дома » Алгебра в школе » Исследование графика квадратичной функции

Исследование графика квадратичной функции

§ 8. Исследование графика квадратичной функции

ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

При построении графика квадратичной функции
у — а х 2 — \-b x -\-c
могут представиться следующие случаи.

Сл у ч а й ! . а > 0; Ь% — 4 ас > 0. В этом случае бесконечные
ветви параболы направлены вверх, ордината вершины
4 ас — Ъ% Ь2 — 4 ас
4 а 4 а
вер-
абс-
отри цате льна, и следовательно,
шина расположена ниже оси
цисс (рис. 59). В силу этого парабола
должна пересекать ось абс^
цисс в двух точках. Абсциссы этих
точек являются корнями трехчлена
a x l -\-b x -\-c или, что то же самое,
корнями уравнения а х 2 -f* bx -f- с = 0,
ибо ордината любой точки оси абсцисс
есть 0.
Таким образом, мы убеждаемся из геометрических соображений,
что в этом случае трехчлен имеет два действительных корня.

317 Исследование графика квадратичной функции. Описание кабинета математики.

Случай 2. а 0; Ь* — 4ас = 0. Бесконечные ветви направлены i
вверх. Ордината вершины d равна нулю, т. е. вершина лежит на оси
абсцисс и парабола касается оси абсцисс в одной точке (рис. 60).

Таким образом, трехчлен ах* -f- bx -f- с имеет в этом случае
только один корень.
Случай 3. д^>0; Ь2 — 4яс<^0. Бесконечные ветви параболы
направлены вверх. Ордината вершины
d, = ——Ъ—2 -—~А- -4- а-с- Аа
положительна, т. е. вершина расположена выше оси абсцисс (рис. 61).
Следовательно, и вся парабола расположена выше оси абсцисс и
с ней не пересекается.
Трехчлен a x l — \-b x -\-c в этом случае действительных корней не
имеет.
С л у ч а й 4. а 0; b1 — Аас 0. В этом случае бесконечные
ветви параболы направлены вниз. Ордината вершины
, Ъ3 — Аас
d = ——— 4а
положительна, и следовательно, вершина лежит выше оси абсцисс
(рис. 62). Следовательно, .график пересекает ось абсцисс в двух
точках, и потому трехчлен а х* -\-Ь х -\-с имеет два действительных
корня.
Случай 5. а 0; Ь* — 4ас — 0. Бесконечные ветви направлены
вниз. Ордината вершины
^ Ь8 — Аас
Аа
равна нулю (рис. 63). График касается оси абсцисс снизу водной точке.
Следовательно, трехчлен имеет один действительный корень.

318 Исследование графика квадратичной функции. Описание кабинета математики.

Случай 6. 0; Ь2 — 4 а с < 0 . Бесконечные ветви графика
направлены вниз. Ордината вершины
dj = Ъ* —л- -4- -а-с— Аа
отрицательна, т. е. вершина лежит ниже оси абсцисс. Следовательно,
У j
Рис. 62.
и весь график лежит ниже оси абсцисс и с ней не пересекается
(рис. 64). Трехчлен ах* -f- bx с не
имеет действительных корней.
Итак, из геометрических соображений
мы получили, что трехчлен а х 1 -|- bx -f- с
имеет два действительных корня, если
Ь* — 4ас^>0 (случаи 1 и 4), один действительный
корень, если Ь* — 4ас — 0
(случаи 2 и 5), и не имеет действительных
корней, если Ь*— 4ас<^0 (случаи
3 и 6).
Эти результаты совпадают с результатами
алгебраического исследования, проведенного
в § 4 гл. II. Имеется только
небольшая разница в описании случая
b’L — Аас — 0. Именно, при алгебраическом
исследовании единственный существующий
в этом случае корень рассматривается как «двойной», т. е.
как два совпадающих корня.

319 Исследование графика квадратичной функции. Описание кабинета математики.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика