ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
Главная страница Математические олимпиады.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно). Если статья Вас заинтересовала, можете скачать оригинал по ссылкам выше. А тексты на страницах сайта Вам помогут находить нужные темы с помощью поисковой формы ниже:
ЗАДАЧИ АНГЛИЙСКИХ ОЛИМПИАД
193. Квадратный кусок фанеры разрезан на п2 равных единичных
квадратов. Они переставлены так, что получилось 4 прямоугольника
и 1 единичный квадрат. Причем все 9 размеров этих
фигур различны.
а) Найдите наименьшее значение п, удовлетворяющее условиям
задачи, и определите размеры фигур для этого значения п.
б) Найдите все значения п, удовлетворяющие условиям задачи.
Обоснуйте ответ.
194. f (х)—действительная функция действительного переменного
х, не тождественно равная нулю. Пусть f (x)-f (у) = f (х—у)
для всех возможных действительных значений х и у. Найдите f(x).
195. Дано множество, состоящее из п + 1 положительного
целого числа, каждое из которых не превосходит 2п. Докажите,
что по крайней мере один из элементов множества делится на
Другой.
196. Докажите, что у выпуклого многогранника все грани
не могут быть шестиугольниками.
197. Кость для игры в домино может быть представлена
неупорядоченной парой целых чисел. Таким образом, пары (1,5) и
(5,1) представляют одну и ту же кость. Множество, состоящее
из 15 всевозможных костей, представленных парой чисел от
1 до 5, разбивается на 3 подмножества по пять костей в каждом.
При этом из костей каждого подмножества можно образовать
замкнутую цепь, т. е. расположить в виде (a, b) (b, с) (с, d) (d, е) (е, а),
где а, Ь, с, d, е не обязательно различные числа. Сколькими способами
можно произвести такое разбиение на три подмножества?
(Порядок самих подмножеств в разбиении несуществен.)
198. Вокруг окружности радиуса г описаны всевозможные
треугольники. В треугольники вписаны квадраты (стороны которых
имеют длину х). Докажите, что
2г > х > У~2 г.
199. Длинный коридор единичной ширины имеет форму буквы
«Г». Жесткая длинная труба (шириной которой можно пренебречь)
положена и всюду касается пола. Длиной трубы (труба может
быть искривлена) называется прямолинейное расстояние между
ее концами. Найдите максимальную длину трубы, чтобы трубу
можно было протащить вдоль обоих колен коридора и повернуть
в углу, не отрывая от пола.
ЗАДАЧИ БОЛГАРСКИХ ОЛИМПИАД
2 0 0 . Докажите, что полином f(x) = x6—х-\-а, где а—целое
число, не делящееся на 5, нельзя представить в виде произведения
двух полиномов с целыми коэффициентами.
51 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
20!. Из трех различных цифр х, у, z образованы всевозможные
трехзначные числа. Сумма этих чисел в три раза больше трехзначного
числа, каждая цифра которого есть х. Найдите цифры
х, у, z.
202. Решите неравенство:
1 4 , 15
203. Докажите, что если а , р , у — величины углов произвольного
треугольника, то справедливо тождество:
cos2 а + cos2 Р + cos2 у + 2 cos a cos р cos у = 1.
204. Постройте треугольник, подобный данному треугольнику,
одна вершина которого—данная точка, остальные две вершины
лежат на данной прямой и данной окружности.
205. Докажите, что если правильный тетраэдр пересечь плоскостью,
параллельной любым двум его скрещивающимся ребрам,
то: а) сечение есть прямоугольник;
б) периметр сечения не зависит от положения секущей плоскости
ЗАДАЧИ ВЕНГЕРСКИХ ОЛИМПИАД
206. В остроугольный треугольник вписан квадрат, две вершины
которого находятся на одной стороне треугольника, одна —
на другой и одна—на третьей. Докажите, что центр окружности,
вписанной в треугольник, лежит внутри квадрата.
207. (II т у р д л я н а ч и н ающих. ) На некоторой математической
олимпиаде было предложено пять задач. Среди участников
олимпиады не оказалось двух, решивших одни и те же
задачи. Если не принимать во внимание любую из задач, то,
выбрав любого участника, можно найти и другого, решившего
из оставшихся четырех задач те же, что и он. Сколько человек
участвовало в олимпиаде?
208. (I т у р д л я у с п е в ающих. ) Докажите, что точка
пересечения высот треугольника ближе расположена к более
короткой из двух сторон, чем к более длинной.
209. (I т у р д л я у сп е в ающих. ) Определите числа
а, Ь, с так, чтобы выполнялось тождество
Xs—ах2+Ьх—с=~(х—а)(х—Ь) (х—с).
210. (II т у р д л я у с п е в ающи х . ) Преобразуйте в произведение
следующее выражение:
((а—с)2 + (b—d)2) (а2 + Ь2)—(ad—be)3.
52 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
21!. (I т у р д л я с п е ц и а л ь н ы х к л а с с о в . ) Докажите,
что если три угла выпуклого четырехугольника тупые, то диагональ,
исходящая из четвертого угла, длиннее, чем другая
диагональ.
2 1 2 .(1 т у р д л я сп е ц и а л ь н ы х к л а с с о в ) . Предположим,
что справедливы следующие утверждения:
а) среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не
являются малярами;
б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся
малярами, не имеют телевизоров.
Следует ли отсюда следующее утверждение:
в) не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?
213. (II т ур д л я с п е ц и а л ь н ы х к л а с с о в . ) Дана окружность
и точка Р внутри нее. Через любую точку Q окружности
проводим касательную. Перпендикуляр, опущенный из
центра окружности на PQ, и касательная пересекаются в точке М.
Найдите геометрическое место точек М, когда Q пробегает всю
окружность.
214. Найдите действительные числа а, Ь, с, для которых
шга + йл: + с | <11 при | х | < 1 и д-а2 + 2Ь2
максимально.
215. Дано натуральное число п. Определите неотрицательные
числа / ей/ , для которых
k , п — k т т тЧ 77ГТТГ максимально. k — \ — l 1 n — (k -\ — l)
2Е6- xt — положительное число, меньшее 1 (х,- < 1). Образуем
последовательность хх, х2, х„ где хк+1 удовлетворяет
соотношению xk+1 = xk—х\ ( k= l , 2, . . . ). Докажите, что для
любого п
Х1 + Х\Л~ • • • + х% 1 •
217. ABCD — плоский четырехугольник. Точка At симметрична
точке А относительно В\ Вх симметрична В относительно С; Сг
симметрична С относительно D; D, симметрична D относительно
А. Постройте четырехугольник ABCD, считая точки Alt Вх, Сх, Dx
данными.
ЗАДАЧИ ОЛИМПИАД ГДР
2Ю. Докажите следующее утверждение: треугольник с углами
а, {), у прямоугольный тогда и только тогда, когда
cos 2а + cos 2р + cos 2у — — 1.
53 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
239. Докажите, что п3 + Зп2—п—3 при любом нечетном п
делится на 48. _ __
220. Даны два числа zt = V? +KlO и za = j / 3 + ^ 1 9 .
Установите, не производя вычисления корней, какое из чисел
больше.
221. В задаче каждая буква и каждая звезда обозначают
цифры от 0 до 9 (АфО).
ATOM х АТОМ
*****
*****
*****
*****
**** АТОМ
Различные буквы соответствуют различным цифрам. Замените
буквы и звездочки цифрами.
222. а) Докажите, что остаток от деления простого числа
на 30 есть 1 или простое число.
б) Проверьте справедливость этого утверждения при делении
простого числа на 60.
223. Докажите, что если по крайней мере два из трех действительных
чисел а, Ь, с отличны от нуля, то справедливо неравенство
а 3 , 62 , с2 > £
62 + с2 1 с2+ а 2 1 а2-\-Ьг 2
При каких соотношениях имеет место равенство?
224. Пусть дан тетраэдр (не обязательно правильный), все
грани которого равновелики между собой. Докажите, что центры
вписанного в него и описанного около него шаров совпадают.
225. Укажите все действительные числа а, для которых
уравнение
sin6 х + cos6 х = a (sin1 х + cos1 х)
имеет по крайней мере одно действительное решение.
Найдите все решения для а = -|-.
226. Множество М элементов и, v, w . . . называется полугруппой,
если в нем определена операция, однозначно приписывающая
каждой упорядоченной паре (и, v) элементов из М
элемент® из М (пишут и о v = w) и если эта алгебраическая
операция ассоциативна, т. е. если для всех элементов из М имеет
место (и о v) о w = и о (v о w).
Пусть с—положительное действительное число, а М—множество
всех неотрицательных чисел, меньших с. Для любой пары
чисел из М определим операцию следующим образом: и о v=-tl^ v
•+?
54 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
а) Докажите, что М является полугруппой.
б) Является ли М регулярной полугруппой, т. е. следует ли
из u o v 1 = u o v 2 всегда vx = v2, а из uxo v = и2 о v тоже всегда
й, = й2?
2 2 7 . Три цеха W„ W2, W3 завода и железнодорожная станция
В расположены в плоской местности. Точки Wv W2, W3
не принадлежат одной прямой. Они связаны между собой тремя
прямолинейными дорогами—отрезками W1W2J W2W3, W3Wt .
Причем W2W3 < WsW^ < WXW2. Железнодорожная станция расположена
внутри треугольника WjW2W3. От указанных трех
дорог она имеет равные расстояния. С тремя цехами станция
связана прямолинейными дорогами — отрезками BWlt BW2, BW3.
Автобус должен ехать со станции сначала ко всем трем цехам,
а затем возвращаться на станцию, причем могут быть использованы
только указанные дороги. При этих условиях укажите кратчайший
маршрут автобуса. .
2 2 8 . Квадратные корни часто вычисляются при помощи
приближенной формулы ] / й2 + 8 « й + ;^.
При этом а и b—положительные действительные числа.
а) Докажите, что для погрешности этого приближенного зна-
чения 6 = а + 2^—ф/’и2 + Ь имеет место 0 < 8 < .
б) Выведите аналогичную приближенную формулу для у / аа+Ь
и оцените погрешность.
В практическом применении b выбирается сравнительно малым.
Как упрощается оценка, если числа а, b целые, удовлетворяющие
неравенству й3 < а3-\-Ь < (и+ I)3?
в) При помощи выше указанных формул вычислите приближенные
значения J/56 и у / 80.
22Э . Имеются деревянный шар, циркуль, которым можно
рисовать как на плоскости, так и на сфере, карандаш, линейка
(без измерительной шкалы) и (плоская) чертежная бумага. Нарисуйте
радиус шара.
ЗАДАЧИ ПОЛЬСКИХ ОЛИМПИАД
230. Даны точки А и В и окружность К ■ Постройте окружность,
проходящую через А и В и определяющую в пересечении
с окружностью К хорду данной длины—q.
231. Найдите трехзначное число х, такое, что число, составленное
теми же цифрами в том же порядке, но при другом основании
(не равном 10), в два раза больше данного числа х.
232. Докажите, что если п ^ 3, то
п+1 / п П < iTtГ.
55 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
2 3 3 . Через точку А окружности k проведен перпендикуляр
АВ к плоскости этой окружности. Найдите множество проекций
точки А на всевозможные прямые ВМ, где М — произвольная
точка окружности к.
2 3 4 . В выпуклом четырехугольнике ABCD |ЛДЦ- |ВД| не
больше, чем |/4C| + |CD| . Докажите, что тогда длина стороны
АВ меньше длины диагонали АС.
З А Д А Ч И РУМЫНСКИХ ОЛИМПИ АД
2 3 5 . Докажите, что уравнение х* — 6ха + 1 = 0 имеет корни
2 3 6 . Решите систему уравнений:
{ + 2хг + Зх3 + . . . + пх„ = О,
j 2хj -j- 5х2 -j- -j- •«. -J- 2пхп = О,
| • • • .
2кх% “Ь 3ftxg -J- • . . “Ь (1 ft2) Xfc *f». •. *f» ttkxn = 0f
.
nx 1 -J- 2fix% 3fix$ -J- • • • (1 -\- t i x n = 0.
за исключением тех, при которых знаменатель обращается в нуль.
2 3 8 . Найдите действительные решения уравнения
Ух* — 18л:2 + 81 — 2J/V — 2х2 + 1 + У~х?+х + 7 = 0.
2 3 9 . Три группы рыбаков поймали 113 рыб. На каждого
рыбака I группы пришлось по 13 рыб, на каждого рыбака
II группы — по 5 рыб и на каждого рыбака III группы — по
4 рыбы. Сколько рыбаков было в каждой группе, если всего их
было 16?
ЗАДАЧИ , ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ТУРЕ
ЧЕТВЕРТОЙ ВСЕРОССИЙСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОЛИМПИАДЫ
2 4 0 . В треугольнике две высоты не меньше длин сторон, к
которым они проведены. Найдите углы треугольника (VIII—IX
классы).
2 4 1 . Докажите, что т(т- \ -1) не является степенью (выше
первой) целого числа ни при каком натуральном т. (VIII класс)
56 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
2 4 2 . У каждого из чисел от 1 до миллиарда подсчитывается
сумма его цифр. Затем у каждого числа из получившегося миллиарда
чисел снова подсчитывается сумма его цифр и т. д., пока
не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел получится
больше: 1 или 2? (VIII класс)
2 4 3 . а) В выпуклом шестиугольнике ABCDEF величины
всех внутренних углов равны. Докажите, что \АВ\ —
= \FE\ — \BC\ = \DC\ — \FA\.
б) Докажите обратное утверждение: из шести отрезков а1г
аг, а3, alt я6, а6, длины которых удовлетворяют соотношениям
» CL3 Cl3 — CL3
можно составить выпуклый шестиугольник с конгруэнтными
углами. ( а) — VIII класс и б)—X класс)
2 4 4 . Найдите все решения в целых числах уравнения
х + . . . + V x + V x = y .
1964 корня
(IX класс)
245. Через вершины произвольного выпуклого четырехугольника
проведены перпендикуляры к его диагоналям. Докажите,
что четырехугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров,
подобен исходному (IX класс).
246. Найдите все нечетные натуральные числа п, для которых
(п—1)! не делится на п2 (через k\ обозначается произведение
1-2-3-. . . -(ft— l)-k) (IX класс).
247. Около окружности с центром О описан четырехугольник
ABCD. Докажите, что АОВ + COD =180° (X класс).
248. Даны натуральные числа а, b и п. Известно, что при
любом натуральном k{k=£b) число kn—а делится без остатка на
k—b. Докажите, что a = bn (X класс).
249. Найдите наибольшее число, являющееся полным квадратом,
такое, что после вычеркивания двух его последних цифр
получается снова полный квадрат. Предполагается, что хотя бы
одна из вычеркиваемых цифр не нуль (XI класс).
250. На плоскости нарисована сеть, образованная из правильных
шестиугольников со стороной 1. Жук, двигаясь по линиям
сетки, прополз из узла А в узел В по кратчайшему пути,
равному 100. Докажите, что половину всего пути он полз в одном
направлении (IX класс).
251. В выражении х1:х2: . . . : х п для обозначения порядка,
в котором нужно производить деление, расставляются скобки,
57 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
после этого данное выражение записывается в виде дроби
х’ Iх’ 2 ■ • -Х‘к
x i \ xi i ■ • ■x/ n — k
( например, (хг: \ (х2:хя)):х4 = Л^2’ ;
((хг :х2): xs) :хл = Л2Л3Л4 /) .
Сколько различных дробей такого вида можно получить из
выражения х^.х^:. . . :х„, по-разному расставляя в нем скобки?
(X—XI классы.)
252. На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить
куб? (X—XI классы)
253. Дан произвольный набор попарно различных целых
чисел:
flj, й2, • • • I &п —1 > ^ 2).
Из него получается новый набор: ^ ~ а»1, Ь Л а? °п, an+ai f
из этого—следующий по тому же правилу и т. д. Докажите,
что через несколько шагов обязательно получится набор, в котором
не все числа будут целыми (XI класс).
254. ABCD —описанная трапеция, Е—течка пересечения
диагоналей, \гг, г2, г3, г4—радиусы окружностей, вписанных в
треугольники БАЕ, ВСЕ, CDE и DAE соответственно. Докажите,
что
J — + -L = -L + _L (XI класс).
ЗАДАЧИ VII ВСЕСОЮЗНОЙ ОЛИМПИАДЫ
255. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено
14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю
фальшивые, а с 8 -й по 14-ю настоящие. Суд же знает только то,
что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят
одинаково и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении
эксперта — чашечные весы без гирь.
а) Эксперт хочет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю
фальшивые. Как он может это сделать, используя только три
взвешивания?
б) Покажите, что с помощью трех взвешиваний он может
доказать даже больше: что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а
с 8 -й по 14-ю настоящие.
256. Докажите, что девятизначное число, в записи которого
участвуют все цифры, кроме нуля, и которое оканчивается цифрой
5, не может быть полным квадратом целого числа.
58 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
257. Дано п точек, п > 4. Докажите, что можно соединить
их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно
было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум
(каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном
направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней
направлении).
258. На сторонах остроугольного треугольника ABC во
внешнюю сторону построены три подобных между собой остроугольных
треугольника АСгВ, ДЛ,С, СВ^А (при этом АВХС =
= ЛВС, = АJ3C; B C A ^ B f i A ; САВ^С^АВ) .
а) Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников
ЛС,В, B A f i и СВ,Л, пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что в той же точке пересекаются прямые Л Л,,
ВВ, и СС,.
259. N человек незнакомы между собой. Нужно так познакомить
друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трех
людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что
это можно сделать при любом N.
260. Король обошел шахматную доску 8 x 8 , побывав на
каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на
исходное поле (король ходит по обычным правилам). Когда нарисовали
его путь, соединив отрезками центры полей, которые
он последовательно проходил, то получилась замкнутая ломаная
без самопересечений. Какой наибольший и какой наименьший
путь мог проделать король?
261. Дан угол с вершиной О и окружность, касающаяся его
сторон в точках Л и Д. Из точки А параллельно ОВ проведен
луч, пересекающий окружность в точке С. Отрезок ОС пересекает
окружность в точке Е, а прямые АЕ и ОВ пересекаются в
точке К. Докажите, что |0 / ( | = |/(Д].
262. Действительные числа а, Ь, с таковы, что для всех
чисел х, удовлетворяющих условию — выполнено неравенство
| ах2 + Ьх + с (^ I .
Докажите, что при этих значениях х выполнено также неравенство
| схг + Ьх + а | ^ 2 .
2S3. Теннисная федерация присвоила всем входящим в нее
теннисистам квалификационные номера: сильнейшему—первый
номер, следующему по силе—второй и т. д. Известно, что во
встречах теннисистов, квалификационные номера которых различаются
более чем на 2 , всегда побеждает спортсмен с меньшим
номером. Турнир, в котором участвуют 1024 сильнейших теннисиста,
проводится по олимпийской системе: участники очередного
тура разбиваются по жребию на пары и в следующий тур выхо59
59 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
дит победитель в каждой паре, так что число участников после
каждого тура уменьшается вдвое. Таким образом, после десятого
тура будет выявлен победитель. Какой наибольший номер может
он иметь?
264. Дан треугольник с площадью 1 и сторонами а, Ь, с.
Известно, что а ‘ ^ Ь ‘ ^ с . Докажите, что b ^ V 2.
265. Дан выпуклый п-угольник с попарно непараллельными
сторонами и точка внутри него. Докажите, что через эту течку
нельзя провести больше п прямых, каждая из которых делит
площадь п-угольника пополам.
266. Квадратный трехчлен / (х) = ах2 + Ьх + с таков, что уравнение
f ( х) = х не имеет действительных корней. Докажите, что
уравнение f(f(x)) — x также не имеет действительных корней.
267. На бесконечном клетчатом листе бумаги п клеток закрашено
в черный цвет. В моменты времени / = 1, 2, . . . происходит
одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему
правилу: каждая клетка К приобретает тот цвет,
который имело в предыдущий момент большинство из трех клеток:
самой клетки К и ее соседей справа и сверху (если две или
три из этих клеток были белыми, то К становится белой, если
две или три из них были черными, то черной).
а) Докажите, что через конечное время на листе не останется
черных клеток.
б) Докажите, что черные клетки исчезнут не позже, чем в
момент времени t = п.
268. Докажите, что если х1г х2, х3, х4, хъ — положительные
числа, то (%!+ х 2 + х3 + хА + хъ)2> 4 (хгх2 + х2х3 + х 3х, + хАх5 + х-хг).
269. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной
плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для
которых эти точки служат вершинами?
ЗАДАЧИ ОЛИМПИАД США
П е р в а я о л и м п и а д а
270. Символы ( a , b , . . . , g ) и [а, Ь, . . . , g] обозначают соответственно
наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное положительных целых чисел а, Ь, . . . , g. Докажите, что
[о, 6, с ] 2 (о, 6, с) 2
[о, 6 ] [6 , с] [с, о] ~ (о, 6 ) (Ь, с) (с, а)’
271. Дан равнобедренный тетраэдр ABCD, т. е. \AB\ = \CD\t
\AC\ = \BD\, \AD\ = \BC»\. Докажите, что все грани тетраэдра —
остроугольные треугольники.
272. Производится случайный выбор одного из девяти чисел
1, 2, 9. Выбор каждого из чисел равновероятен. Определите
60 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
вероятность того, что после п выборов (п > 1 ) произведение
чисел будет делиться на 1 0 .
273. Пусть R — неотрицательное рациональное число. Найдите
фиксированный набор целых чисел а, Ь, с, d, е, f, таких,
что для любого R справедливо неравенство:
I aRZ + bR+c з / 7 Г \ ^ 1 п 3 / 7Л
|dR*—eR-+ f — V * \ < \ R — V Ц-
274. Данный выпуклый пятиугольник ABCDE обладает тем
свойством, что площадь каждого из пяти треугольников ABC,
BCD, CDE, DEA и EAB равна единице. Докажите, что всякий
пятиугольник с таким свойством имеет ту же площадь и к тому
же имеется бесконечно много таких неконгруэнтных друг другу
пятиугольников.
В т о р а я о л и м п и а д а
275. Две точки Р и Q, лежат внутри правильного тетраэдра
ABCD. Докажите, что /M Q < 6Q°.
276. Пусть {*:„} и {уп\ —две целочисленные последовательности,
заданные соотношениями:
Xq — 1 , ^ = 1 , хп+1 — хп -f 2 хп — 1 (я = 1 , 2 , 3 , . . . ):
У а= 1» У\ = , уп+1 = 2уп 3yn—i (п = 1 , 2 , 3 , . . . ).
Докажите, что, кроме 1, никакое другое число не является элементом
обоих последовательностей одновременно.
277. Из вершин заданного правильного (2п+ 1)-угольника
случайным образом выбираются три различные вершины. Считая
все такие выборы равновероятными, найдите вероятность того,
что центр данного многоугольника будет лежать внутри треугольника,
определяемого тремя случайно выбранными вершинами.
278. Найдите все корни, действительные или комплексные,
следующей системы уравнений:
( х + У •+ 2 = 3,
) х*+У2 + г* = 3,
[ хъ.-\-уъ-Л-гь — 3.
279. Докажите, что кубичные корни трех различных простых
чисел не могут быть тремя членами (не обязательно последовательными)
некоторой арифметической прогрессии.
Т р е т ь я о л и м п и а д а
280. Пусть а, b и с обозначают три различных целых числа
и Р — полипом с целочисленными коэффициентами. Докажите
невозможность одновременного выполнения равенств Р(а) = Ь,
Р ф) = с и Р (с) =а.
61 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
281. Докажите, что для любых положительных действительных
чисел а, b и с справедливо неравенство
а + Ь+с
ааЬъсс ^ (abc) 3 .
282. Две граничные точки шара радиуса 1 соединены дугой
длины, меньшей 2, проходящей внутри шара. Докажите, что эта
дуга должна целиком лежать в некотором полушарии данного
шара.
283. Отец, мать и сын решили организовать семейный турнир
из нескольких партий некоей настольной игры. В каждой
партии участвуют два человека, причем ничьих в этой игре не
бывает. Поскольку отец является слабейшим игроком, ему предоставлена
возможность выбрать игроков для первой партии.
Победитель каждой партии играет следующую партию с тем,
кто в данной партии не участвовал, и т. д. Первый из игроков,
выигравший две партии, объявляется победителем турнира. Так
как сын является сильнейшим игроком, то интуитивно ясно, что
отец увеличит вероятность своего выигрыша в турнире, если он
в качестве участников первой партии изберет себя и свою жену.
Докажите, что эта стратегия действительно является оптимальной.
Предполагается, что для каждого игрока вероятность выиграть
у другого отдельную партию не меняется в течение
турнира.
284. Даны два треугольника PQR и ABC (рис. 1). В треугольнике
ABC ADB = BDC — CD А = 120°. Докажите, что
x = u-\-v + w.
ЗАДАЧИ ЧЕХОСЛОВАЦКИХ ОЛИМПИАД
285. Задан прямоугольный равнобедренный треугольник APQ
с гипотенузой АР. Постройте квадрат ABCD так, чтобы прямые
ВС, CD проходили через точки Р, Q соответственно. Выразите
62 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
длину стороны квадрата ABCD через длину а катета данного
треугольника.
286. Найдите все натуральные числа п, для которых число
2 » — 1 является второй или более высокой степенью (с целым
показателем) натурального числа.
287. Дан прямоугольный треугольник ABC, катеты которого
СВ и СА удовлетворяют соотношению | СВ | < | С А |. Найдите
множество всех точек X треугольника ABC, для которых одновременно
выполнены следующие соотношения:
\ХА | > |Х Д | > |Х С ] , х ^ х 2^ х 3, где xlt х2, х3
обозначают расстояния от точки X до сторон ВС, С А, АВ треугольника
ABC соответственно.
288. Даны две одинаковые окружности klt k,, которые пересекаются
в двух разных точках Р, Q. Через точку Р проведем
прямую, пересекающую обе окружности еще в точках X, Y,
которые взаимно отделены друг от друга точкой Р.
а) Найдите множество середин сторон треугольника QXY.
б) Какую фигуру заполнят центры окружностей, описанных
около треугольника QXY?
289. Дана функция
У = у ( 1 1 + 1 ^ 4 = ^ 1 + 1 1—
Постройте график этой функции при — и докажите,
что он состоит из двух отрезков и из дуги окружности.
290. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Постройте
внутри отрезка AD точку Р и внутри отрезка ВС точку Q
такие, что PQ\\AB и AQ\\PC. Выразите |ЛР| , | jBQ ] через
длины сторон данной трапеции.
291. Найдите сумму
sin I sin I sin I sin I
cos 0 cos I ‘ cos I cos 2 ‘ cos 2 cos 3 ‘ ‘ ‘ cos (n— I) cos n ’
где n—целое положительное число.
292. Докажите, что если ребра тетраэдра ABCD связаны
равенством
А В2 + CD2 = А Сг + BD2 = A D2 + ВС2,
то хотя бы одна грань тетраэдра—остроугольный треугольник.
293. Пусть числа о„ а2, . . . , ап ( п ^ 2) положительны. Найдите
все действительные решения системы уравнений:
63 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
2 9 4 . Найдите все тройки простых чисел а, Ь, с, для которых
справедливо неравенство
abc < ab + fee | — са.
2 S 5 . Длина одного бокового ребра четырехуголыюй пирамиды
равна х, длины всех остальных ребер принимают значение
1 .
а) Выразите объем пирамиды как функцию х.
б) Найдите х, при котором объем принимает максимальное
значение.
ЗАДАЧИ ШВЕДСКИХ ОЛИМПИАД
2 9 6 . Числа 1, 2 п переставлены в некотором порядке
аг, а2, ап. Докажите, что если п нечетно, то произведение
(а1— 1 ) (а2—2 ). . . (а„—п) обязательно четно.
297. Найдите многочлен р (х) с целыми коэффициентами,
обращающийся в нуль при x = \ r 2 — \ -V3 и х—\/~2 + \/3.
298. Докажите, что для каждого действительного числа
х~^-~ найдется целое п, такое, что \х— .
ЗАДАЧИ ЮГОСЛАВСКИХ ОЛИМПИАД
299. Дан тетраэдр О АБС, в котором АОВ = БОС = СОА = 90°.
а) Докажите, что вершина О тетраэдра, центр тяжести Т грани
АБС и центр S описанной около тетраэдра сферы лежат на
одной прямой.
б) Докажите, что
ctg а : ctg р: ctg y = a2:b2:c2,
где а = САВ\ Р = ЛДС; у — ВСА\ а—\ОА\\ Ь = \ОВ\\ с — \ОС\.
3 0 0 . Ребро основания правильной четырехугольной призмы
равно 2а, а высота а (1 + 1/3). Проведена сфера, проходящая
через все вершины нижнего основания призмы и касающаяся его
верхнего основания. Найдите площадь части поверхности призмы,
находящейся Енутри сферы.
301. На расстоянии d м от близорукого мудреца лежит предмет.
Мудрец видит предмет только на расстоянии, меньшем 1 м.
з
Мудрец поспорил, что он найдет предмет, сделав меньше -g-d + 7
шагов, при условии, что ему после каждого его шага, имеющего
длину 1 м, скажут «подошел ближе» или «не подошел ближе».
(Предмет считается найденным, если мудрец приблизился к нему
на расстояние меньше 1 м, т. е. когда он может его увидеть.)
Докажите, что мудрец может выиграть этот спор.
64 ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ОЛИМПИАДАХ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
Кабинет математики.
Околоadmin
Comments