дома » Библиотека учителя » а* для целых и рациональных х

а* для целых и рациональных х

а* для целых и рациональных х

| Показательная, логарифмическая
И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ

а* для целых и рациональных х.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 4: Показательная, логарифмическая И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 4. Показательная, логарифмическая
И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ

§ 4.2. а* для целых и рациональных х

Если п— натуральное число, то число ап определяется
как произведение ап — а . . . а из п сомножителей, каждый
из которых равен а, а число а~п — при помощи равенства
а~п = -апп .
По определению а0 = 1, а}— а.
Этим функция ах определена для любых целых п
(я = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) . Свойства (1) — (7) для целых х
проверяются легко. Если q— натуральное, то число а 1^
определяется как арифметическое значение корня q-й степени
из а, т. е. a}lq — У а есть такое неотрицательное
число, q-я степень которого равна а:
[ax’q)q = а.
На самом деле это число положительное,
потому что q- я степень
нуля есть нуль, а в данном случае
а > 0.
Возникает вопрос о существовании
числа al,Q, т. е. есть ли на самом
деле такое положительное число, q-я
степень которого равна а. Да, есть.
Убедимся в этом. Функция
У = х*.
где q—натуральное число, имеет для значений х ^ О график
Г вида, как на рис. 76. Ордината у точек Г непрерывно
возрастает от 0 до + оо, когда ее абсцисса непрерывно
возрастает от 0 до + оо. Проведем выше оси х
прямую, параллельную оси х, на расстоянии, равном а.

87

Она пересекает Г в одной-единственной точке А, абсциссу
которой обозначим через Ь:
Ьч = а.
Следовательно,
b = a llQ.
Мы доказали существование числа b — ax!q графическим
методом. Можно доказать это и формально, не обращаясь
к графику. Число b—единственное: любое другое число,
возведенное в степень q, дает число либо большее, чем а,
либо меньшее, чем а.
Из единственности вытекает следующий факт: если А
и В — положительные числа и
Ач = Вч,
то
А —В.
В самом деле, А и В суть арифметические значения
корня q-й степени из одного и того же числа. Но тогда
А = В, потому что арифметическое значение корня q-й
степени из положительного числа единственно.
Пусть теперь p/q есть произвольное положительное
рациональное число (р и q—целые, ^ > 0).
По определению
др/? = [al/Q)p = (аР)11″ или aP<q — ( а)р = У a f , (8)
Здесь первое равенство дает определение ap/Q, второе же
можно доказать. В самом деле, если возвести третий член
в (8) в q-ю степень, то получим аР, а если возвести второй
член (8) в q-ю степень, то тоже получим аР\
( У а ) г ^ \ ( У а У У = аР.
Этим функция ах определена для любых рациональных
х. Ее свойства (1) — (7) п. 4.1 для рациональных
х, у вытекают из соответствующих свойств корней. Например,
если х = — , у = — дроби (q s q, s—натуральные и р,

88

ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

#ОБЩАЯ_СТЕПЕННАЯ_ФУНКЦИЯ #математика #анализ #математический_анализ

Школьная математика
Математика в школе

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика