Home » Геометрия в школе » Г. И. Саранцев. О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. § 3. Обучение решению задач координатным методом.

Г. И. Саранцев. О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. § 3. Обучение решению задач координатным методом.

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

Ю. М. Колягин. Д. С. Зейналов

Г. И. Саранцев. О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
§ 3. Обучение решению задач координатным методом.

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ВОПРОСЫ Г. И. Саранцев. О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

(стр. 84-125)

Г. И. Саранцев. О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
§ 3. Обучение решению задач координатным методом.

Координатный метод является одним из эффективных инструментов
решения задач. Он позволяет решать геометрические задачи
средствами алгебры, сводить построения к вычислениям. Зачастую
преобразования формул ведут к цели более простым и коротким
путем. Это и послужило обоснованием заявлению изобретателя
метода координат французского математика Рене Декарта: «Я решил
все задачи». Координатное решение позволяет охватить всевозможные
частные случаи. Важно и то, что для него не является
характерным выполнение вспомогательных построений. Использование
координатного метода способствует развитию вычислительных
и графических навыков, пространственных представлений,
геометрической интуиции учащихся, так как его применение связано
с выбором системы координат, вычислением координат точек,
с переводом языка уравнений и неравенств на язык геометрии и
наоборот.
В свою очередь координатный метод обогатил геометрической
наглядностью алгебру, что позволило сделать очевидными в геометрическом
представлении многие ранее непонятные в аналити

116 Обучение решению задач координатным методом.

ческой формулировке факты. Координатный метод позволяет представить
в наглядных геометрических образах течение различных
процессов, свойства уравнений, отсюда велика его политехническая
значимость.
Использование координатного метода при решении задач, так
же как и векторного, предполагает обычно выполнение трех этапов.
В геометрии эти этапы таковы: 1) перевод задачи на координатный
(аналитический) язык; 2) преобразование аналитического
выражения; 3) обратный перевод, т. е. перевод с координатного
языка на язык, в терминах которого сформулирована задача. Применение
координатного метода в алгебре связано с осуществлением
перевода аналитических соотношений, т. е. языка уравнений и неравенств,
в геометрические. Проиллюстрируем это на конкретных
примерах.
1. Найти множество точек, для каждой из которых расстояния
от двух данных точек равны.
Обозначим данные точки через Л и В. Выберем систему координат
так, чтобы’ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат
служила точка А. Положим, далее, \АВ\ = а, тогда в выбранной
системе координат: А (0; 0), В (а; 0). Точка М (х\ у) принадлежит
искомому множеству тогда и только тогда, когда \АМ\ = \МВ\У
или, что то же самое, | AM ]2 = \МВ\2. Используя формулу расстояний
от одной точки координатной плоскости до другой d2 — (xL —
— Д’о)2 + (Уг — У о)» гДе xi> У\ и х2> У 2 — координаты данных точек,
получаем: | AM |2 = х2 + у2, | МВ\2 ~ (х — a)2 -f у2. Тогда
х2 4- у2 = (л: — а)2 + у2. Равенство г2 + У2 = (х — а)2 + у2 и является
алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом
заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный
язык).
На втором этапе осуществляется преобразование полученного
выражения, в результате которого получаем соотношение х = —.
* 2
На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на
геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением
прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстоянии
d = у, т. е. срединного перпендикуляра к отрезку АВ.
2. Решить систему уравнений

Обучение решению задач координатным методом.

Обучение решению задач координатным методом.

На геометрическом языке в данной задаче требуется найти координаты
точек пересечения фигур, заданных данными уравнениями.
Первое из них является уравнением окружности с центром в начале
координат и радиусом, равным 1, второе — уравнением параболы
(первый этап).
На втором этапе осуществляется построение окружности и параболы
и нахождение координат их точек пересечения.

117 Обучение решению задач координатным методом.

На третьем этапе осуществляется перевод с геометрического
языка на алгебраический: абсциссы точек пересечения окружности и
параболы являются решением данной системы уравнений.
Применение координатного метода приводит к изящным решениям,
казалось бы, совсем «некоординатных» задач. Примером таких
задач может служить следующая: «Пункты А и В соединены
одноколейной железной дорогой, по которой как из пункта А в
пункт В, так и из пункта В в пункт А ходят поезда с остановками
на всех промежуточных станциях. Составить расписание их движения
».
Для ее решения надо выбрать прямоугольную систему координат,
на одной оси указать положение поезда между пунктами А и
В, на другой — время. В результате построения мы получим ломаную,
состоящую из наклонных звеньев, соответствующих движению,
и горизонтальных — остановкам на станциях. Ломаную,
изображающую движение встречного поезда, нужно провести так,
чтобы с построенной ломаной она пересеклась по одному из горизонтальных
участков. Таким же образом осуществляется построение
и других ломаных. После этого сетку линий на координатной
плоскости следует превратить в сетку расписания. Решения подобных
задач координатным методом рассматриваются в интересной
книге Ю. В. Пухначева и Ю. П. Попова «Математика без формул»
(Знание, 1978).
Однако применение координатного метода к решению алгебраических
задач не относится к кругу вопросов, обсуждаемых в данном
пособии, поэтому в дальнейшем речь будет идти только о координатном
методе решения планиметрических задач. Наибольшее распространение
среди таких задач имеют задачи двух видов: 1) на
обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между
длинами этих элементов; 2) на нахождение множеств точек, удовлетворяющих
определенным свойствам. Примером задач первого
вида может служить следующая: «В треугольнике ABC \АВ\ = су
\АС\ = b, \ВС\ = a, IBD] — медиана. Доказать, что
З а д а ч а : «Найти множество точек, для каждой из которых
разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина
постоянная» — является примером задач второго вида.
Поскольку в школьном курсе геометрии ограничиваются лишь
рассмотрением прямоугольной системы координадг, то координатный
метод в планиметрии особенно эффективен для установления
соотношений между длинами элементов треугольников и четырехугольников,
диагонали либо стороны которых перпендикулярны
(это упрощает введение прямоугольной системы координат).
Для разработки методики формирования умения применять
координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет
логическая структура решения задач мышлению решающего.

118 Обучение решению задач координатным методом.

Компоненты координатного метода решения задач
Проанализируем решения приведенных выше двух задач. В процессе
этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами
умения использовать координатный метод при решении задач.
Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное
формирование.
З а д а ч а 1. В Л АВС\АВ\ = су \АС\ = Ьу \ВС\ = a, [BD] —
q2 | — ^2 ^2
медиана. Доказать, что (BD ]2 == —-—- — —. /
Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом
координат, а (АС)— осью Ох. В выбранной системе координат
точки Л, С и D имеют следующие координаты: А (0; 0), D oj и
С (Ь\ 0). Итак, для решения,этой задачи необходимо овладение умением
оптимального выбора системы координат, в которой наиболее
просто находятся координаты данных точек. Последнее в свою очередь
определяет умение вычислять координаты заданных точек.
Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда, используя
формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными
своими координатами, получаем: я2 + у2 — с2 и (х — Ь)2, +
+ у2 = а2, (1) По той же формуле | BD |2 = — yj + у2, или
ь2 \BD\2 —х2 — хЬ + — + у2. Используя равенства (1), имеем:
Последнее предполагает умение находить расстояние между двумя
точками, заданными своими координатами, и умение вычислять
координаты точек, зная расстояние между ними. Очевидно, что
умение находить координаты заданных точек является обратным*
к умению строить точки по их заданным координатам.
Итак, для решения приведенной задачи необходимо овладение*
следующими умениями: а) строить точку по заданным координатам;
б) находить координаты заданных точек; в) вычислять расстояние
между точками, заданными координатами; г) оптимально
выбирать систему координат; д) преобразовывать алгебраические
равенства.
З а д а ч а 2. Найти множество точек, для каждой из которых
разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина
постоянная.
Обозначим данные точки через Л и В. Выберем систему координат
так, чтобы ось Ох совпала с прямой Л В, а началом координат
служила точка Л (умение оптимально выбирать систему координат).
Положим \АМ\ = а, тогда в выбранной системе координат
А (0; 0), В (а\ 0) (умение находить координаты заданных точек).
Точка М (х\ у) принадлежит искомому множеству тогда и только

119 Обучение решению задач координатным методом.

тогда, когда \АМ\2— |М£|2 = b, где Ь — постоянная величина
(умение составлять уравнение данной фигуры).
Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем:
| АМ |2 = + у2, |MB |2 = (х — а)2 + У2,
| AM |2 — | MB |2 — x2 + у2 — (x —a)2 —y = b
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)
или
Уравнение (1) является уравнением прямой, параллельной оси Оу
и отстоящей отточ1к и л на расстояниил а = |-— Ь!—+а (2у1 м, ение «видеть 2 а
за уравнением» конкретный геометрический образ).
Нетрудно усмотреть, что для решения и этой задачи необходимо
овладение перечисленными выше умениями. Кроме этого, для решения
приведенной задачи, а также и других задач второго вида
важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический
образ, которое является обратным к умению составлять уравнения
конкретных фигур.
К этому результату мы придем, анализируя решения других
задач координатным методом.
Выделенные умения являются основой при решении более сложных
задач. В качестве примера проанализируем решения двух таких
задач.
З а д а ч а 3. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны
и конгруэнтны. На его сторонах даны точки Р, Q, R, 5,
такие, что АР : РВ = BQ : QC = CR : RD = DS : SA. Доказать
перпендикулярность и конгруэнтность отрезков PR и QS.
Так как в данной задаче требуется доказать конгруэнтность
отрезков, что может быть сделано вычислением их длин, то одним
из методов ее решения может быть координатный. Целесообразность
выбора этого метода подкрепляется и тем, что диагонали данного
четырехугольника перпендикулярны, что позволяет легко ввести
в рассмотрение прямоугольную систему координат. Если рассмотреть
решение этой задачи (Математика в школе,. 1977, № 6), то нетрудно
установить, что выделенные выше умения являются основой
решения данной задачи.
Нетрудно усмотреть значимость овладения перечисленными
выше умениями и для решения этой задачи.
Итак, для решения задач координатным методом важно овладение
умениями: а) строить точку по ее координатам; б) находить
координаты заданных точек; в) вычислять расстояние между точками,
заданными координатами; г) оптимально выбирать систему
координат; д) составлять уравнение фигуры по ее характеристическому
свойству; е) видеть за уравнением конкретный геометрический
образ; ж) преобразовать алгебраические равенства.

120 Обучение решению задач координатным методом.

Наиболее эффективным средством формирования указанных умений
является использование специальных задач.
Задачи, формирующие координатный метод
Характер выявленных умений позволяет систематизировать задачи,
способствующие овладению координатным методом. Исходя
из этого, можно выделить следующие виды задач:
1) задачи на построение точки по ее координатам;
2) задачи на нахождение координат заданных точек;
3) задачи на вычисление расстояния между точками, заданными
координатами;
4) задачи на оптимальный выбор системы координат;
5) задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому
свойству;
6) задачи на определение фигуры по ее уравнению;
7) задачи на преобразование алгебраических равенств.
Приведем примеры таких задач. Зная характер умений, учитель
без труда сможет расширить этот список.
1. На координатной плоскости постройте точки А (2; 3),
В (—2; 1), С (0; 2).
2. Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную
систему координат и найдите в ней координаты заданных
точек.
3. Известно, что в некоторой системе координат: А (7; 2),
В (—7; 2). Восстановите систему координат.
4. Длина отрезка А В равна 5 см. а) Выберите систему координат,
в которой можно было бы наиболее просто определить координаты
концов отрезка, б) Выберите систему координат так, чтобы
координаты концов отрезка были бы: А (—2,5; 0), В (2,5; 0).
5. Треугольник ЛВС равносторонний (длина стороны равна
6 см). Выберите систему координат так, чтобы как можно проще
было бы определить координаты его вершин.
6. Точка М (х\ у) находится от начала координат и точки
Л (4; 0) соответственно на расстояниях 3 см и 4 см. Определите
координаты точки М.
7. Дан прямоугольник A BCD (1Л ВI = 2 см, | ВС | = 4 см).
Как выбрать систему координат, чтобы его вершины имели координаты
А (—1; —2), В (—1; 2), С (1; 2), D (1; —2)?
8. Длины сторон треугольника ЛВС равны 3, 4 и 5 см. Выберите
систему координат и определите в ней координаты вершин
треугольника ЛВС.
9. Вершины четырехугольника A BCD имеют следующие координаты:
Л (—3; 1), В (3; 6), С (2; 2) и D (—4; 3). Установите вид
четырехугольни ка.
10. Изобразите систему координат. Отметьте на оси Ох точки
Л и В. Запишите соотношения, которым удовлетворяют координаты
точек, принадлежащих: а) отрезку Л В; б) лучу Л В; в) лучу ВА.
11. Запишите уравнение прямой, содержащей начало координат
и^ точку Л (2; 5).

121 Обучение решению задач координатным методом.

У к а з а н и е . Координаты точек прямой, проходящей через
начало координат, удовлетворяют уравнению у = kx. Так как прямая
содержит точку А (2; 5), то 5 = 2k, или k = Следователь-
5 но, уравнением данной прямой служит уравнение у = —х.
12. Запишите уравнение прямой, содержащей точки А (1; 3)
и В (2; 7).
13. Изобразите на координатной плоскости произвольную прямую
и найдите ее уравнение.
14. Запишите соотношения, которым удовлетворяют координаты
точек прямоугольника с вершинами А (2; 3), В (2; 5), С (4; 5),
D (4; 3).
15. Запишите соотношения, которым удовлетворяют координаты
точек отрезка АВ, где А (2; 5), В (4; 7).
16. Что представляют собой множества точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют неравенствам: а) х ^ 3;
б) —5 ^ я ^ 0; в) х > 1; г) д: < — 2; д) \х\ ^ 2; е) \х\ > 2;
ж) \х\ > 0?
( О т в е т : а) полуплоскость; б) полоса без края х — 0; в) открытая
полуплоскость; д) полоса; е) объединение двух полуплоскостей;
ж) плоскость.)
17. Какую фигуру образует множество точек, координаты которых
удовлетворяют системе неравенств 2 ^ л : ^ 5 и 1 ^ у ^ 3?
В 8 классе изучаются отдельные виды перемещений на координатной
плоскости. Это дает возможность расширить систему координатных
упражнений в 5—8 классах. Использование нижеприведенных
упражнений способствует как овладению координатным
методом, так и усвоению перемещений на координатной плоскости.
18. Постройте точки, симметричные точкам А (2; —3), В (5; 0),
С (0; 7) относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) биссектрисы I и III
координатных углов. Запишите их координаты.
19. Установите, относительно какой из координатных осей
симметричны точки А (7; 2) и В (—7; 2).
20. Точки А (5; …),и В (…; 2) симметричны относительно оси
Ох. Запишите пропущенные координаты.
21. Постройте образы точек А (1; 5), В (—2; 3), С (3; 0) при параллельном
переносе: а) 0(0; 0) -> К (3; 0); б) О (0; 0) М (2; 3).
* Запишите их координаты.
22. С помощью какого параллельного переноса можно отобразить
точку М (—3; 4) на точку М’ (2; 4)?
23. Найдите на прямых у = —Зх 4- 1 и у == 2х + 3 точки, симметричные
относительно оси Ох.
Р е ш е н и е . Пусть точки А и В удовлетворяют условию задачи.
Если (а; Ь) — координаты точки Л, то (а; —Ь) — координаты
точки В. Так как А (а; Ь) принадлежит прямой у — —Зх + 1, то
b = —За + 1, а так как В [а; —Ь) нринадлежит прямой у = 2х+3,

122 Обучение решению задач координатным методом.

123 Обучение решению задач координатным методом.

то —b = 2а + 3. Решая систему уравнений (Ь = —За + 1,
\—b — 2а + 3,
найдем а и Ь.
Данную задачу можно решить геометрически. Для этого нужно
построить образ одной из данных прямых при симметрии с осью Ох
и найти точку пересечения ее с другой прямой. Полученная точка
является одной из искомых точек.
При решении подобных задач укрепляется мысль о том, что
геометрические задачи можно решать с помощью алгебры, т. е. формируется
представление о сущности координатного метода. Эти
задачи можно использовать на уроках алгебры.
24. Запишите уравнение прямой, на которую отображается прямая
у = 2х — 1,5 вектором т — (3; 4).
25. На прямых у — Зх + 2 и у — — Ъх + 5 найдите такие точки,
которые находятся одна от другой на расстоянии 5 см и принадлежат
прямой, параллельной оси Ох.
26. Выяснить, каким отображением является: композиция симметрий
относительно осей Ох и Оу и композиция симметрии относительно
оси Ох и симметрии относительно начала координат.
Р е ш е н и е .
х’ = X,
*
I I
1
х» = —х,
^Ох
0P N
с о
1
I I
V ,
/ = / ; S0y о S0x / = — У <
Следовательно, *5оу 0 ох — *
27, Установите координатную запись отображения, являющегося
композицией симметрии относительно оси Ох. и вектора
а (а || (Ох)).
Приведем еще примеры задач, решаемых координатным методом.
1. Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны,
то- треугольник равнобедренный.
2. Найти множество таких точек В, что расстояние от каждой
из них до одной данной точки в два раза больше расстояния до
другой данной точки.
3. Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний
от каждой из них до двух данных точек равно k.
4. Докажите, что уравнение окружности с центром в точке
С (а\ Ь) и радиусом г имеет вид: (х — а)2 + (у — Ь)2 — г2.
5. Запишите уравнение образа фигуры у = (х—2)2 при:
а) симметрии с осью Ох; б) при симметрии с осью Оу; в) при параллельном
переносе а = (2; 3).
6. Можно ли окружность (х — 2)2 + (у — З)2 = 25 отобразить
на окружность (х — З)2 + (у — 5)2 = 25 параллельным переносом?
7. Найдите угол между прямыми Зх — 4у + 6 = 0 и 12л; + 5у +
+ 8 = 0.

8. Запишите уравнение линии, являющейся образор окружности
у2 + х — 6х — 0 при гомотетии //о»2-
9. Определите расстояние от точки Л (—3; 4) до прямой у •=
= х,+ 2.
10. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют
следующие координаты: Л (0; —2), В (6; 2) и С (2; 4).
11. На прямой I даны три точки Л, В, С так, что точка В лежит
между точками Л и С. В одной полуплоскости с границей I построены
равносторонние треугольники А MB и BNC. Доказать, что середина
отрезка NA, середина отрезка МС и точка В являются вершинами
равностороннего треугольника.
12. Доказать, что для любой точки D, лежащей между вершинами
В я С треугольника ЛВС, справедливо равенство
| ЛВ j 2 * | DC | + \AC\2-\BD\ — | ЛО|2-| ВС| = ] BC\-\BD\-\DC\.
13. Дана окружность радиуса г и на ней точка Л. Найти множество
точек, делящих всевозможные хорды окружности, содержащие
точку Л, в одном и том же отношении к {к ф —1).
14. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратов расстояний
от произвольной точки, принадлежащей плоскости этого
прямоугольника до его вершин, в два раза больше Суммы квадратов
расстояний от этой точки до сторон прямоугольника.
15. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов
расстояний любой точки окружности до сторон квадрата
постоянна.
16. Доказать, что если через некоторую точку М провести
прямую, пересекающую окружность в точках Л и В, то произведение
\ МА \ * \МВ\ постоянно и не зависит от положения прямой.
17. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М,
для которых j МА |2 + | MCf = I AfB|2 + | MD |2. ( О т в е т : множество
точек М есть плоскость.)
18. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для
которых | МЛ | + | МС| == | МВ \ + I MD |. (О т в е т: пара прямых.)
19. Дан прямоугольный треугольник ЛВС (С == 90°). Найти
множество точек Р, для которых 2 | PC Г2 = | РА |2 + |РВ|2. (О т-
в е т: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М
гипотенузы А В и перпендикулярная к медиане СМ.)
Формирование выделенных умений — важный этап изучения
векторов и метода координат. Однако овладение ими еще не гарантирует
того, что учащиеся справятся с решением любой задачи рассмотренными
методами. Здесь важно овладение и общими приемами
решения задач; умением осуществлять поиск решения, умением
анализировать требование задачи, умением анализировать ее условие.
Закономерности поиска решения планиметрических задач,
состав и методика формирования умений анализировать требование
и условие задачи — важная методическая проблема, решение
которой будет способствовать совершенствованию преподавания
геометрии.

124 Обучение решению задач координатным методом.

ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебра 7, 8. Под ред. А. И. Маркушевича. Просвещение, 1978, 1974.
2. А р т е м о в А. К. Состав и методика геометрических умений школьников.
Приволжское книжное издательство, 1969.
3. Б о л т я н с к и й В. Г. и др. Геометрия 7, 8. Педагогика, 1974, 1977.
4. Геометрия 9, 10. Под ред 3. А. Скопеца. Просвещение, 1975, 1976.
5. Г у р о в а Л. Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж,
1976.
6. Г у с е в В. А. и др. Векторы в школьном курсе геометрии. Просвещение,
1976.
7. Г у с е в В. А., Х а н Д. И. Методика решения геометрических задач
с помощью векторов. — Математика в школе, 1978, № 3.
8. К а б а н о в а-М е л л е р Е. Н. Психология -формирования знаний
и навыков у школьников. Изд-во АПН РСФСР, 1962.
9. К л о н с к и й В . М . , Я г о д о в с к и й М . И . , С к о п е ц 3. А.
Применение элементов векторной алгебры к решению планиметрических задач. —
Математика в школе, 1975, № 6.
10. К о л м о г о р о в А. Н. и др. Геометрия VII, VIII. Просвещение,
1977, 1974.
11. К о л я г и н Ю. М. Задачи в обучении математике. Просвещение,
1977, ч. I—II.
12. Л е о н т ь е в А. Н. Опыт экспериментального исследования. Доклады
на совещании по вопросам психологии. М., 1954.
13. М а й о р о в В . М . , С к о п е ц 3. А. Векторное решение геометрических
задач. Просвещение, 1968.
14. М а к о в е й В. Г., М е л ь н и к Н. С. Применение векторов к решению
задач. — Математика в школе, 1978, № 2.
15. П о н о м а р е в Я. А. Развитие принципа решения задач. Доклады
АПН РСФСР, 1958, ‘№ 1.
16. П о н т р я г и н Л. С. Метод координат. Наука, 1977.

125 Обучение решению задач координатным методом.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

About

Статистика


Яндекс.Метрика