дома » Геометрия в школе » Методы геометрических преобразований

Методы геометрических преобразований

с) Методы геометрических преобразований.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Методы геометрических преобразований

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

283 .Если учащийся привыкнет применять на практике предыдущие
указания; если он будет подставлять, в известном смысле механически,
определения на место определяемых понятий; если он будет уметь
*) В элементарной геометрии мы ставим своей целью решение задач
при помощи циркуля и линейки, т. е. рассматриваем только геометрические
места, представляющие прямые или окружности; ‘
2) Мы говорили выше в таких случаях, например в п. 93: „Предположим,
что задача решена».
3) Имеется русский перевод—Харьков, 1883. Прим. ред. перевода.

254 Методы геометрических преобразований. 

быстро находить различные формы, которые можно придать той задаче,
которую он намерен решить, то он очень скоро научится решать многие
задачи элементарной геометрии. Тем не менее некоторые из этих
задач могут показаться ему очень трудными или даже неразрешимыми,
в то время как в действительности они решаются иногда весьма просто;
однако решение этих задач не получается непосредственно теми
рассуждениями, которыми мы пользовались до сих пор. Они требуют
для своего решения других способов, служащих для упрощения задачи,
о которых нам и осталось рассказать. Эти способы упрощения представляют
собой методы геометрических преобразований.
Собственно говоря, после того что было сказано выше, мы в праве
были бы назвать все геометрические методы „методами преобразований».
Однако мы относим это название исключительно к тем методам,
которые состоят в переходе от некоторых свойств одной фигуры
к соответствующим свойствам другой фигуры.
Определить какое-либо геометрическое преобразование — значит
поставить любо! данной фигуре в соответствие некоторую другую
фигуру по определённому закону так, чтобы вторая фигура была
вполне определена, как только дана первая фигура, и обратно. На
основании каждого свойства одной фигуры можно сделать заключение
о некотором свойстве второй фигуры, которые можно в известном
смысле рассматривать как перевод данного свойства первой фигуры.
П р и м е р ы . Мы определили выше фигуру F\ гомотетичную F относительно
данного центра при данном коэффициенте подобия. Если фигура F
дана, то можно построить фигуру F’. Мы видели, что прямой линии фигуры
F соответствует в F’ также прямая, что любому треугольнику
фигуры F соответствует в F подобный ему . треугольник, любой окружности
фигуры F — окружность в фигуре F, и т. д.
Точно так же, если дана фигура F, то можно построить фигуру F,
которая получается из нее с помощью данного вращения, поступательного
перемещения или симметрии; или общее —фигуру F\ подобную фигуре F,
так, что двум данным точкам А и В фигуры F будут соответствовать две
данные точки А’ и В1 в фигуре F. Свойства фигуры F’ непосредственно
вытекают из свойств фигуры F.

284. Однако не всегда следует применять преобразование ко всей
рассматриваемой фигуре.

Напротив, во многих случаях оказывается
удобнее преобразовывать только часть фигуры.
Последнее имеет, в частности, место в случае тех простых преобразований,
о которых мы только что говорили: перемещения, симметрии,
гомотетии и общего случая подобия. В большинстве случаев нет
никакого смысла применять эти преобразования ко всей фигуре, поскольку
свойства преобразованной фигуры не проще и не сложнее
свойств первоначальной фигуры: обе фигуры обладают одними и теми
же свойствами1). Напротив, во многих задачах бывает необходимо подвергнуть
одному из этих преобразований определённую часть фигуры.
*) Геометрия как раз изучает те свойства фигур, которые не изменяются
при их перемещении.

255 Методы геометрических преобразований. 

П р и м е р I, Рассмотрим следующую задачу (упр. 32): Даны две параллельные
прямые и две точки А и В, находящиеся вне этих параллельных
и расположенные по обе стороны от них; найти ломаную линию наименьшей
длины, соединяющую точки А и В, если вершины этой ломаной
лежат на данных прямых и отрезок ломаной между обеими параллель
ними имеет данное направление.
Пусть A M N B — искомая ломаная (черт, 234); точка N получается и ;
точки М с помощью поступательного перемещения, которое можно, очевидно,
считать известным, так как отрезки, отсекаемые двумя данными
параллельными прямыми на любой прямой данного направления, имеют
одну и ту же длину. Мы можем выполнить это поступательное перемещение
над отрезком А М \ точка А преобразуется в точку С, положение которой
известно, а отрезок A M — в отрезок С М той же длины. Отсюда
легко вывести, что точки В , Nf С
В должны лежать на одной прямой.
Аналогичные соображения применимы
к задачам 118—121 (книга
вторая).
П р и м е р И. В упражнении 14
отрезок, симметричный с отрезком
AM относительно данной прямой,
будет лежать на одной прямой с
Д отрезком ВМ.

285. Однако есть некоторые
задачи на построение,

для которых
следует подвергнуть перемещению, симметрии или преобразованию
подобия всю рассматриваемую фигуру. Преимущество, которое
может дать это преобразование, состоит в замене неизвестных
элементов первоначальной фигуры известными элементами преобразованной
фигуры.
П р и м е р . Пусть требуется в данный четырёхугольник ABCD вписать
другой четырёхугольник, подобный некоторому данному четырёхугольнику
mnpq.
Существует фигура, которая подобна искомой и в которой искомому
четырёхугольнику MNPQ соответствует четырёхугольник mnpq. Четырёхугольнику
ABCD будет соответствовать четырёхугольник abcdr описанный
около mnpq, и который, следовательно, можно построить, пользуясь решением
упражнения 213.

286. Остальные преобразования,

которые мы рассматривали, изменяют
в отличие от преобразований, перечисленных в п. 284, свойства
преобразуемых фигур более или менее заметным образом.
Такова, например, инверсия, преобразующая каждую прямую первоначальной
фигуры в окружность, или преобразование с помощью
взаимных поляр. С помощью этих преобразований мы упростили в
дополнениях к третьей книге доказательства нескольких теорем.
Другим преобразованием, окотором мы только упомянули и которое
следует здесь отметить, являетая перспектива. В том виде, в котором
мы имели возможность её определить в геометрии на плоскости, она
применима только к фигурам, состоящим из точек,-лежащих на одной
прямой. Преобразованная фигура получается путём соединения каждой
из точек первоначальной фигуры с определённой точкой, лежащей вне
данной прямой, пересекая полученные таким образом прямые неко-

256  Методы геометрических преобразований. 

торой секущей и выполняя над полученными точками произвольное
перемещение, мы и получаем преобразованную фигуру.

287. Следует отметить существенное различие,

которое существует
между преобразованием с помощью взаимных поляр и другими перечисленными
преобразованиями, как-то: подобием, инверсией и перспективой,
Последние представляют собой точечные преобразования, т. е.
такие,в которых каждой точке первоначальной фигуры соответствует
01фе&ёл£нная точка преобразованной фигуры. Этим свойством не обладает
преобразование с помощью взаимных поляр, в котором каждой
точке одной из фигур соответствует в другой фигуре прямая.
Другое преобразование, которым мы в нескольких местах пользовались
в настоящей книге, обладает, как и предыдущее, тем свойством,
что оно не является точечным преобразованием. Это преобразование,
которое можно назвать расширением (dilatation), мы применяли к
фигурам, образованным окружностями и прямыми. При этом преоб-
рззовании мы увеличиваем или уменьшаем (в зависимости от обстоятельств)
радйуё каждой окружности на одну и ту же данную
величину а. Конечно, при этом может случиться, что радиус какой-либо
окружности обратится в нуль: соответствующая окружность обратится
в точку. Обратно, точку следует рассматривать при этом преобразовании
как окружность с радиусом, равным нулю, и она преобразуется
поэтому в окружность радиуса а. Что касается до прямых,
входящих в состав преобразуемой фигуры, то каждая из них переносится
перпендикулярно к её направлению в ту или другую сторону
на то же самое расстояние а1).
Существенное свойство расширения состоит в том, что две линии,
касающиеся друг* друга, остаются касательными и после выполнения
расширения при надлежащем выборе его направления (см. упр. 59)2).
Этим именно свойством расширения мы и пользовались в пп. 93
и 231.

288. Приведённые формы.

Поскольку целью геометрического
преобразования является упрощение преобразуемой фигуры, следует
стремиться в каждом отдельном случае к наибольшему упрощению.
С этой целью заметим, что перечисленные выше различные геометрические
преобразования содержат в себе произвольные элементы.
Так> дапример, в случае гомотетии необходимо выбрать центр подобия
и K<j3N^gifae«T подобия; в случае инверсии — полюс инверсии и её
*)_ Мы видим, что расширение окружности иди прямой можно выполнить
всегда в двух противоположных направлениях; в каждом отдельном
случае приходится выбирать одно из этих двух направлений.
2) Понятие расширения обобщается (с помощью соображений, которые
выходят из рамок данной книги) и на фигуры, в состав которых входят
произвольные кривые; можно доказать, что я в таком обобщённом виде это
преобразование сохраняет свойство преобразовывать две линии, касающиеся
друг друга, в две линии, которые также касаются друг друга. Этим свойством
обладает и преобразование с помощью взаимных поляр, если его
соответствующим образом обобщить (см. том И, п. 819).
9 Элементарная геометрия, ч* I

257  Методы геометрических преобразований. 

степень1); в случае расширения — величину а, о которой говорилось
в предыдущем пункте, и т. д.
Следовательно, к каждому из перечисленных видов геометрических
преобразований принадлежит бесчисленное множество различных преобразований.
Из этих преобразований надо выбрать одно так, чтобы преобразованная
фигура удовлетворяла одному или нескольким вполне определённым
условиям. Принимая во внимание то, что было сказано в
п. 280, следует брать возможно* большее число таких условий. Преобразованная
фигура называется в этом случае приведённой формой
первоначальной фигуры.
П р и м е р I. Окружность всегда можно подвергнуть такому расширению,
которое преобразовывало бы её в точку: для этого достаточно выбрать
величину я, равной её радиусу.
Приведённой формой фигуры, содержащей некоторую окружность С,
относительно расширения будет та фигура, в которой эта окружность
обращается в точку. Этой приведённой формой мы пользовались в пп. 93
и 231.
При м: ер II. Две окружности, имеющие общую точку, можно преобразовать
с помощью одной и той же инверсии в две прямые (выбирая за
полюс инверсии их общую точку); две окружности, не имеющие общих
точек, •— в две концентрические окружности (см. упр. 248). Иначе говоря,
приведённой формой фигуры, состоящей из двух окружностей, будет совокупность
двух прямых или двух концентрических окружностей, смотря по
тому, имеют ли две данные Окружности общие точки или-нет.
П р и м е р III. В приведённом выше, в п. 285, примере мы воспользовались
в качестве приведённой формы данной фигуры относительно подобия
той формой преобразованной фигуры, которая определяется требованием,
чтобы искомый четырёхугольник преобразовался в данный четырёхугольник
mnpq.

289. Инварианты.

Преимущества геометрического преобразования
могли бы быть лишь кажущимися, если бы оказалось, что при
упрощении известных свойств, данной фигуры усложнились другие
её свойства. Следовательно, мы должны выполнять это преобразование
только в том случае, если различные свойства фигуры, упоминаемые
в условии задачи, изменяются при данном преобразовании достаточно
простым образом.
Оказывается, что почти во всех типах преобразований, обзор которых
мы только что дали, известные свойства фигуры не испытывают
никакого изменения; эти свойства, как говорят, инвариантны.
П р и м е р Ь Мы видели, что в случае гомотетии углы преобразованной
фигуры равны углам первоначальной фигуры, что равными остаются отношения
отрезков, и т. д.
П р и м е р II. Мы видели, что расширение преобразует две окружности,
касающиеся друг друга, в две другие окружности, также касающиеся
друг друга. Касание есть свойство, инвариантное по отношению к преобразованию
расширения.
*) Мы видели (п. 215), что наибольшее значение имеет, вообще говоря,
выбор полюса инверсии..

258  Методы геометрических преобразований. 

П р и м е р III. Угол между двумя линиями представляет собой свойство,
инвариантное по отношению к инверсии (п. 219),
И т. д. .

290. Выполнение преобразования не может вызвать никаких
затруднений,

если в условии задачи упоминаются только инвариантные
сЬойства фигуры. В этом случае возможно, в частности, всегда
предполагать, что заданная фигура уже преобразована в её приведённую
форму.
П р и м е р ы. Касание есть свойство, сохраняющееся при расширении;
поэтому при отыскании общих касательных к двум окружностям можно
предполагать, что одна из них обращается в точку., Мы следовали этому
пути в п. 93.
То же самое относится и к отысканию окружности, касательной к трём
данным окружностям (п. 231).
Касание есть- свойство инвариантное также и по отношению к инверсии.
Следовательно, при отыскании окружности, касательной к трём данным
окружностям, можно предполагать, что две из них обращаются в прямые
линии или что две из них концентричны (упр. 264 и 265).
То же самое относится и к доказательству теорем, аналогичных следующей:
все окружности, пересекающие две данные окружности под
постоянными углами, касаются двух определённых окружностей; или
теоремы, составляющей содержание задачи 285, и т. д.

291. Группы преобразований

1). Рассмотренное свойство тех
преобразований, о которых мы говорили—существование инвариантов,
является следствием другого их основного свойства, о котором
мы также скажем несколько слов.
Произведением двух или нескольких преобразований,называется
преобразование, равносильное этим преобразованиям, выполненным в
том порядке, в каком они перечислены 2). Иначе говоря, если преобразование
5 преобразует фигуру F в фигуру F\ а преобразование Г,
применённое к фигуре FT, преобразует её в фигуру то произведением
обоих преобразований будет то преобразование, с помощью которого
происходит переход от F к Ff\
П р и м е р . Результат, доказанный в п. 102а, может быть сформулирован
следующим образом: произведение двух симметрий представляет
собой либо вращение, либо поступательное перемещение.
Установив определение произведения преобразований, мы будем
говорить, что некоторая совокупность преобразований представляет
*) Конец этого прибавления рассчитан главным образом на тех читателей,
которые знакомы с содержанием„Дополнений к третьей книге**
2) Произведение двух преобразований изменяется, вообще говоря,
с изменением порядка сомножителей. Так, произведение Двух симметрий
относительно двух различных осей будет либо вращением, либо поступательным
перемещением. В первом случае соответствующий угол поворота
будет иметь то же направление, как и угод поворЪта, совмещающего
первую ось симметрии со второй, и вдвое ббльшую величину. Во втором
случае соответствующее поступательное перемещение будет иметь то же
самое направление, как и поступательное перемещение, совмещающее первую
ось симметрии со второй, и вдвое большую величину.

259  Методы геометрических преобразований. 

есть преобразование той же совокупности.
Так, совокупность всех гомотетий есть группа: это предложение
равносильно утверждению, что две фигуры, гомотетичные третьей,
гомотетичны между собой. Совокупность всех гомотетий, центры которых
лежат на одной прямой, есть также группа, так как мы знаем,
что центр гомотетии, являющейся^произведением двух других’ гомотетий,
лежит на одной прямой с центрами этих двух гомотетий.
Все перемещения образуют группу, так как две плоские .фигуры,
равные одной и той же третьей фигуре и имеющие с не#
одинаковое направление вращения, равны между собой и имеют
одинаковое направление вращения.
292. Совокупность всех инверсий не образует группы, Произведение
двух инверсий не есть инверсия. Однако можно получить
результат, аналогичный предыдущему, рассматривая преобразования,
состоящие из нескольких последовательных инверсий.
Назовём для краткости преобразованием 5 всякое произведение
каких-либо инверсий (или симметрий), взятых в любом числе. Преобразования
этого типа содержат как частный случай все перемещения,
так как перемещение можно разложить на две симметрии, все гомотетии,
так как гомотетия получается как произведение двух инверсий
с общим полюсом, но с различными степенями, а следовательно, к все
преобразования подобия, так как подобие получается как гомотетия,
сопровождаемая или не сопровождаемая перемещением и симметрией.
Может показаться, судя по определению преобразований 5, что для
Того, чтобы их все исчерпать, необходимо рассматривать преобразования,
состоящие из п инверсий, где п последовательно пробегает *
все целые числа, и что, останавливаясь на каком-либо значении п, мы
получим лишь часть рассматриваемых преобразований. .
Однако это не так: любое преобразование 5 может быть сведено
к инверсии йодной, двум или трем симметриям, предшествующим
этой инверсии или следующим за ней, за исключением того случая,
когда данное преобразование является простым подобием (упр.. 252).
Следовательно, достаточно четырёх простых операций (инверсий или
симметрий), чтобы получить любое из преобразований 5.
Так как каждая из любых двух операций 5 равносильна некоторой
последовательности инверсий, то же самое имеет место и для их произведения:
операции S образуют группу, которую можно было
бы для краткости назвать группой инверсий.
293. Две фигуры /% F, которые преобразуются друг в друга
одним из преобразований данной группы, называются эквивалентными
(homologues) относительно этой группы. Например, две фигуры, равные
между собой и имеющие одинаковое направление вращения, эквивалентны
относительно группы, образованной всеми перемещениями.
В силу определения группы, две фигуры F, F7, эквивалентные
третьей фигуре Ff, эквивалентны между собой, так как преобразование,
с помощью которого происходит переход от F к F , f
9 есть произ-

260 Методы геометрических преобразований. 

ведение тех преобразований, которые преобразуют, с одной стороны,
F в F, с другой стороны, F в F\
Приведённая форма F0 фигуры F относительно данной группы есть
та из фигур, эквивалентных F относительно этой группы, которая
удовлетворяет некоторым заданным условиям, Если:этих условий будет
достаточное число и они выбраны надлежащим образом, то их достаточно
для полного определения фигуры/^, являющейся приведённой
формой фигуры F.
Предположим, что это так и есть: если мы применим к фигуре F
какое-либо из преобразований данной группы* то полученная при этом
новая, фигура F будет иметь своей приведённой формой также F0,
так как фигуры, эквивалентные фигуре F, будут в то же время эквивалентными
фигуре Z7′, и обратно.
Так как приведённая форма некоторой фигуры F будет та же
как и приведённая форма любой фигуры, получаемой из F с
взйощыо преобразований группы, то всякое свойство приведённой
фигуры’ есть инвариантное свойство фигуры F.

294. Поясним сказанное на примере.

Пусть дана фигура, образованная четырьмя произвольными точками
Л, В, С, D; поставим себе задачей найти инварианты этой фигуры
относительно группы инверсий. С этой целью рассмотрим фигуру,
обратную данной фигуре, принимая за полюс инверсии I точку Л.
Если точки Ву Су D имеют своими обратными точками точки b, су d,
то мы имеем фигуру, эквивалентную первой (её приведённую форму),
в которой одна из четырёх точек (та, которая соответствует точке Л)
удалена в бесконечность. Повторяя для этого частного случая то
общее рассуждение, на которое мы только что указывали, мы убе-
дздс8,чта углы треугольника bed являются инвариантами фигуры ABCD
(это кай раз то предложение, непосредственное доказательство которого
требуется найти в упр. 270).
Пусть Л’, В’у С\ Dr — точки, получающиеся из точек Л, В, С, D
с помощью некоторой инверсии Т. Поступим с точками Аг, £’, С, Dr
так, как мы выше поступали с Л, В, С, D; пусть b\ cr, d! — фигура,
которая получается из B f C D f с помощью инверсии /’, имеющей своим
полюсом тючку А \ фигура, состоящая из точек br, с \ d! и точки, лежащей
ь бесконечности, получается из фигуры, состоящей из точек by с } d и
тощей, лежащей в бесконечности, с помощью одного из преобразований
нашей группы, а именно с помощью произведения трёх инверсий
/, Т , /’. Это преобразование сводится, как мы знаем, либо к одной
инверсии, сопровождаемой симметриями, либо к подобию. Но первое
предположение в данном случае невозможно по крайней мере в том
случае, когда инверсия, о которой идёт речь, есть инверсия в собственном
смысле словам действительно, инверсия необходимо преобразовывала
бы точку, лежащую в бесконечности*, в точку, лежащую
в конечной части плоскости (а именно — в полюс инверсии). Следовательно,
треугольники bed и b’crdr подобны между собой, что
и требовалось доказать.

261  Методы геометрических преобразований. 

Следовательно, углы й отношения сторон треугольника bed действительно
являются инвариантами фигуры ABCD относительно данной
группы. Из этих инвариантов независимыми будут только два,
т. е. достаточно задать два из них, чтобы знать все остальные:
действительно, знания двух углов треугольника bed достаточно,
чтобы построить треугольник, ему подобный.

295. Мы только что видели, что существование инвариантов
вытекает из существования группы;

обратно, совокупность всех
преобразований, обладающих одними и теми же инвариантами, образует
группу: в самом деле, если какое-либо свойство фигуры не
изменяется при двух данных преобразованиях, то то же свойство
фигуры не изменяется и при преобразовании, представляющем собой
произведение этих двух преобразований.
П р и м е р I. Гомотетия преобразует все отрезки в отрезки, параллельные
первоначальным и им пропорциональные. Обратно, любое точечное
преобразование, обладающее этими двумя свойствами, есть гомотетия (п. 142),
Следовательно, совокупность всех гомотетий образуем группу. Рассуждение,
приведённое в п. 144, представляет собой лишь видоизменённую форму того
рассуждения, которое мы только что провели.
П р и м е р II. Перспективное преобразование сохраняет сложное отношение
четырёх точек; и обратно, любое преобразование, выполняемое над
точками одной прямой, которое не изменяет сложного отношения, будет
перспективным преобразованием 1).
Следовательно, все перспективные преобразования образуют группу.
Мы ограничимся здесь этими общими указаниями относительно геометрических
преобразований, а за подробностями, касающимися их
применения, отошлём читателя к цитированной уже книге Петерсена.

262  Методы геометрических преобразований.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии