§ 11. Биквадратные уравнения
ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Уравнение вида называется биквадратным уравнением. Решение биквадратного уравнения
легко сводится к решению квадратного уравнения с последующим
извлечением квадратного корня.
Для этого достаточно принять за новую неизвестную у = х г.
Ввиду того, что
* 4 = (x*)s ==y4,
биквадратное уравнение относительно х является квадратным относительно
у . Решив это квадратное уравнение, мы получим, вообще
говоря, два значения для у. Извлекая из этих значений квадратные
корни (со знаками -f- и —), если это возможно, мы получим искомые
корни биквадратного уравнения.
Пример. Решить уравнение
х^ — 1 З*2 —j— 36 === 0.
Решение . Положим * 2= j / . Тогда * 4= j / 2, и уравнение преобразуется
в следующее:
У — 13у + 3б = 0.
Решая его, получим
13 . -1/^169 ~ 13 . 5 Л. .
У — 2 — у 4 ^ 6 — 2 2 ’ У *— ^ 2—
Итак, для * 2 имеются две возможности:
* а = 9, тогда jc = ± 3 ;
л:2 = 4, тогда х — ± 2.
Таким образом, данное биквадратное уравнение имеет четыре
корня:
х х = 3;. х % — — 3; * э = 2; * 4= — 2,
279 Биквадратные уравнения. Проект библиотека учителю.
Решение примера можно оформить по-другому, не вводя новой
буквы. Именно, записать данное уравнение в виде
(**)*_ 13* в + 36 = 0,
откуда
т. е.
х 2 = 9 или х* = 4.
Отсюда
x = db 3 или х = ± 2 .
Ответ. ± 3 , ± 2 .
Для биквадратного уравнения число действительных корней вдвое
больше числа положительных корней вспомогательного квадратного
уравнения ау* + £у + с = 0.
Упражнения
Решить уравнения:
1. х*—5л;8-{-4 = 0. а х* + 6л:8 — 40 = 0. 5. л* + лг* + 1 = 0 .
2. л:4— Юл:2 + 1 = 0 , 4. л:4 + Злг* + 2 = 0.
§ 12. Некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным
посредством введения нового неизвестного
Способ упрощения уравнения посредством введения нового неизвестного
применим не только к биквадратным уравнениям. Решение
весьма многих уравнений может быть упрощено при помощи этого
приема. Однако невозможно дать какие-либо исчерпывающие общие
указания относительно того, когда этот прием может быть применен
с успехом. Поэтому мы ограничимся лишь рассмотрением нескольких
примеров.
Пример. Решить уравнение
х + У х — 12 = 0.
Реше н и е . Это уравнение принадлежит к числу иррациональных
уравнений, так как в нем неизвестное х входит под знаком квадратного
корня. Посредством введения нового неизвестного оно легко
сводится к квадратному уравнению.
Действительно, положим ~\Гх=у. Тогда х —у 2 и, следовательно,
уравнение преобразуется к виду
y + j r — 12 = 0,
откуда
_У1 = 3; у г — — 4.
280 Биквадратные уравнения. Проект библиотека учителю.
Итак, ] / * = 3, откуда * = 9, или ] / * = — 4. Последнее равенство
невозможно, ибо под У~х мы должны понимать арифметическое
значение квадратного корня, которое не может быть отрицательным.
Ответ, * = 9.
Пример. Решить уравнение
(*2 + 4*)2 — 2 (* 2 + 4 * )— 15 = 0.
Решение. Данное уравнение есть уравнение четвертой степени —
после раскрытия скобок и приведения подобных членов в левой
части окажется многочлен четвертой степени относительно неизвестного
*. Решение уравнений четвертой степени в общем виде весьма
сложно. Однако решение данного выше уравнения не представляет
никакого труда.
Введем новое неизвестное: у = х*~\- 4х. Относительно этого нового
неизвестного уравнение будет уже квадратным
у 2 — 2у — 15 = 0.
Решая его получим
У1 = — 3; у* = 5.
Таким образом,
* 2- |-4 * = — 3 или * 2-}-4* = 5.
В первом случае имеем
*2 + 4* + 3 = 0,
откуда
X j — —“ 3, *2 —- 1 •
Во втором случае получаем
* 2 -|- 4* — 5 = 0,
откуда
* 3 = 1; * 4 = — 5.
Итак, данное уравнение имеет четыре решения:
* i = — 3; *а = — 1; * з = 1 ; * 4 = — 5.
Ответ. х х = — 3; * 2 = — 1; * 3= 1; * 4 = — 5.
Подстановка * 2-{-4х = у в последнем примере подсказывалась
самим видом уравнения. Аналогичная подстановка применима к любому
уравнению вида
^ (*2 + m x f -j- р (*2 тх) + ^ = 0.
Некоторые уравнения четвертой степени можно привести к такому виду
посредством несложного преобразования левой части.
Пр име р . Решить уравнение
х 4 + 2х* — 4лг2—5* — 6 = 0.
281 Биквадратные уравнения. Проект библиотека учителю.
Р еше н и е . Это уравнение легко приводится к виду, подобному разобранному
в предыдущем примере. Действительно, преобразуем левую часть
уравнения, выделив из третьего члена такое слагаемое, которое вместе с
первыми двумя образует квадрат суммы. За такое слагаемое нужно взять лг*.
Получим
Указанный в этом параграфе прием можно применить, конечно, не
к любому уравнению четвертой степени. Но в каждом частном случае
легко проверяется, возможно ли применение этого приема или нет.
282 Биквадратные уравнения. Проект библиотека учителю.
Comments