойной прямой (или любой другой двойной фигуре) композиции
Ф-1 • / соответствует общая пара прямых (других фигур), соответственных
при подобиях / и ф, и обратно.
Решение задач методом геометрических преобразований
Методика решения задач посредством геометрических преобразований
находится в стадии становления. Общепризнанно, например,
что методом преобразований можно решать не только задачи на
построение, как считалось по традиции прежде, но и задачи ка
доказательство, на нахождение множеств точек, а иногда и на вычисление.
Не вызывает сомнений и то, что применение композиций
преобразований-является мощным средством, повышающим эффективность
и результативность рассматриваемого метода. Знакомство
с общими свойствами обратимых отображений и специфическими
свойствами отдельных видов преобразований в немалой степени
обеспечивает успешность применения метода геометрических преобразований.
Однако приведенные выше методические приемы и выводы далеко
не исчерпывают всей проблемы. Ведь важно также знать,
какие задачи по содержанию целесообразно решать методом преобразований
и какие нет; какие именно преобразования могут обеспечить
решение той или иной-задачи; в какой мере желательно решать
задачи путем сочетания метода геометрических ^преобразований
и других методов (вычислений, дополнительных построений,
координат и т. д.); наконец, какие теоретические сведения (в дополнение
к тем, которые известны учащимся) могут содействовать
более успешному поиску и обнаружению решения.
Более детальное проведение анализа содержания задачи, например
выяснение, относится ли она к числу аффинных или метрических,
выявление возможности решить успешно более общую задачу,
а решение данной рассмотреть как специализацию обобщен

213 Общие пары соответственных точек двух преобразований

ной задачи, целесообразность замены данной задачи обратной ей,
с тем чтобы, обнаружив обратимые связи между взаимно-обратными
задачами, найти сначала решение обратной задачи, а затем получить
решение для исходной, — это те дополнительные методические
рекомендации и мотивы, которые призваны обогатить арсенал поисковых
средств в ходе решения задач.
Нельзя не сказать, что крайне важно увидеть преобразования в
геометрических фигурах, уметь перевести задачу на язык геометрических
преобразований, затем применить известные свойства преобразований
и их композиций и, наконец, полученные выводы истолковать
с точки зрения содержания поставленной задачи и получения
искомого ответа на вопрос задачи.
Из сказанного видно, что, прежде чем приступить к решению содержательных
геометрических задач методом геометрических преобразований,
необходимо решать задачи специальные, задачи, тематика
которых относится к самой теории преобразований, важно
овладеть техникой прямых вычислений с композициями различных
преобразований: осевых и центральных симметрий, поворотов, переносов,
гомотетий, преобразований подобия первого и второго рода.
После того как действия с преобразованиями усвоены, целесообразно
решать смешанные задачи, в условии которых содержится
геометрический факт в сочетании с конкретным преобразованием.
И уже на базе этих умений можно надеяться, что решающий задачу,
в условии которой не содержится геометрического преобразования
в явной форме, найдет верный план ее решения, основанный
на использовании как теоретических сведений, так и выработанных
практических навыков в обращении с конкретными преобразованиями.
Нет надобности особо останавливаться на необходимости решать
задачи на применение геометрических преобразований в определенной
системе— с постепенным нарастанием трудности, разнообразия
применяемых теоретических средств, общности содержания
задачи. Однако ниже мы не будем строго придерживаться этих
общепринятых методических требований, так как такая система
и последовательность потребовали бы слишком много места и, главное,
подготовленный читатель эти известные дидактические требования
учтет при практическом использовании материала статьи.
Мы приведем решения лишь некоторых из наиболее характерных
задач. При этом будем предварительно указывать применяемое
теоретическое положение.
1. Точка и ее образ при гомотетии лежат на одной прямой с
центром гомотетии.

214 Общие пары соответственных точек двух преобразований

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.


Похожие статьи:
Школьная Математика
Школьный курс математикиШкольная математика скачатьШкольные учебники по математике.
Школьные задачи по математикеМатематика 1 класс. Математика 2 КЛАСС. Математика 3 КЛАСС. 

About

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Статистика


Яндекс.Метрика