Арккосинус

| ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Арккосинус

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 2: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

§ 2.8. Арккосинус

Зададим число р, удовлетворяющее условию | Р | ^ 1 .
Покажем, что существует единственное число а, удовлетворяющее
неравенствам 0 а ^ я , косинус которого равен
Р:
cos а = р.
Рассмотрим числовую окружность в системе координат
хОу. Проведем прямую х = $. Так как | Р | ^ 1 , то
эта прямая .пересечет верхнюю полуокружность в точке
с абсциссой # = Р, причем эта точка единственная (рис. 48).
Это означает, что существует единственное число а из
отрезка [0 , я], косинус которого равен р.

48

Арккосинус

Число а из отрезка [0, я], косинус которого равен Р,
называется арккосинусом р и обозначается arccosp.
Нтт апример, arccosOг, = yл ; arccos у1 = -яj ; arccos—V 2 п
V~3 \ _ 5л
6 ’ arccos 1 = 0 ; arccos arccos(—1) = л.
Заметим, что arccos p, где | P | > 1, не имеет смысла,
цотому что модуль косинуса любого числа не превышает 1 .
Например, arccos 2 не имеет смысла.
Из определения арккосинуса следует, что если
— 1 < р < 1 , то
cos (arccos Р) = р.
С помощью арккосинуса можно записать все решения
уравнения
cosa = p, (14)
т. е. все а , для которых выполняется равенство (14).
Если Р > 1 , то уравнение (14) не имеет решений.
Если Р < 1, то прямая л: = Р пересекает числовую
окружность в двух точках a t = arccosp и а 2 = — arccosp
(рис. 49) решения уравнения (14) можно записать так:
а = arccos р + 2 Ая, (15) ^
а — — arccos р +2Ая, (15)„
где k— любое целое число. Объединим формулы (15), и
(15)2 в одну:
а = ± arccos Р + 2 kn, (15)
где k—любое целое число. Формула (15) дает все решения
уравнения (14) и при |р | = 1 .
Пр и м е ры .
1. Решениями уравнения c o s a = — 1 являются все а=*
= я + 2/гя, где k—любое целое число (рис. 50, а).
2. Решениями уравнения c o s a = l являются все а —
0—j-2/ел = 2Ая, где k—любое целое число (рис. 50, б).
3. Решениями уравнения cos 2 а = 0 являются все 2 а =
-^-j-Ая, а = — ^ + — ^ , где k — любое целое число (рис. 50, б).

Арккосинус

4. Решениями уравнения cos а = у являются все а =
± arccos у + 2&Я, где k—любое целое число.

УПРАЖНЕНИЯ

1 . Что называется арккосинусом числа Р? Для каких
arccosp определен, для каких нет?
2. Вычислите arccosp, если
а) Р = 1 ; б) Р = 0; в) р = —1; г) р =
е) Р = у ; Ж) р = — J-, з ) Р — о 2.
3. На числовой окружности постройте точки:
a)Ч arccos 1 ; б) arccos —1 ; в)Ч arccos —3 ; 4
г) arccos ( — у ) : Д) arccos (— ‘* е)
4. Упростите выражение;
a) cos ^arccos ; б) cos (arccos 0 );
в) arccos f cos
д) arccos ( sin
arccos — г
г) arccos (^cos
e) arccos (sin 0 ).
5. Решите уравнение:
a) c o s a = 0 ; 6 ) c o s a = l ; в) c o s a = — 1 ;
r)ч cos a = y1 ; д)ч cos a = у1 ; e)ч cos a = Vу»2 ;
1 2 ж) c o s a = y ; з) c o s a = — 0 , 1 ; и) cos = — j ;
6 . a) co s3 a = 0 ; 6 ) cos-i-“ = y ; c o s 0 ,2 a = l .
7. При каких x равенство
a) cos (arccos x) — x\ 6) arccos (cos x) = x
выполняется, при каких нет? Приведите примеры.
8 . На числовой окружности задана точка а 1 (рис. 51).
Укажите на числовой окружности точку а 2 = arccos (cos а Д

48

9. Докажите, что
а) arcsin х -f arccos х = ^ !
б) sin (arccos х) — V 1—х 2, | х | < ! 1 ;
в) cos (arcsin х) — V 1 —х 2, | х | ^ 1 .

49

#Арккосинус #функция #математика #анализ #математический_анализ

Школьная математика
Математика в школе

Околоadmin