дома » Геометрия в школе » ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ

ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ

ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ. ПРИБАВЛЕНИЕ Е.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

320. Пользуясь основными свойствами окружностей, касательных
к двум данным окружностям или к ним изогональных (т. е. пересекающих
их под равными углами), изложенными как в дополнениях
к третьей книге . (йп. 227 — 236), так и в Прибавлении С, мы имеем
возможность решить известную задачу Мальфатти, которая формулируется
следующим образом.
Пусть даны три прямые (а^), (я2), (а3), лежащие на одной плоскости
2); требуется найти три окружности (jq), (.х2), (лг3), из
которых первая касается прямых (а%) их (ад), вторая — прямых
(а3) и (ах), а третья—прямых (ал) и (а^), которые попарно касаются
друг друга 3).
*) Рассуждения, приведённые выше, показывают, что данное нами
определение площадей является единственным, которое обладает указанными
выше двумя свойствами и удовлетворяет тому условию, что квадрат,
построенный на единице длины, ш^еет своей площадью единицу^
*) Мы будем формулировать решение задачи в общем предположении,
что прямые образуют треугольник (вершины которого мы обозначим через
At, As, Л3); в частном предположении, что две из этих прямых параллельны,
можно было бы применить те же. рассуждения.
8) Мы предполагаем, что девять точек касания (искомых окружностей
с данными прямыми и между собой) отличны друг от друга; иначе говоря,
мы не рассматриваем того случая, когда прямая (яД например, будет общей
касательной к окружностям (лг2) и (лг8) в точке их прикосновения друг
к другу (впрочем, пользуясь теми же самыми методами, можно было бы
рассмотреть и этот случай).

283 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ. 

321. Решение, полученное впервые Ш т е й н е р о м , которое мы
изложим, следуя Ш р ё т е р у , использует прежде всего свойство,
доказанное в п. 228.
Мы видели там, что окружности Е, касательные к двум определённым
окружностям С и С’, или общее, окружности, изогональные
к этим окружностям, т. е. пересекающие их под равными углами,
можно распределить в два семейства; каждое из этих двух семейств
можно охарактеризовать (в случае, когда обе инверсии, преобразующие
С в С’, имеют положительную степень) тем свойством, что окружности
одного семейства пересекают под прямым углом некоторую окружность
Г, а окружности второго семейства — другую окружность 1\.
Так как окружности Г и Г* аналогичны, как мы указывали, биссектрисам
углов между двумя прямыми, то мы будем называть их
в дальнейшем биссектральными окружностями (cercles bi^secteurs)
окружностей С и С’.
Одна из двух биссектральных окружностей обращается в прямую
линию в том и только в том случае, когда окружности С и С’
равны между собой (п. 225).
Если окружности С и С касаются друг друга, то одно из двух
семейств изогональных окружностей состоит, очевидно, из окружностей,
проходящих через точку касания. Соответствующая биссектральная
окружность обращается в ту же точку касания. При этом не существует
соответствующей инверсии, которая преобразовывала бы окружность
С в С’, так как степень этой инверсии равнялась бы нулю. .
В дальнейшем, когда мы будем говорить об окружностях Е, изогональных
к окружностям С и С’, касающимся друг друга, мы будем иметь
в виду не эти окружности, проходящие через точку касания, а семейство
окружностей £ в собственном смысле, т. е. то семейство, окружности
которого не проходят через одну и ту же точку и преобразуются
сами в себя с помощью некоторой инверсии (со степенью, не равной нулю).
Если преобразовать окружности С и С’ с помощью одной и той же
инверсии в окружности Са и С[, то та же самая инверсия преобразует
и биссектральные окружности окружностей С и С в биссектральные
окружности окружностей Сг и С[. В самом деле, определение бис-
сектральной окружности основано исключительно на понятии угла
между двумя окружностями, а этот угол не изменяется при инверсии.
322. Пусть, с другой стороны, (^), (£2), (£3) — три окружности
с центрами в точках Е2, $3, попарно касающиеся друг друга (для
определённости — внешним образом) в точках тс*, зс2, тс3 (черт. 248).
Соединим точки -iu2 и тс3 прямой линией, и пусть и — вторые точки
пересечения этой прямой соответственно с окружностями (52) и (Ц3).
Через точки ^ и Vj проходит новая окружность («^ касающаяся
в этих точках соответственно окружностей (Е2) и (£3), центр которой 04
л^жит в точке пересечения прямых и v^3. Рйдиус этой окружности
равен сумме радиусов трёх данных окружностей.
Это видно ив того, что прямые и параллельны, так как
точка щ есть центр подобия окружностей (^) и (£2); по анадогцдной

284 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

причине прямые v^3 и также параллельны. Равенство противоположных
сторон параллелограмма показывает, что каждое из
расстояний cttfi и равно сумме трёх радиусов.
Если мы теперь соединим точно также прямой линией точки и тг3
и обозначим через Х2 и v2 точки пересечения этой прямой соответственно
с’окружностями (?t) и (£3), то окружность (а2), касающаяся
в этих точках соответственно окружностей (^) и (Е3), равна
окружности («j), потому что
к этой новой окружности приложимо
предыдущее рассуждение.
Легко далее убедиться, что
равенство окружностей (а^)
и (&g) сохранило бы силу и в
ток случае, если бы не все
окружности (lt)> <£3)> (£3) по-
парнб касались друг друга
внешним образом *).
Из равенства этих окружностей
легко выводится следующая
лемма, на которой основаны
наши дальнейшие рассуждения.
Лемма. Пусть три
окруэЫости (jCj), (х2), (х3) попарно
касаются друг друга ®)
в точках Ри Ръ Р3; обозначим
через (ах) окружность,
касательную к (лг2) и (хд) в
точках тх и пх\ через (а2) — окружность, касательную к (Хх)
и (хг) в точках /2 и щ, так что точки ти пи Р2, Р3 лежат
(пп. 227, 224)3) на одной окружности (k{) и точки /2, пъ Ри
Рг—на одной окружности (&2).
Точка пересечения N3 (отличная от Ръ) окружностей (k^) и (62)
лежит на биссектральной окружности4) (gs) окружностей (ах)
и foa)-
1) В этом случае две из окружностей (?) необходимо касались бы друг
друга внешним образом, а третьей окружности —внутренним образом.
Радиус каждой из окружностей (а) был бы при этом равен разности между
радиусом большей окружности и суммой радиусов двух меньших.
2) Каждая из точек Р есть точка касания двух окружностей (х), индексы
которых отличны от индекса данной точки Р.
3) Чтобы иметь право пользоваться теоремой п. 224, необходимо в общем
случае убедиться, что окружности (fli) и (лгО принадлежат к одному
и тому же семейству окружностей, касательных к (*з) й (лг3); однако в данном
случае существует лишь одно семейство (в собственном смысле).
*) Это‘будет биссектрадьная окружность, соответствующая тому семейству
окружностей, касательных к {at) и (я8), к которому принадлежит
окружность (лг3).

285 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

В самом деле, преобразуем с помощью обратных радиусов рассматриваемую
фигуру, выбрав за полюс точку iV3. Окружности (j^),
(лг2) и (лс3) преобразуются в новые окружности ($1), (£2) и ($3); окружности
(ах) и (а2)— в окружности (04) и (ос2), окружности (kt) и (&2)—
в две прямые 1). Таким образом, мы получаем только что рассмотренную
фигуру, и окружности (04) и (а2) будут, как мы доказали, равны
между собой. Их биссектральная окружность будет прямой линией,
откуда и следует, что биссектральная окружность окружностей (at)
и (а2) проходит через точку Ns> что и требовалось доказать.
Далее, окружность, проход ящаялерез точки пи п%, 7V3, ортогональна
к окружностям (лг3), (ах), (а2), (g-3).
Окружность (kt) пересекает окружности (а^) и (gB) под одним
и тем же углом; точно так же окружность (&2) — окружности
(а2) и (gs)- Угол, который окружность (kt) образует с окружностью
ОГз) в точке N3> цмеет направление, противоположное углу, который
та же окружность образует в точке п\ с окружностью (а*).
Все эти свойства непосредственно очевидны на фигуре (черт. 248),
преобразованной с помощью инверсии, имеющей полюс в точке NZy
где точки и v2 — диаметрально противоположные точки окружности
(£3).
323. Доказав эти свойства, мы можем приступить к решению
поставленной задачи.

I. Обозначим, как и выше, через Ри Ръ Р3 точки касания искомых
окружностей (л;*), (лг2), (хг), взятых попарно (черт. 249). К этим
трём окружностям мы можем применить только что доказанную»
лемму, принимая за окружности (аг) и (а2) соответственно прямые
(а%) и (а2). Мы видим, таким образом:
1) что через точки Р2, Р3 и через точки касания т1 и пх окружностей
(х2) и «(х3) со стороной (аг) проходит окружность^); через
точки Р3, Pi и точки касания щ и /2 окружностей (jc3) и (#*) со
1) Прямые p-iVjl и на чертеже 248. Прим. ред. перевода.

286 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

стороной (а2)— окружность (&2); через точки Ри Р2 и через точки
касания окружностей (xt) и (х%) со стороной (а3) — окружность (&3);
2) что, например, окружности (&*) и (£2) пересекаются, кроме
точки л. в некоторой точке 7V3, лежащей на биссектрисе (g*3) угла
между прямыми ’ (а4) и (а2), которая играет в данном случае роль
биссектральной окружности (если, как мы пока будем предполагать,
искомые окружности лежат внутри треугольника, то это будет биссектриса
внутреннего угла); окружности (&2) и (k3) точно так же
пересекаются в некоторой точке Nlf лежащей на биссектрисе (gx)
угла между прямыми (а2) и. (а3), а окружности (кг) и (kt)— в некоторой
точке Nb, лежащей на биссектрисе (g%) угла между прямыми
(а3) и (at);
3) что окружность (kt) пересекает прямые (at) и (^3) под одним
и тем же углом.
Можно сейчас же заметить, что по вполне аналогичной причине
угря, образованный окружностью (kx) с (g*2), равен углу, который
окружность (kt) образует с (at) или с (g3).
Он равен также углу, который окружность (kx) образует с окружностью
(х%) в точке тх (где последняя касается стороны аг) или,
что одно и то же, с точностью до направления *) в точке Р3.
II. Обозначим через (tt), (t%), (/3) общие касательные к искомым
окружностям соответственно в точках касания Pv Р2, Р3. Мы видим,
что прямая (t3) пересекает окружность (kx) под тем же углом, как
и прямая (^3), причём в точке Р3 этот угол имеет, как в этом легко
убедиться с помощью сказанного выше *), направление, противоположное
направлению аналогичного угла между (&*) и (g3) в
точке N3.
Точка Я3, очевидно, симметрична с точкой N3 относительно линии
“центров окружностей (kx) и (&2); поэтому прямая (£3) будет симметричной
с (g3) относительно той же прямой, так как обе прямые
образуют с окружностью (kx) равные углы, имеющие противоположные
направления.
Наконец, по той же причине и прямая (/2) пересекает окружность
(k{) под тем же углом: она симметрична с прямой (g-2) относительно
линии центров окружностей (&3) и (k%).
Но прямые, пересекающие данную окружность под одним и тем
же углом, будут, очевидно, касательными к одной и той же окружности,
концентричной с данной окружностью*
Следовательно, пять прямых (at), (g%), (go), (/2), (/3) касаются одной
и той же окружности2) (k[), концентричной с окружностью (k^).
А)’.Чтобы определить направления рассматриваемых углов, приходится
воспользоваться тем обстоятельством, что две окружности (или окружность
и прямая), пересекающиеся в двух точках, образуют при этих точках углы,
имеющие противоположные направления (это очевидно/ так как эти углы
симметричны друг с другом относительно некоторой прямой).
2) На чертеже 249 не показаны окружности (k[), (k’2) и (&§), чтобы не
усложнять чертежа.

287 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

Этот результат равносилен решению поставленной задачи. Действительно,
окружность (£J) можно считать известной, так как три
из пяти её касательных, а именно (aj), (g*2), (g-3) известны, коль
скоро задан треугольник.
Так как те же самые рассуждения применимы и к окружностям
(k2) и (£3), аналогичным окружности (k[) и соответственно концентричным
с окружностями (&2) и (£3), то мы приходим к следующему
построению:
Пусть О — центр одной из окружностей, касательных к трём
данным прямым; (gi), (g%), (g3) — прямые, соединяющие точку О
с вершинами треугольника, образованного данными прямыми.
Строим окружность (k*{), касательную к прямым (at), (g^),
(g3)1), окружность касательную к прямым (а%), ig%), (g%)
и окружность (&з), касательную к прямым (а3), (g**), (g%).
Пусть (^) — вторая общая касательная окружностей (k^)
и (k’3), симметричная с (gt) относительно линии центров этих
окружностей; (^2) — общая касательная окружностей (&з) и (&0Л
симметричная с (g-2) относительно линии центров этих окружностей;
(/3) — общая касательная окружностей (k[) и (k%), симметричная
с (gd) относительно линии центров этих окружностей.
. Одна из искомых окружностей (хг) касается2) прямых (а2),
(я3), (£2), (t3); точно также окружность (л;2) касается прямых
(а3), (ах), (tB), (tx), а окружность (jc3)—прямых (ах), (а2),
(*i)> (*2).
Прямые (gi), (^2), (g-3) могут быть при этом биссектрисами любых
трёх углов, образованных данными прямыми, взятыми попарно,
лщшъ бы они проходили через одну точку3).
1) Существуют четыре окружности, касательные к прямым (яД (g2),
(g%). Если мы хотим, чтобы искомые окружности (лгД (лг8), (х8) лежали
внутри данного треугольника, то необходимо, очевидно, чтобы окружность (к[)
быт вписанной в треугольник, образованный этими прямыми. В противном
случае за окружность (k[) можно принять любую из этих четырёх окружностей;
но в таком случае две другие аналогичные окружности будут вполне
определены; действительно (возвращаясь с помощью инверсии с полюсом
в N% к фигуре, рассмотренной вначале при доказательстве леммы), можно
убедиться, что хорды Nsnu ЛГ3я2 должны быть симметричны друг с другом
относительно прямой (gz)y так что тем же самым свойством должны обладать
и биссектрисы углов между прямыми (ах) и (g8) и между прямыми (а2)
и to), проходящие.соответственно через центры окружностей (к±) и (&2).
2) Центр этой окружности лежит на прямой (gi), а не на перпендикулярной
к (gt) биссектрисе угла треугольника; выбирая определённые направления
на прямых (g) и (t), можно также доказать, что он лежит на той из
биссектрис углов между прямыми (4) и (4), которая проходит через центр
окружности (AJj).
8) Это* следует из того, что искомые окружности необходимо должны
касаться друг друга внешним образом, а прямые (а) должны быть внешними
общими касательными [см. ниже аналогичное замечание для случая, когда
(ai), (а2\ (а8) — окружности].

288 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

действительно
даёт окружности, отвечающие условиям^задачи* Мы не будем
вриводат^азесь сОответствующего доказательства, принадлежащего
Иетерсшу<^ : • — ’ ‘ •
324,- Замечательно, что предыдущее, решение непосредственно
{вцндаййврамяется на тот случай;, > когда вместо трех прямых даны
*|^ ;пршзвольные окружности (%), (а3), (а8)2). »
В этом случае (gi), (g^), (g3) будут биссектральными окружно-
^е^ямрсоответственно: для окружностей. (а2), (а3); («j>, (aj); (аг), <й9)3).
При*эхом все предыдущие рассуждения; относящиеся. к (а,),
(a8), (gi)> (gi% (£з)> (^i), (А2), (£3) (три последние окружности опреде^
JijiJoittiirde ‘Crelfe, f. “89,стр. 130—135. Прежде всего, очевидно,: н:еоб-
чя!;; четыре ‘ прямые {«*),■{«8)> (h), (t$) касаются одной и
^СТИ. )Чй^^едь# кщррый;, решщ, * упражнение- 422, убедится*
тШт?ец$т ЦЛЩМУУЩ когда- О,—.произ?оль-
-шя тотщ^а не цё*Гтр ^йсанеой окружности), и что‘ при тех же условиях
яфйше t^i)> (^), (^) прб£одят через одну: fочку. * * * • « .
^апротйв,* то‘ обстоятельство, что три построенные ‘т^ким образов
<^уркш>етй1гопарно касаются друг друга, существенно защц^ w выбора
точ^д О, (см. цитированный,*немудр Летерсева), Ограничиваясьг случае^*
кЬгда окружности (л:) лежат, внутри данного треугольника, ^закетим, что
существование решения очевидно из соображений непрерывности.» ГТ^сть
построена какая-либо окружность (лгО, касательная к прямым (я2) и (#з) и
лед^щад внутри «треугольника; существует окружность (лгД также лежащая
|,еу^рльнцка и к,асательная; ;к (я*),(%) и (*%)* и точно, так же^-
№ лежащая внутри треугольника и касательная к («О, (я Д
вихяо, (^ джру^йЬсте (х$) (^^пересекаются, если окруж-
wmw&T одна внедругой, ‘если (jet)
^ ^тяущтсчъп треугольнику Следовательно,, при
ом значениирадиуса окружности (Xt) окружности (**) й (xs) будут
^фуг ‘друГа. ‘ * • ‘ 5 .*
^ч*^Эта нойая задача непосредственно приводилась бы к предыдущей;
«ели бы окружности (tfi)> (я2)> (0з) имели общую точку 5 (а именно: с по*
мощью инверсии, имеющей точку 5 своим полюсом). Однако задачу приходуется
решать заново, если это условие не выполняется.
fi Среда! щздвд, {дас^едтральвд*., окружностей данных окружностей^),
— ^щт^^^що,г>^1фужио^^ tei to)* {5з) должны,, быть выбраны
ЭДдот 27$) общуя> радикальную ось. В самом
_ для <орр§деледн$>сти* что. искомое окружности касаются
^ j р б р з г р м , Рмрущвосхь (&ь) ,б$дех пр».зтт иметь с окруж-
*fas) и (х3) касание того же рода, что и окружность (xt\ так как
дащь ^одно семейство, в собственном смысле, , одрдяадбетей,
«асательных к (х$) и (х5); точно так же (as) будет иметь с окружностями
трго ^е рода,;а окру^ость <й8).-т-касание одного
р о к р узостями- (огд) и Д%).; Рассматривая все возможные
; *^^що|Ю^едир относительно характера -ка^анда,этих окружностей, .легко в} том, что ,,01фуж»дстй (g), указанному в тексту
-ЖИЙМЯ*.^ . ** . • —
когда две из трёх окружностей *касаются,друг, друга внутрен-
,сводится к предыдущему с помощьр надлежащим образом
»!$|>анной инверсии (инверсии.даёт т^«^:е.возможность -упростить исследование
первого случая).. ’ ,.
: л J0 Элементарная геометрия, щи I

289 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

ляются как и выше), т. е. все предыдущие рассуждения до части
II п. 323, сохраняются без изменения *).
Чтобы распространить на настоящий случай и вторую часть
решения предыдущей задачи, надо определить, что мы будем теперь
понимать под (^), (/2), (/3).
С этой целью обозначим через (С) окружность, ортогональную
к окружностям {ах)у (а2), (#3) (предполагая для определённости, что
такая окружность существует)2).
Мы будем обозначать через (4) окружность, касательную к окружностям
(лг2) и (дг3) в их точке касания Рг и в то же время ортогональную
к (С). Точно так же (^2) и (^3) будут окружностями,
каждая из которых касается двух из искомых окружностей в их
точке касания и в то же время ортогональна к окружности (С).
Проведённые выше рассуждения показывают, что окружность (kx)
пересекает под равными углами 3), с одной стороны, окружности (х%)
и (jc3),- а с другой стороны, — окружности (ях), (g*2), (£-3).
Три последние окружности ортогональны к (С).
Отсюда следует (см. Прибавление С, в частности п. 310), что
любая окружность (^1), имеющая общую радикальную ось4) с окружностями
(kx) и (С), также будет изогональна к окружностям (flj),
(g%), (g3), и что если выбрать эту окружность так, чтобы она касалась
одной из них (построение п. 311), то она будет касаться
также и двух других.
Окружность (£3) получается из (^3) с помощью инверсии8), которая
преобразует самих в себя окружности (С), (kt) и.(А2); эта инверсия
останется тою же самой, если заменить (kг) и (&2) через (k[) и (^)*
Таким образом, получается следующее построение: пусть {ах),
(я2), (а8) —данные окружности и (gt), (g2), (gs)— биссектральные
окружности соответственно окружностей (а2) и (а3), (а3)
и {ах), (аг) и (а2), причём эти биссектральные окружности выбраны
так, чтобы они имели общую радикальную ось;. пусть далее
(С) — окружность, ортогональная к трём данным.
*) Отсюда следует, что рассматриваемые биссектральные окружности
необходимо существуют всякий раз, когда задача имеет решение, так как,
например, окружность (gt) должна иметь своим центром один из центров
подобия окружностей (щ) и (я8) и проходить через точку АГ3.
2)Эта окружность обращается в точку в случае, отмеченном в сноске2)
на стр. 289.
3) Относительно направления этих равных углов можно сделать те же
замечания, что и выше.
4) Понятно, что в отличие от того, что мы имели при решении первой
задачи, окружность ( k [ ) не будет, вообще говоря, концентричной с (&i).
5) Это вытекает, как и выше, из того, что окружность, которая получается
из (gs) путём указанной инверсии, удовлетворяет, — в отношении её
точки пересечения с (g*i), а также в отношении величины и направления
угла, который она образует с (gi)y — тем же условиям, как и окружность (4),
и, кроме того, она должна быть ортогональна (С); эти условия вполне
определяют окружность (4). Инверсия, о которой идёт речь, имеет своим
полюсом общий радикальный центр трёх названных окружностей.

290 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

Определяем окружность (k[), касательную к (ах), (g2) и (g3);
окружность (kb), касательную к (я2), (g3) и (gt), и окружность
(k$, касательную к (а3), (^х) и (g*2)*); или общее2): определяем
окружность (k\), изогональную к (а{), (g%) и (g3); окружность
(kty, изогональную к (а%), (g3) и (g^), и окружность (kl), изогональную
к (а3), (gt) и (g*2).
Пусть (gi) преобразуется инверсией, преобразующей самих
в себя окружности (С), (k%), (kl), в окружность (tx); точно так
же (g%) — инверсией, преобразующей самих в себя окружности
(С), (kl), (k\), в окружность (t^; наконец (g*3)— инверсией, преобразующей
самих в себя окружности (С), (k\), (k’2), в окружность
(t3).
Первая из искомых окружностей будет касательной к окружностям
(а2), (а3), (?2), (t3), вторая — к окружностям (а3), (аг),
(t9), (ti) и третья — к окружностям (at), (а2), (tx), (^2).
Нетрудно убедиться что всё сказанное сохраняет силу и в том
случае, когда радикальный центр / трёх окружностей (ах), (я2), (а3)
лежит внутри этих окружнбстей, так что окружность (С) не существует.
В этом случае надо только заменить слова „окружность,
ортогональная к (С)а, словами „окружность, относительно которой
точка I имеет ту же степень, как и относительно окружностей (aj),
(#2), (а3)\ и условиться говоритьг что „некоторая окружность (k\)
имеет общую радикальную ось с окружностями (&i) и (С)“, если
любая окружность, ортогональная к (kx) и относительно которой
точка / имеет ту же степень, как и относительно (а^, будет в то
же время ортогональна и к (k[).
*) Как и выше, мы убедимся, что за ( k [ ) можно принять любую из
окружностей, касательных к {at\ (g2) и (g*3); но что после того, как эта
окружность выбрана, с необходимостью определяется то семейство окружностей,
изогональных к окружностям (а2)> (gs) и (g*i), к которому должна
принадлежать окружность (k’2) или (kl).
а) Знать это обобщение весьма существенно; в самом деле, может случиться,
что окружность ( k [ ) не существует (т. е. построение п. 311 окажется
невозможным) даже и в том случае, когда рассматриваемая задача
имеет решение.

291 ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии