дома » Геометрия в школе » Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости. § 4. Свойства преобразований подобия

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости. § 4. Свойства преобразований подобия

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости. § 4. Свойства преобразований подобия.

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости.

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

(стр. 181-226)

 

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

§ 4. Свойства преобразований подобия.

1. Подобие плоскости действительно является преобразованием:
если предположить, что различные точки А и В отображаются на
одну и ту же точку А ъ то из равенства \ А Х А Х \ — k \ А В \, которое
выполняется по определению преобразования подобия, следует,
что | А В \ — 0, т. е. А = В, что противоречит условию.
Являясь преобразованием, подобие обладает всеми свойствами
преобразований. В частности, пересечение (объединение) фигур при
подобии отображается на пересечение (объединение) их образов,
для подобия существует обратное ему преобразование, которое также
является подобием: (П*)»1 = Пк.
2. При подобии сохраняется отношение «лежать между», образом
отрезка, луча, прямой, полуплоскости является соответственно
отрезок, луч, прямая, полуплоскость (см. доказательство соответствующего
свойства гомотетии).
3. Подобие фигур.
О п р е д е л е н и е . Если фигуру F можно отобразить на фи-
ГУРУ так» что для любых точек X, Y фигуры F и их образов Хх,
Yt выполняется равенство |K^YX\ = k \ X Y \ , k > 0, то фигура F x
называется подобной фигуре F с коэффициентом k .

196 Свойства преобразований подобия

Так как при подобии любые две точки X и К отображаются на
такие точки Xt и Y l t что IX^! = k |ХУ|, то образ фигуры при
подобии подобен самой фигуре.
Легко доказать, что отношение подобия фигур обладает свойствами
рефлексивности, симметричности и транзитивности, т. е.
является отношением эквивалентности.
Так как перемещение и гомотетия являются частными случаями
подобия, то конгруэнтные фигуры подобны с коэффициентом 1. Образ
фигуры при гомотетии Н к подобен самой фигуре с коэффициентом
подобия \ k \ .
4. Композиция преобразований подобия с коэффициентами k t
и й2 есть преобразование подобия с коэффициентом k y k 2 . В самом
деле, если X и У — произвольные точки плоскости, Х 1 и Y l — их
образы при подобии П?*, Х2 и Y 2 — образы точек Хх и Y t при подобии
Щ2, то | Х2У2| = кхкг | XY|. Получили, что композиция
Пг2 о П?1 есть преобразование, при котором расстояния между
любыми двумя точками изменяются в отношении k1k2, т. е. П|! о
о П\1 = ПкА.
5. Теорема о преобразованиях подобия плоскости.
Для дальнейшего изучения преобразований подобия, для исследования
возможностей использования преобразований подобия при
решении задач важно выяснить, как может быть задано преобразование
подобия, какие частные виды преобразований подобия,
отличных от гомотетии и перемещения, существуют, каковы характеристические
свойства частных видов преобразований подобия
и т. д.
Преобразование подобия общего вида мы получили, рассматривая
композицию гомотетии и перемещения. Закономерно это или
случайно? Другими словами, любое ли преобразование подобия
плоскости равно композиции гомотетии и перемещения?
Перемещение плоскости — частный вид преобразования подобия.
Для задания перемещения, как следует из аксиомы подвижности,
достаточно указать три пары точек (Л; Лj), (В\ BJ, (С; Сх),
таких, чюС $ { А В ) и \ А 1 В 1 \ = \ А В \ , |51C1|=|SC|, |CX^| — \ С А \ .
Сколько пар точек и каких однозначно определяют преобразование
подобия?
Ответы на поставленные здесь вопросы мы получим, если докажем
теорему о преобразованиях подобия плоскости, являющуюся
аналогом аксиомы подвижности.
Теорема о преобразованиях подобия плоскости: если расстояния
| АВ\ и \ А х В г1 положительны, то существуют два и только два преобразования
подобия плоскости, при которых точки А и В отображаются
на Ах и В) соответственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если |А Х В Х \ =|А В \ , то теорема доказана
(см. аксиому о перемещениях).
Рассмотрим случай, когда | ф \ А В \ . Тогда \ А Х В Х \ = k \ A B \ ,
k > 0, k Ф 1.

197 Свойства преобразований подобия

При гомотетии H k с произвольным центром точки А и В отобразятся
на такие точки А ‘ и В ‘ , что \ А ‘ В ‘ \ — k \ А В \ . По условию
\ А 1 В 11 — k \ A B \ . Поэтому | А’В’\ =| Л^! >0. Тогда существуют
два и только два перемещения Д и /2. при которых точки А’ и В’
отображаются на А1 и Вг соответственно (см. аксиому подвижности).
Тогда при композициях /х о Нк и /2 о Нк точки А и В отображаются
на Ах и В1. Каждая из этих композиций есть преобразование подобия,
причем /2 = Sa о flt где а = (Л^). Поэтому П2 == S а° Пг.
Преобразования Па и П2 различны, так как отображают одну
и ту же полуплоскость с границей (А В) на различные полуплоскости
с границей (Л^х).
Предположим, что существует еще подобие П3, отображающее Л
и В на Лх и Вх соответственно. При композиции Пх о П3
-1 точки Ах
и Вх неподвижны. Но эта композиция есть перемещение, так как
коэффициенты преобразований П~> и Hi — взаимно-обратные числа.
Тогда либо Пх о П3
-1 = Е и Пг = П3, либо Пх о П3
-1 — Sa и
П3 = Sa о Пг — П2, где Sa — симметрия с осью (Л^).
Таким образом, теорема доказана. Кроме того, в процессе доказательства
выяснилось, что, во-первых, каждая полуплоскость с
границей ( А В ) отображается этими двумя преобразованиями подобия
на различные полуплоскости с границей (А г В х) и, во-вторых,
любое преобразование подобия плоскости равно композиции гомотетии
и перемещения.
Доказанная теорема дает возможность выяснить еще ряд свойств
преобразований подобия. Рассмотрим их.
6. Как известно, гомотетия и перемещение первого рода не меняют
ориентации репера. Поэтому репер и его образ при композиции
гомотетии и перемещения первого рода одинаково ориентированы.
Композиция гомотетии и перемещения первого рода называется
преобразованием подобия первого рода. Композиция гомотетии
и перемещения второго рода называется подобием второго рода.
Это название обусловлено тем, что гомотетия не меняет ориентации
репера, а перемещение меняет ее на противоположную.
Из доказательства теоремы о подобиях плоскости следует, что
две пары точек (Л; Л2) и (В; Sx), | Л £ | > 0 , \A1Bl\ ~ k \ A B \ ,
k > 0, задают единственное преобразование подобия первого рода
и единственное преобразование подобия второго рода.
Для задания преобразования подобия достаточно указать две
пары точек (Л; Лх) и (В ; В г ) , таких, что \ А В \ > 0 и и
род подобия или три пары точек (Л; Лх), ( В ; Вх), ( С ; Сх), таких,
что C t ( A B ) и 1ЛА1 : \ А В \ = : |5С| = KVU : |СЛ|.
7. Каждый частный вид перемещения плоскости и гомотетия
являются и частными видами подобия. Выясним, чем характеризуются
частные виды преобразований подобия, отличные от перемещений.
Для этого рассмотрим композиции гомотетии, не равной
перемещению, с каждым из перемещений плоскости.
Перемещениями первого рода являются тождественное преобразование,
перенос и поворот вокруг точки.

198 Свойства преобразований подобия.  

Очевидно, что композиция гомотетии и тождественного преобразования
есть гомотетия. Композиция гомотетии и переноса, гомотетии
и центральной симметрии (частного вида гомотетии) есть гомотетия
(см. § 2).
Композиция гомотетии и поворота на угол, не кратный 180°, не
может быть гомотетией, так как при этой композиции ни одна из
прямых не отображается на параллельную ей.
Таким образом, если преобразование подобия первого рода
отлично от перемещения, то оно является либо гомотетией, либо
композицией гомотетии и поворота на угол, не кратный 180° (см.
табл. 1).

переносная симметрия. Переносная симметрия есть композиция
переноса и осевой симметрии. Тогда композиция гомотетии и переносной
симметрии совпадает с композицией гомотетии, переноса
и осевой симметрии. Но композиция гомотетии с коэффициентом,
отличным от единицы, и переноса есть гомотетия. Следовательно,
композиция гомотетии, отличной от перемещения, и любого перемещения
второго рода равна композиции гомотетии и осевой симметрии.
Таким образом, если преобразование подобия второго рода отлично
от перемещения, то оно является композицией гомотетии и
осевой симметрии (см. табл. 1).
Поскольку свойства других частных видов преобразований подобия
уже рассмотрены (см. свойства перемещений и гомотетии),
далее предстоит изучить свойства преобразований подобия двух
видов: композиции гомотетии и поворота с углом, не кратным 180°,
и композиции гомотетии и осевой симметрии.
8. При изучении свойств поворота выясняется, что угол между
любым лучом и его образом при повороте — величина постоянная,
она равна углу поворота. При гомотетии любой луч отображается
на сонаправленный с ним луч или на противоположно с ним направленный
в зависимости от знака коэффициента гомотетии.
Пусть л к = R ® о Н к , ф ф 180° • п . Если гомотетия Н к отображает
произвольный луч M N на Ш^), а поворот R v отображает
луч M X N X на Ш2#2), то при k > 0 (рис. 17, а ) имеем:
PWtttMAo, = ф)=м([мло, [авд) = Ф).

199 Свойства преобразований подобия

При k < 0 (рис. 17, б ) получим:
([ВД) If [MN), {{М^SJM))=у)? >(([MjV), [M2A^2)) = 180o— ф).
Таким образом, угол между любым лучом и его образом при
преобразовании подобия, равном композиции гомотетии и поворота,
— величина постоянная.
Из рассмотренного свойства следует, что при преобразовании
подобия, равном композиции гомотетии и поворота (на угол, не
кратный 180°), ни одна прямая не отображается на параллельную
ей, т. е. при таком преобразовании подобия не существует инвариантных
пучков параллельных прямых.
З а м е ч а н и е . Пучок прямых называется инвариантным пучком
преобразования /, если для любой прямой а пучка прямая а х —
= / ( а ) принадлежит этому же пучку.
Преобразование подобия второго рода имеет два и только два
инвариантных пучка параллельных прямых. Докажем это.
Если преобразование подобия второго рода равно композиции
S a о Н о , то любая прямая т , параллельная а , отображается на
прямую т ъ также параллельную а , т. е. || т . Любая прямая п ,
перпендикулярная а , отображается на прямую %, перпендикуляр-
лую а , и значит, параллельную п (рис. 18).
Итак, пучок прямых, параллельных а , и пучок прямых, перпендикулярных
а , — инвариантные пучки композиции S a ° Н о .
Если прямая р не принадлежит ни одному из найденных инвариантных
пучков преобразования S a ° Н о , то при гомотетии она отображается
на прямую р ‘ , параллельную р , а р ‘ при симметрии —
на р ъ прич*ем р ‘ и р 1 равнонаклонены к оси а, углы (а, р ‘ ) и
/\
(а, р г ) противоположно ориентированы. А значит, прямая р и ее
образ P i при преобразовании подобия второго рода равнонаклонены
/ч,
к оси а , причем углы ( а , р ) и ( а , р г ) противоположно ориентированы,

200 Свойства преобразований подобия

т. е. прямые р и р х не параллельны
(рис. 19).
9. Перемещение, как известно,4 может
не иметь неподвижных точек (параллельный
перенос и переносная симметрия), иметь
единственную неподвижную точку (поворот
вокруг точки), иметь прямую неподвижных
точек (осевая симметрия), и, наконец,
каждая точка плоскости может быть
неподвижной (тождественное преобразование).
Поскольку перемещение является
преобразованием подобия, то названные
случаи имеют место и для преобразования
подобия. Однако если рассматривать только
преобразования подобия с коэффициентом,
отличным от единицы, то естественно, что у
таких преобразований более одной неподвижной
точки быть не может. Действительно,
если предположить, что подобие
№ , где k Ф 1, имеет две неподвижные
точки Р и Q, то должно выполняться равенство
\ P Q \ = k |PQ|, что для k ф 1 невозможно.

Свойства преобразований подобия.

Свойства преобразований подобия.

Остается выяснить, существует ли хотя
бы одна неподвижная точка.
Гомотетия всегда имеет неподвижную точку. Рассмотрим преобразование
подобия П, равное композиции гомотетии и поворота
(с. углом, не кратным 180°) или композиции гомотетии и осевой
симметрии.
Предположим, что неподвижная точка преобразования подобия
существует. Обозначим ее *S. Для любой прямой р, проходящей-
через точку 5, образ ее при заданном подобии также проходит
через точку S (рис. 20). Пусть М и N — т произвольные точки прямой
/?, а М х и N x — их образы при заданном преобразовании подобия.
Ясно, что { М и N x } a p v При этом имеем:
или
| |: | S M | = | S N 11 : | S N |
о)
Из равенства (1) следует, что прямые М М г и N N ± параллельны.
Обратно. Если заданы пары точек (М; Мг) и ( N \ Д^), такие, что
(АШО || ( N N j ) , а (M N ) f| = 5, то S — неподвижная точка
преобразования подобия, при котором точки М и N отображаются
на М 1 и N x соответственно.
Действительно, при этом преобразовании подобия точка S ,
принадлежащая прямой M N , должна отобразиться на точку S u

201 Свойства преобразований подобия

принадлежащую прямой M X N V Преобразование подобия сохраняет
отношение отрезков и отношение «лежать между». Поэтому точки
S , М , N , для которых выполняется равенство SM = a S N , отображаются
на такие точки S l t М х , N u что выполняется равенство
SiAfi — a S x N x . Но тогда = S.
Таким образом, неподвижная точка преобразования подобия
есть точка пересечения прямых M N и где (М ; и ( N ; N x ) —
пары точек, соответственных при заданном подобии, и прямые М М г
и N N t параллельны.
^ Существуют ли такие пары точек?
Чтобы это установить, воспользуемся следующими свойствами
преобразования подобия: любая прямая и ее образ при композиции
гомотетии и поворота пересекаются (заметим, что рассматривается
поворот на угол, не кратный 180°); прямая и ее образ при композиции
гомотетии и осевой симметрии пересекаются в том случае, когда
прямая не принадлежит ни одному из инвариантных пучков.
Пусть теперь тип — произвольные параллельные прямые (если
П — преобразование подобия второго рода, то прямые нужно
выбрать так, чтобы они не принадлежали инвариантным пучкам
заданного подобия П).
Построим прямые т 1 = 1 \ ( т ) , п х — П ( п ) , т 2 = П ( т х ) , п2 =
= П («х) (рис. 21). Исходя из выше отмеченного свойства, каждая
из построенных прямых пересекается со своим образом. Обозначим
точки пересечения:
т[\т1 = М, т^тъ — Мх, n f \ n 1 = N , п х f|п 2 = N v
Так как при преобразовании подобия пересечение фигур отображается
на пересечение их образов, то П (М) « М х и П ( N ) = N l t т. е.
(М; Мх) и ( N ; N j ) — пары точек, соответственных при подобии П.
Из параллельности прямых т и п следует параллельность их образов
тх и «х- Прямые M N и AfxiVx не параллельны, так как в противном
случае четырехугольник M M X N X N — параллелограмм и
|MiV| = | Mx<Vx I- Последнее невозможно, поскольку рассматривается
подобие, отличное от перемещения. Следовательно, подобие П
имеет неподвижную точку S — ( M N ) f) ( M x N x ) .
Для дальнейшего (см. § 5) заметим следующее: нетрудно доказать,
что прямая M N (прямая M i N J есть множество точек пересечения
прямых, параллельных прямым т и п (соответственно тх и
n t ) со своими образами при подобии П.
Мы доказали теорему о существовании и единственности неподвижной
точки преобразования подобия: преобразование подобия с
коэффициентом, отличным от единицы, всегда имеет, и притом
единственную, неподвижную точку.
Неподвижная точка преобразования подобия называется его
центром.
Пользуясь свойством преобразования подобия иметь единственный
центр, докажем еще ряд свойств подобий.

202 Свойства преобразований подобия

Свойства преобразований подобия.

Свойства преобразований подобия.

10. При преобразовании подобия второго рода существуют две
и только две взаимно перпендикулярные двойные прямые. Каждая
из них проходит через центр подобия и принадлежит одному из инвариантных
пучков прямых.
Прямая, не проходящая через центр, не может быть двойной в
силу различия расстояний от центра до прямой и от центра до
образа прямой. Прямая, не принадлежащая инвариантному пучку,
также не может быть двойной, так как отображается на непараллельную
ей прямую.
Остановимся более подробно на одном свойстве двойных прямых
преобразования подобия второго рода.
Пусть задано преобразование подобия П второго рода, точка
О — его центр, т п I — двойные прямые, П = Sm ° Нк.
Если точка А принадлежит прямой т, то П (Л) = Sm ° (Л) =
— Sm (Лх) = Л2 = Аг и Л2 — образ точки Л при гомотетии Нк
0
(рис. 22).
Если точка В принадлежит прямой /, то П (В) = Sm° Нк
0 (В) =
= Sm ( B j ) — В 2 и В г — образ точки В при гомотетии Н ~ к (рис. 22).
Если точка С не принадлежит ни прямой т , ни прямой I , то
П (С) = SffloH‘ (С) = S m ( С г ) = С2 (рис. 23).
Прямая СС2 пересекает прямую т в точке С0, а / — в точке С’0.
При заданном подобии прямая ОС отображается на (ОС2), а каждая
из прямых I и т — на себя. Следовательно, ( ( О С ) , т ) = ( т , (ОСг))
и ( ( О С ) , t) — ( I , (ОС2)), т. е. прямая т содержит биссектрису угла
СОС2, а прямая I — биссектрису угла, смежного с углом СОС2.
Используя известные свойства биссектрис внутреннего и внешнего
углов треугольника, находим:
1 CgPi
|С„С|
юсу
i ОС I
= k,
КС 1
— |ОС21 _ к
|ОС|
Таким образом, двойная прямая преобразования подобия второго
рода делит отрезок с концами в точке и ее образе (считая от образа
к точке) в отношении, равном коэффициенту подобия. Так как точка

203 Свойства преобразований подобия

Са принадлежит отрезку С2С, то говорят, что прямая т делит
отрезок С2С в отношении k внутренним образом. Точка С’ не принадлежит
отрезку С2С. Поэтому говорят, что прямая I делит отрезок
С2С в отношении k внешним образом.
На отрезке D2D (где D2 = Sm о Hk
Q ( D ) ) существует единственная
точка D0, делящая отрезок D 2 D (считая от точки D 2 ) в отношении
k внутренним (внешним) образом. Поэтому если точка D0 делит
отрезок D2D в отношении k , то она принадлежит двойной прямой
преобразования подобия П второго рода, при котором точкаD отображается
на D2.
Следовательно, множество точек, делящих внутренним образом
отрезки с концами в точке и ее образе (считая от образа) в отношении,
равном коэффициенту подобия, есть одна из двойных прямых
подобия второго рода. Аналогичным образом получаем вторую
двойную прямую — множество точек, делящих указанные отрезки
в том же отношении внешним образом.
Рассмотрим некоторые задачи.
З а д а ч а 1. Даны параллельные неконгруэнтные отрезки АВ
и A l B ^ Построить двойные прямые подобия второго рода, отображающего
точки А и В на А х и Вх соответственно.
Р е ш е н и е . Возможны два случая: прямые А В и А1В1 различны
или совпадают. Рассмотрим каждый из них.
, а) ( А В ) = / = ( А 1В 1) (рис. 24).
Строим точки Р и Q , делящие отрезки А Х А и В Х В в отношении
k — \ А Х В Х \ \ \ А В \ внутренним образом. Прямая P Q — одна из
двойных прямых заданного преобразования подобия второго рода.
Точки, делящие отрезки А Х А и В Х В в отношении k внешним образом,
совпадают с точкой S = ( А Х А ) П (В Х В ). Следовательно,
вторая двойная прямая проходит через точку 5.
Известно, что двойные прямые преобразования подобия второго
рода взаимно перпендикулярны. Поэтому вторую двойную прямую
строим через точку S перпендикулярно прямой P Q .
б) ( А В ) = ( А Х В Х ) (рис. 25).
Ясно, что прямая А В — одна из двойных прямых подобия, причем
точки А х и В 1 — образы точек А и В при гомотетии с центром

Свойства преобразований подобия.

Свойства преобразований подобия.

204 Свойства преобразований подобия

в центре заданного подобия (см. рис. 22).
Двойные прямые проходят через центр подобия.
Поэтому строим центр М гомотетии,
отображающей точки А и В на А ± и В х
соответственно (см. задачу после свойства
9 гомотетии). Точка М есть центр за- Р
данного подобия. Через точку М строим
прямую, перпендикулярную прямой А В .
Она и является второй двойной прямой подобия
второго рода, заданного парами то- А
чек (Л; Л2) и ( В ; В г ) ,
Заметим, что подобие первого рода в
случаях а) и б) есть гомотетия с центром 5
(в случае а)) и с центром М (в случае б)).
З а д а ч а 2. Построить двойные прямые подобия второго рода,
заданного парами точек (Л; Л*) и ( В ; B t ) , если А х = В (рис. 26).
Р е ш е н и е . Строим точки Р и Q , делящие отрезки А г А и
В г В в отношении k = \ A x B 1 \ : \ А В \ внутренним образом. Точки
М и N делят отрезки ЛХЛ и В г В внешним образом (считая от точек
А х и В ] ) . Прямые PQ и M N искомые.
З а д а ч а 3. Дан четырехугольник A BCD. Его стороны DA
и СВ разделены точками Р и Q в отношении \ D C \ ‘ . \ А В \ внутренним
образом, а точками М и N в том же отношении (считая от точек
D и С) внешним образом. Доказать, что прямые M N и PQ перпендикулярны.
Р е ш е н и е . Пары точек (Л; D ) и ( В ; С ) задают единственное
подобие первого рода и единственное подобие второго рода. Построенные
прямые PQ й M N — двойные прямые подобия второго
рода, отображающего точки Л и В на D и С соответственно. Но
двойные прямые подобия второго рода перпендикулярны. Следовательно,
прямые PQ и M N перпендикулярны (рис. 27).
11. Пусть преобразование подобия П задано двумя парами соответственных
точек. Чтобы представить его композицией гомотетии
и перемещения, нужно выполнить гомотетию с произвольным центром,
а затем соответствующее перемещение. Так как выбор центра
гомотетии произволен, то преобразование подобия представляется
композицией гомотетии и перемещения неоднозначно. Существование
единственной неподвижной точки преобразования подобия
дает возможность представить его композицией гомотетии и поворота,
если это преобразование первого рода, или гомотетии и осевой
симметрии, если это преобразование второго рода, так, что центр
гомотетии и центр поворота совпадают или центр гомотетии принадлежит
оси симметрии.
Т е о р е м а 1 . Преобразование подобия первого рода, не являющееся
перемещением, есть либо гомотетия с положительным коэффициентом,
либо представимо единственным образом такой композицией
гомотетии с положительным коэффициентом и поворота,
что центры гомотетии и поворота совпадают с центром подобия

205 Свойства преобразований подобия

Свойства преобразований подобия.

Свойства преобразований подобия.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть задано преобразование
подобия 1\к
т первого рода, отличное
от перемещения, и М —его центр. Компози-
_i
ция П* о Ям есть перемещение первого рода с
неподвижной точкой М. Следовательно, либо
L L
П* о HkM = Е и rt =ЕоЯ?и,т. е. Гt M = H k
M ,
1_
либо П.м о Нкм= Rl и ° н%. В частном
случае, когда ср = 180°, подобие
есть гомотетия с отрицательным коэффициентом
(—k), так как ZM = Нм1 и — ZM о Нм —
Ы —1 Z j k ___ гг—k = Нм ° Пм = Пм .
Единственность представления следует и из того, что преобразование
подобия, отличное от перемещения, имеет единственный центр.
Такое преобразование подобия называется подобием с углом
поворота ф или центрально-подобным поворотом с углом ср.
Оно характеризуется центром, коэффициентом и углом поворо-
та — Пд}ф.
При центрально-подобном повороте угол между любым лучом
и его образом равен углу поворота.
Т е о р е м а 2 . Гомотетия и поворот с общим центром в
представлении подобия первого рода перестановочны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подобие Пмф при k Ф 1 равно композиции
Rm ° Нм (см. теорему 1). Композиция Пм4* ° Rm4’ есть
подобие с центром М и коэффициентом k . Кроме того, при этом
подобии любой луч отображается на сонаправленный с ним луч
(рис. 28). Следовательно, п£}ф ° R7? = Нк
м и П&ф = Нм о R % ,
т. е. U l o H k M = Hk
M о RV
Т е о р е м а 3 . Преобразование подобия второго рода, не являющееся
перемещением, представимо единственным образом композицией
гомотетии с положительным коэффициентом и симметрии с
осью, проходящей через центр гомотетии, причем центр гомотетии
совпадает с центром подобия.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть задано преобразование подобия
второго рода Пм с центром М, k ф 1.
L
Композиция Пм о Нм есть перемещение второго рода с непод-
i_
вижной точкой М. Следовательно, Пм о Нм = Smi причем М £ т.
Тогда Пм = Sm о Нм, где М
Так как преобразование подобия, отличное от перемещения,
имеет единственную неподвижную точку, то представление П м=
= Sm о Нм единственное.

206 Свойства преобразований подобия

Свойства преобразований подобия.

Свойства преобразований подобия.

Такое подобие называют еще центрально-
подобной симметрией. Оно характеризуется
центром, коэффициентом и
осью симметрии —П%%т.
Т е о р е м а 4 . Гомотетия и симметрия
с осью, проходящей через центр
гомотетии, в представлении подобия
второго рода перестановочны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . ПустьП^.т =
= Sm о Нм, k ф 1. КОМПОЗИЦИЯ Пм,т о
о Sm есть преобразование подобия второго
рода с центром М и коэффициентом
k. При этом подобии любой луч отображается
на сонаправленный с ним луч
(рис. 29). Следовательно, Пм>т о Sm =
= Нм или Пм,т=#л1о5т> т. е. Smо Нм=
= H M o S m > если М £ т .
Подводя итог, отметим следующее.
Существует пять видов преобразований
подобия первого рода: тождественное
преобразование, параллельный перенос,
поворот вокруг точки (в том числе и
центральная симметрия), гомотетия и
центрально-подобный поворот. Преобразований
подобия второго рода три вида:
осевая симметрия , переносная симметрия
и центрально-подобная симметрия. В
некоторых случаях (например, при
выяснении вопросов теоретико-группового
характера) тождественное преобразование
рассматривается как частный
случай переноса, поворота, гомотетии
или центрально-подобного поворота, поворот
— как частный случай центрально-
подобного поворота, осевая симметрия
— как частный случай переносной
или центрально-подобной симметрии.

207 Свойства преобразований подобия

Похожие статьи:
Школьная Математика
Школьный курс математикиШкольная математика скачатьШкольные учебники по математике.
Школьные задачи по математикеМатематика 1 класс. Математика 2 КЛАСС. Математика 3 КЛАСС. 

Около

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии