Home » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА


А. Б. Василевский
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
9—11 КЛАССЫ КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Задание 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Скачать бесплатно в формате PDF с хорошим качеством:  А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ «Задание 11-16».

Смотреть онлайн:

Для быстрого ознакомления:

Задание 11. МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
З а д а ч а 1. Сторона правильного треугольника ABC
равна 4 ем. Его сторона АВ параллельна плоскости
чертежа. Постройте параллельную проекцию этого
треугольника, если проектирующая прямая параллельна
стороне АС.
Р е ш е н и е . Параллельной проекцией данного
треугольника является отрезок длиною 4 см.
З а д а ч а 2. Плоскости аир пересекаются по прямой,
параллельной проектирующей прямой. Постройте
изображение плоскостей а и (3.
Р е ш е н и е . Изображением плоскостей а и (3 являются
пересекающиеся под любым углом две прямые.
З а д а ч а 3. Постройте изображение двух параллельных
несовпадающих плоскостей, параллельных
проектирующей прямой.
Р е ш е н и е . Изображением данных плоскостей являются
две параллельные несовпадающие прямые.
З а д а ч а 4. Постройте параллельную проекцию
правильного треугольника ABC , сторона которого 4 см,
если плоскость этого треугольника параллельна плоскости
проекции.
Р е ш е н и е . Параллельной проекцией треугольника
ABC является треугольник, равный данному.
З а д а ч а 5. Постройте изображение прямоугольного
равнобедренного треугольника АСВ , катет АС
которого равен 6 см, если плоскость АСВ параллельна
плоскости проекции.
Р е ш е н и е . Решением является всякий равнобедренный
прямоугольный треугольник.
З а д а ч а 6. Дана четырехугольная пирамида
MABCD. Ее основание — квадрат ABCD. Ребро AM
перпендикулярно плоскости ABC . Отрезки AM и АС
равны. Постройте изображение пирамиды на плоскости,
параллельной плоскости MAC , приняв прямую BD за
проектирующую.
З а д а ч а 7. Дана правильная четырехугольная
пирамида MABCD , все ребра которой равны между
собой. Точка Р — середина ребра МС. Диагонали BD и
АС основания пересекаются в точке Н. Постройте
изображение этой пирамиды на плоскости, параллельной
грани ВСМУ приняв за направление проектирования
прямую HP.
Р е ш е н и е . Треугольник ВСМ правильный и его

108 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

сначала строим правильный треугольник ВСМ (рис. 1).
Отрезок PH изображается точкой Р = Н\ (серединой
отрезка МС). Прямая AM параллельна прямой HP.
Поэтому ребро AM изображается точкой М = А. Строим
точку D , симметричную точке В относительно точки
р — Н. Получаем CBMD — изображение данной пирамиды.
З а д а ч а 8. Определите форму параллельной
проекции правильного тетраэдра DABC на плоскость,
параллельную ребрам АВ и CD.
Р е ш е н и е . Скрещивающиеся прямые АВ и CD
взаимно перпендикулярны и АВ = CD. Существует
единственная плоскость а, которой параллельны прямые
АВ и CD. За направление проектирования можно
принять любую прямую /, пересекающую плоскость а.
Если прямая I параллельна ребру ВС или АС, то
проекцией данного тетраэдра на плоскость а является
прямоугольный равнобедренный треугольник.
Если прямая / проходит через вершину С и середину
ребра АВ, то параллельной проекцией тетраэдра
на плоскость а является равнобедренный треугольник,
высота которого равна стороне основания.
Если прямая / проходит через середины ребер АВ
и CD, то параллельной проекцией данной пирамиды
будет квадрат.
Если прямая / проходит через произвольные внутренние
точки ребер АВ и CD, то параллельной проекцией
тетраэдра будет четырехугольник, диагонали которого
взаимно перпендикулярны.
Если прямая / проходит через вершину С и произвольную
точку М луча АВ, не принадлежащую отрезку
АВ, то параллельной проекцией тетраэдра является
неравнобедренный прямоугольный треугольник.
Параллельной проекцией данного правильного
тетраэдра могут быть и другие четырехугольники.
В частности, и равнобокая трапеция ABCD, у которой
боковые стороны АВ и CD взаимно перпендикулярны.
З а д а ч а 9. Дана призма ABCDA\B\C\D\, основанием
которой является трапеция (стороны ВС и AD
параллельны и AD = 2ВС). Точка Р делит ребро С\С
в отношении 1:2 (считая от вершины Ci). Постройте
такое изображение этой призмы, на котором:

109 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

а) сечение A\D\CB изображается отрезком А\В\
б) треугольник AD\P изображается отрезком ADi.
Р е ш е н и е , а ) Располагаем призму так, чтобы
грань АВВ[А\ была параллельна плоскости проекции.
Проектирующей прямой считаем прямую A\D\.
Решение показано на рисунке 2.
б) Спроектируем призму на плоскость грани
ADD\A\y приняв за направление проектирования прямую
D\P. Ответ показан на рисунке 3.
З а д а ч а 10. Можно ли две параллельные несовпадающие
прямые считать изображением скрещивающихся
прямых?
Р е ш е н и е . Ответ на вопрос задачи будет утвердительным,
если проектирующая прямая параллельна
двум параллельным плоскостям, каждая из которых
проходит через одну из данных скрещивающихся прямых.
З а д а ч а 11. На рисунке 4 изображена четырехугольная
пирамида MABCD , основанием которой
является параллелограмм ABCD . Точка Т не принадлежит
плоскостям MCD и ABC. Верно ли, что плоскости
PKF и TDH пересекаются по прямой РТ ?
Р е ш е н и е . Прямые FK и DH пересекаются в
точке X , которая принадлежит плоскости ABC , но не

110 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

принадлежит прямой Р Т . Поэтому плоскости P K F и
T D H не пересекаются по прямой Р Т .
З а д а ч а 12. Изображением какой пространственной
фигуры можно считать рисунок 5?
Возможные ответы:
1) Изображена треугольная пирамида CABD и ее
сечение плоскостью, проходящей через точки В, D и
середину М ребра АС.
2) Изображена правильная четырехугольная пирамида
с основанием ABCD и вершиной М. Высота этой
пирамиды изображена точкой М.
3) Изображена четырехугольная пирамида MABCD ,
основанием которой является параллелограмм ABCD ,
и ее диагональные сечения BDM и ACM. Эти сечения
изображаются диагоналями BD и АС параллелограмма.
4) Изображена четырехугольная пирамида, основанием
которой является параллелограмм ABCD , а
одно из боковых ребер которой перпендикулярно основанию.
5) Изображена прямая четырехугольная призма
(с основанием ABCD ). Отрезки АС и BD изображают
ее диагональные сечения, а точка М —отрезок, по
которому пересекаются эти сечения.
6) Изображены две правильные четырехугольные
пирамиды с общим основанием. Точка М является
изображением вершин этих пирамид и их высот.
7) Изображены две треугольные пирамиды с общей
вершиной М и основаниями ABC и ACD , которые
принадлежат одной плоскости.
8) Изображены две треугольные пирамиды, основания
ABC и ACD которых принадлежат одной плоскости.
Точка М является изображением вершин этих
пирамид, которые расположены по разные стороны
от плоскости ABC.
9) Изображен октаэдр ABCDMK. Точка М является
изображением его диагонали М/С
З а д а ч а 13. Изображением какой пространственной
фигуры можно считать рисунок 6 (АВКР и
KPDC — равные квадраты)?

111 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

 

112 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

Возможные ответы:
1) Изображена правильная четырехугольная пирамида
с основанием ABCD и вершиной М.
2) Изображен куб, две боковые грани которого
параллельны плоскости проекции. Его верхнее и нижнее
основания изображены соответственно отрезками ВС
и AD. Параллелограмм АКСР является изображением
одного из диагональных сечений куба. Отрезки
АС и BD изображают его диагонали.
3) Изображены четырехугольная пирамида с основанием
АКСР и вершиной М и треугольные пирамиды
КАВМ и CMPD , расположенные по одну сторону от
плоскости ABC.
4) Изображены треугольная пирамида CABD и
непараллельные отрезки АК и СР на поверхности пирамиды.
Отрезок КР является изображением сечения
этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины
ее ребер ВС и AD и параллельной скрещивающимся
прямым АВ и CD.
5) Изображен октаэдр ABCDMH . Точка М является
изображением его диагонали МН.
6) Изображены две четырехугольные пирамиды.
Их основаниями являются квадраты АВКР и KPDC ,
которые принадлежат одной плоскости. Их вершины
изображаются точкой М и расположены по разные
стороны от плоскости ABC.
7) Изображены две четырехугольные пирамиды.
Их основания АВКР и KPDC принадлежат параллельным
несовпадающим плоскостям. У этих пирамид
общая вершина М.
8) Изображены треугольные пирамиды ВАКМ,
DMPC , ВКСМУ DAMP с общей вершиной М. Их основания
расположены в различных непараллельных
плоскостях.
З а д а ч а 14. На рисунке 7 показан параллелепипед
ABCDA[B[C[D\. Скрещивающиеся прямые АР
и C\D на этом рисунке изображены параллельными
прямыми. Верно ли, что прямая /, параллельная направлению
проектирования, пересекает прямые АР
и CiD?
Р е ш е н и е . Скрещивающиеся прямые АР и C\D
на рисунке изображены параллельными прямыми. Это
возможно только в том случае, если проектирующая
прямая не пересекает две параллельные плоскости,
каждая из которых проходит через одну из скрещиваю-

113  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

щихся прямых АР или C\D . Поэтому и прямая / не
пересекает прямые АР и C\D.
З а д а ч а 15. Докажите, что ортогональная проекция
правильного тетраэдра DACB с ребром а на плоскость
будет иметь наибольшую площадь, когда эта
плоскость параллельна двум скрещивающимся ребрам
DC и АВ тетраэдра.
Р е ш е н и е . Ребра DC и АВ данного правильного
тетраэдра равны и взаимно перпендикулярны. Если
прямые DC и АВ параллельны плоскости проекции,
то ортогональной проекцией правильного тетраэдра
является квадрат ABCD , диагонали которого равны а.
Площадь этого квадрата равна 0,5а2. Если плоскость
проекции не параллельна ребрам DC и АВ , то ортогональной
проекцией данного тетраэдра является четырехугольник,
диагонали которого меньше а.
З а д а ч а 16. Дан параллелограмм ABCD. Точка
М — середина отрезка АВ. Точка К принадлежит отрезку
AD и AK.KD — \ .2. Найдите, в каком отношении
точка Р пересечения отрезков АС и МК делит
отрезок МК.
Р е ш е н и е . Считаем данный параллелограмм
изображением квадрата ABCD со стороной, равной 6.
Отрезок АР — биссектриса прямого угла треугольника
КАМ. Поэтому КР:РМ = АК’.АМ =1. /Ш:0,5 АВ =
= 2:3.
З а д а ч а 17. Дана правильная шестиугольная
пирамида MABCDEF . Точка К делит ребро ВМ пополам.
Найдите, в каком отношении плоскость FEK
делит ребро AM (точкой X ).
Р е ш е н и е . Строим ортогональную проекцию данной
пирамиды, приняв прямую FE в качестве проектирующей
(рис. 8). Плоскость FEK изображена прямой
КЕ. Так как на рисунке отрезки КЕ и МА являются
медианами треугольника МВЕ , то МХ\ХА= 2:1.

114  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

З а д а ч а 18. На диагоналях АВ\ и СА\ боковых
граней призмы АВСА\В\С\ расположены точки D и Е
так, что прямые DE и ВС\ параллельны. Найдите
отношение отрезков DE и ВС\.
Р е ш е н и е . Изображаем нижнее основание призмы
правильным треугольником ABC , а прямую ВС\ —
точкой В = С 1 (рис. 9). Тогда отрезок DE , параллельный
прямой ВС 1, изобразится точкой D — E (в точке
Е пересекаются прямые В\А и А\С). Так как отрезки
DE и ВС\ параллельны, то прямые С\Е, BD и АА\
пересекаются в точке М. Так как MD:DB= 1:2, то
и DE.BC i = 1:2.
З а д а ч а 19. Дан куб ABCDA\B\C\D\. В каком
отношении делит ребро В\С\ точка £, которая принадлежит
плоскости, проходящей через вершину Л и центры
К и Н граней A\B\C\D\ и В\С\СВ ?
Р е ш е н и е . Изображаем нижнее основание данного
куба квадратом ABCD , а прямую АК — точкой А = К
(рис. 10). На этом рисунке плоскость АКН изображается
прямой АН. Прямые В\С\ и НА пересекаются
в точке Е. Для треугольника В\СА отрезки АН и В\С\
являются медианами, поэтому В\Е:ЕС\ = 2:\.
З а д а ч а 20. Основанием четырехугольной пирамиды
MABCD является параллелограмм ABCD. Точка
К делит ребро DM пополам. Точка Р принадлежит
ребру ВМ и ВР\РМ— 1:3. Плоскость АР К пересекает
ребро МС в точке X. Найдите отношение отрезков
MX и ХС.
Р е ш е н и е. За изображение грани МВС принимаем
прямоугольный треугольник МВС (рис. 11), а за направление
проектирования — прямую АР. Сечение
АРХК пирамиды MABCD на рисунке изображено
отрезком РК . Для решения задачи дополним прямоугольную
трапецию MBCD до квадрата МВСН. Тре-

115  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

угольники АМХ и НСХ подобны и МА.НС— 3:4,
поэтому и MX :ХС = 3:4.
З а д а ч а 21. На рисунке 12 изображена правильная
четырехугольная пирамида MABCD. Точка К делит
ребро МС в отношении 1:2 (считая от вершины М).
Точка Р — середина ребра MD. На прямых МН, ВК
и СР постройте точки X, У и Q так, чтобы точка У была
серединой отрезка XQ.
Р е ш е н и е . Построим ортогональную проекцию
данной пирамиды на плоскость ее основания ABCD
(рис. 13). Так как прямая МН изображается на чертеже
точкой М = Н = X, то задача свелась к проведению
на этом чертеже через точку X такой прямой, которая
пересекает прямые ВК и СР в таких точках У и Q,
что ХУ = YQ.
Для этого через середину F отрезка ВС проводим
прямую, параллельную прямой ВК . Она пересекает
прямые НС и СР в точках Т и Q. МК — КТ и ХУ = YQ.
Полученные на рисунке 13 точки Q и У переносим
на рисунок 12. Строим прямую QK, которая пересекает
прямую МН в точке X.
З а д а ч а 22. ABCDA\B\C\D\ —куб. Его ребро
равно 60. Точка Н принадлежит ребру АВ и АН :НВ —
= 1:2. Точка Р — середина ребра В\С\. Точка К принадлежит
ребру DD 1 и DK:KD\ = 1 :3. Какие ребра

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

куба пересекают плоскость КРН ? Найдите отношение
отрезков, на которые плоскость КРН делит эти ребра.
Р е ш е н и е . Пусть грань ВВ\С\С куба параллельна
плоскости проекции. За направление проектирования
принимаем прямую РК. Получаем параллельную
проекцию куба, на которой отрезок Н изображает
сечение куба плоскостью КРН (рис. 14).
Из этого чертежа ясно, что секущая плоскость
пересекает ребра АВ , ВВ \, AD , DD \, В\С\, C\D\ соответственно
в точках Я, М , Г, К , Р , F , т. е. в сечении
получаем шестиугольник HMPFKT.
На чертеже строим отрезки М/? и НТ\ параллельные
отрезку AD. По условию задачи В\Р = РС\—30 и
KD = 0,25DD\ = 15. Поэтому В\Е=\Ъ, ££ = 45 и
АЕ = 30. Далее, ВТ .ТЕ = ВН: НА = 2:\у т. е. =
= 30 и ТЕ = 15.
Из подобия треугольников ВТ’Н и ВЕА получаем
НТ’:АЕ = 2:3 и НТ’ — 20. Из подобных треугольников
МНТ’ и имеем: МТ\МВ\ = НТ :В\Р =
= 20:30 = 2:3, т. е. ВМ:МВ1 = 7:3 и МТ = 0У2ВВ] =
= 12, MB = 42, ЕМ = 3.
Из подобных треугольников и PDT следует
iW7’:7,P = £Af:PD = 3:15=l:5, т. е. AT:TD = 7:5.
Треугольники и CiPDi подобны. Поэтому
D\F:FC\ = BH.HR = ВТ’: Т’М = 30:12 = 5:2.
З а д а ч а 23. Докажите, что во всяком треугольнике
его медианы пересекаются в одной точке.
Р е ш е н и е . Всякий треугольник% можно считать
изображением правильного треугольника. Утверждение
задачи для правильного треугольника верно, потому
что в этом треугольнике медианы являются его биссектрисами.
З а д а ч а 24. Дан произвольный треугольник ABC.
ВМ = В А, АК — 4″ А С, СР = — СВ. Докажите, о о 3
что центры тяжестей треугольников ABC и МКР совпадают.
Р е ш е н и е . Треугольник ABC принимаем за изображение
правильного треугольника. Тогда и треугольник
МКР будет изображением правильного треугольника.
Центры вращений этих треугольников совпадают.
А так как у правильного треугольника центр вращения
и центр тяжести совпадают, то утверждение задачи
доказано.
З а д а ч а 25. Докажите, что в четырехугольнике

116  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ABCD отрезки PH и ТЕ, соединяющие середины противоположных
сторон, и отрезок KF, соединяющий середины
диагоналей АС и BD , пересекаются в одной
точке М и делятся ею пополам.
Р е ш е н и е . Четырехугольник ABCD (вместе с его
диагоналями) можно считать изображением правильного
тетраэдра ABCD, а точки Т, Я, Е, Р, F, К —
изображением вершин октаэдра. Теперь утверждение
задачи доказано.
З а д а ч а 26. В четырехугольник ABCD вписана
трапеция МКРЕ (рис. 15), параллельные стороны
которой параллельны диагонали АС. Докажите, что
прямые ME , BD и КР пересекаются в одной точке.
Р е ш е н и е . Принимаем четырехугольник ABCD
(вместе с его диагоналями) за изображение треугольной
пирамиды. Трапеция МКРЕ является сечением
этой пирамиды плоскостью МКР . Эта плоскость непараллельна
прямой BD , так как боковые стороны
ME и КР трапеции МКРЕ не параллельны прямой
BD. Прямая BD пересекает плоскость МКР в точке Я,
которая принадлежит плоскостям ABD и BDC. Отсюда
следует, что в точке Я пересекаются прямые ME,
КР и BD.
3 а да ч а 27. Дан треугольник ABC и произвольная
точка М внутри него (рис. 16). Докажите, что если
построить параллелограммы МВВ\С и МАА\В\ , то
диагональ МА\ последнего проходит через центр тяжести
О данного треугольника.
Р е ш е н и е . Данный треугольник ABC вместе с отрезками
ВМ, СМ, МА и МО считаем изображением
правильной треугольной пирамиды МАВС (с основанием
ABC и высотой МО).

117  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Построим другое изображение этой пирамиды (и
связанных с ней параллелограммов МВВ\С и АМВ\А\ ),
расположив ее основание параллельно плоскости проекции
и приняв за направление проектирования прямую
МО (рис. 17). После этого утверждение задачи стало
очевидным.
З а д а ч а 28. Дана произвольная трапеция ABCD .
В точке К пересекаются прямые AD и ВС: Диагонали
АС и BD трапеции пересекаются в точке М. Докажите,
что прямая КМ проходит через середины Н и Р соответственно
сторон АВ и CD трапеции.
Р е ш е н и е . Треугольник АКВ принимаем за изображение
правильного треугольника А\К\В\У а трапецию
ABCD — за изображение равнобокой трапеции
A\B\C\D 1. Прямая М\К\ является осью симметрии
треугольника А\К\В\ и трапеции A\B\C\D\. Поэтому
прямая М\К\ делит пополам отрезки D\C\ и А\В\.
Точки Р и Н являются образами точек Р\ и Н\ соответственно.
Поэтому прямая КМ проходит через середины
сторон CD и АВ данной трапеции.
З а д а ч а 29. На сторонах АВ и CD четырехугольника
ABCD (рис. 18) даны точки Мм К такие, что AM =
= kAB , DK = kDC . Докажите, что середины отрезков
ВС , МК, AD принадлежат одной прямой.
Р е ш е н и е . Рисунок 18 считаем изображением правильного
тетраэдра ABCD. Пусть точки Р и К — середины
ребер AD и ВС. Прямая РТ является осью симметрии
этого тетраэдра. Поэтому точки М и К симметричны
относительно прямой РТ, и точка Е , в которой
пересекаются прямые РТ и МК , есть середина отрезка
МК.
З а д а ч а 30. Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDA\B\C\D\ (рис. 19). Точки К и Р — середины
соответственно ребер ВВ\ и A\D\. Точка Н делит ребро
СС 1 пополам. Точка Е принадлежит ребру В\С\ и

118  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

В\Е:ЕС\ = 1:3. Верно ли, что прямая КР пересекает
прямые АЕ и А\Н ?
Р е ш е н и е . Пусть плоскость проекции параллельна
грани ВВ\С\С прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ и прямая КР параллельна направлению
проектирования. Получаем изображение параллелепипеда,
на котором прямая КР изображена точкой.
На этом рисунке прямая А\Н совпала с изображением
прямой A\D\. Отрезок АК пересекает отрезок
ТВ в его середине М. Поэтому треугольники МВК и
ЕВ\К равны, и точки Л, К и Е лежат на одной прямой.
Итак, на рисунке изображения прямых А\Н и АЕ
проходят через точку К — Р , т. е. эти прямые пересекают
прямую КР • ___
З а д а ч а 31. Дан куб ABCDA\B\C\D\. В\К =
= ~КС\\ ~СР = 0,25CD; СХМ = 0,25CiD,. Точка X принадлежит
прямой BD 1. Точка У является пересечением
прямых КХ и МР. Постройте точку X.
Р е ш е н и е . Изображаем нижнее основание данного
куба квадратом ABCD, а прямую МР — точкой
М = Р (рис. 20). Точка X (на рисунке 20) является
пересечением прямых МК и B\D. Треугольники FBK
и МСК равны. Поэтому ХВ\ :XD = FB’.MD = С\М:
:MD = 1:3, т. е. ВХ = 0, 5 DXB.
З а д а ч а 32. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\.
Проведите прямую /, которая проходит через центр симметрии
Н основания ABCD и пересекает прямые ВС i и
FB 1 (точка F — середина ребра АА\).
Р е ш е н и е . Изображаем нижнее основание параллелепипеда
квадратом ABCD со стороной 1 (рис. 21)
Прямую С\В считаем проектирующей. Тогда изображением
параллелепипеда будет объединение квадратов
А\В\ВА и ABCD . Прямая ВС\ изображается точкой
В = Ci. Поэтому изображение прямой / проходит через

119  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

точку В = С 1 и пересекает прямую B\F в точке X.
Треугольники ХВ\В и XFD подобны. Поэтому ХВ\ :XF =
= B\B:FD = 1:1,5. Отсюда, XF = 2В\F.
З а д а ч а 33. Дана произвольная треугольная пирамида
DABC. AM = МК = KD , ВР = PH = НС ,
АЁ = 0,25ЛД MF = 0,25МР, /(Q = 0,25 Щ DT =
= 0,25Z)C. Докажите, что точки £, Z7, Q, Г принадлежат
одной прямой.
Р е ш е н и е . Прямую считаем проектирующей.
Тогда данная пирамида изображается равнобокой
трапецией (рис. 22). Так как точки К и М гомотетичны
точкам Н и Р относительно точки Т = £, то утверждение
задачи доказано.
З а д а ч а 34. На рисунке 23 изображена четырехугольная
пирамида MABCD , основанием которой
является параллелограмм ABCD. Точки Н и Р середины
соответственно ребер DM и БС. Точка К делит
ребро БМ в отношении 1:3, считая от вершины М.
Постройте точку Г, в которой прямая, пересекающая
прямую КР , пересекает прямую
Р е ш е н и е . Принимаем за изображение основания
данной пирамиды квадрат ABCD. Считаем прямую
КР направлением проектирования (рис. 24). Очевидно,
FD = МР = у РВ.
Из подобных треугольников TFD и ТРВ следует
TD\DB =1:2. Теперь переносим точку Т на рисунок 23.

 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

120  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

З а д а ч а 35. В пятиугольнике ABCDE (рис. 25)
соответственно параллельны отрезки:* АВ и СЕ , ВС и
AD , CD и BE , и ЛС. Докажите, что отрезки Л£ и
BD также параллельны между собой.
Р е ш е н и е . Изображаем параллелограмм ABCF
квадратом (рис. 26). По условию задачи отрезки DE и
АС параллельны. Очевидно, на рисунке отрезки FD
и FE равны. При движении точки D по лучу FQ (от
точки F) угол BCD увеличивается. Увеличивается
также при этом и угол СВЕ. Поэтому существует на
луче FQ единственная точка D такая, что параллельны
между собой отрезки : DE и Л С, BE и CD. Докажем,
что в этом случае отрезок АЕ параллелен отрезку BD.
Точки Л и С, D и Е симметричны относительно прямой
BF. Поэтому трапеция BCDE и ABDE равны, и,
следовательно, прямые АЕ и BD параллельны.
Решение этой задачи становится очень простым,
если заметить, что из параллельности соответствующих
сторон и диагоналей пятиугольника ABCDE следует
равновеликость треугольников ABC , BCD , CDE , DEA ,
ABE.

121  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

Вернутся на Главную.

Скачать полную книгу А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ в формате PDF.

About

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Статистика


Яндекс.Метрика