дома » Геометрия в школе » Метод равных периметров

Метод равных периметров

Метод равных периметров

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Метод равных периметров

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

182. Вычисление тс. Метод равных периметров. Предыдущий
метод можно представить в несколько иной форме.
Действительно, задача состоит в вычислении отношения периметра р
правильного многоугольника к радиусу R описанного круга и к апофеме
а, или, что то же, к радиусу вписанного круга, причём это
вычисление должно быть выполнено для многоугольников, число сторон
которых неограниченно возрастает. Но совершенно безразлично,
будут ли многоугольники, которые мы последовательно рассматриваем,
вписанными в одну и ту же окружность или нет, так как отношения

и — зависят только от числа сторон многоугольника (п. 163). R а
Метод равных периметров заключается в рассмотрении правильных
многоугольников, число сторон которых неограниченно
удваивается и которые имеют один и тот же периметр. Таким образом,
мы должны сперва решить следующую задачу.
Задача. Зная радиус R и апофему а правильного многоугольника
*), вычислить радиус Rr и апофему аг правильного многоугольника
с удвоенным числом сторон, имеющего с первым равный периметр.
Пусть АВ (черт. 181) — сторона правильного многоугольника с
п сторонами, вписанного в окружность радиуса OA=R. Опустим на АВ
перпендикуляр О Н — а и продолжим его до встречи с окружностью
в точке С, середине дуги А В . Соединим точки А и В с точкой С и

*) Под «радиусом» правильного многоугольника здесь и далее понимается
радиус описанной около него окружности. Прим. ред. перевода.

171 Метод равных периметров.

пусть А’ и Вг будут середины этих двух отрезков, а отрезок ArBf
пусть пересекает ОС в точке Нг.
Отрезок А!ВГ есть сторона правильного многоугольника с 2п
сторонами, вписанного в окружность радиуса ОАг.
Действительно, так как угол АОВ отсекает на окружности радиуса
О А дугу, равную одной п-й части окружности, то угол АгОВ\
который равен его половине (так как
угол АгОС равен половине угла АОС
и угол В1 ОС — половине угла ВОС),
отсекает на окружности радиуса О А!
дугу, равную одной 2я-й части этой
окружности.
Этот многоугольник имеет тот
же периметр, что и данный.
Черт. 181. Действительно, сторона АГВГ этого
многоугольника, соединяющая середины
АС и ВС, равна половине первоначальной стороны АВ> в то
время как число сторон многоугольника удвоено.
Искомые длины Rr и а! суть, таким образом, О А! и ОН’.
Точка Н’ есть середина СН, так что имеем:

ОНТ — ОН = ОС — ОН\
Это можно переписать в виде
20Н’ = ОС -J- ОН или ОН’ = Щ™,
т. е. ОНг есть среднее арифметическое между ОС и ОН.
С другой стороны, прямоугольный треугольник ОАгС даёт
ОА’ = / ОС-ОН,
т. е. ОАт есть среднее геометрическое между ОС и ОН.
Таким образом, аг вычисляется по формуле
затем R’ по формуле
R’ = V№.
Повторяя эти две операции, получаем значения а и R для многоугольников
с числом сторон всё большим и большим. Отношения значений
этих двух величин к общему полупериметру многоугольников
дают примерные значения —1, — первые с недостатком, вторые с избытком,—
и при этом всё с большим и большим приближением.
Предположим для упрощения, что общий периметр многоугольников
равен удвоенной единице длины, и примем за первый из них квадрат.
Апофема этого многоугольника будет равна половине стороны,

172 Метод равных периметров.

т. е. -i-, а радиус — стороне, делённой на |/2, т. е. .Приняв
а = ~, а /? = > получим из предыдущих формул значения а’
и /?’, соответствующие правильному восьмиугольнику, и т. д.
Но если принять а-0 и ^у1), то эти формулы дадут
Таким образом, мы приходим к следующему
предложению (теорема Ш в а б а ) .
Теорема. Если составить ряд чисел, первые два числа которого
0 и ~ и каждый член которого попеременно является средним
арифметическим и средним геометрическим двух предыдущих,
то члены составленного таким образом ряда стремятся к -i- .
183. Так как числа а и R, последовательные члены предыдущего
ряда, представляют собой приближённые значения числа — первые
с недостатком, вторые с избытком, — то ошибка, которую мы
получим, если примем одно из них за приближённое значение
будет меньше, нежели R — а
Но мы имеем:
Чтобы это доказать, возьмём снова чертёж 181 и отложим на ОС
длину ОС =ОА’ — R’. Отрезок С’Н’ даёт Rr — а!. Но углы СА’Нг
и С AJC равны, так как они измеряются половиной равных дуг СТВТ
и А!СГ окружности О А! (один как вписанный угол, другой как угол,
образованный касательной и секущей). Теорема о биссектрисе (п. 115)
показывает, что отрезки Н’С’ и С’С относятся между собой, как
АГН’ и А’С. Следовательно, Н’СГ меньше половины отрезка Н’С,
а равной четверти СН, т. е. —j— .
_________________________ ГЛАВА VII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 173
*) Эти два числа соответствуют делению окружности на две равные
части. Если обозначить точки деления через А и В, то диаметр АВ можно
рассматривать как сторону правильного многоугольника, имеющего две
стороны, периметр которого равен 2АВ. Если принять этот периметр за 2,
то радиус R выразится числом у, а апофема (расстояние стороны от
центра) — числом 0.

173 Метод равных периметров.

Но первые два члена последовательности Шваба д а ю т / ? — а = у .
Таким образом, допущенная ошибка, если принять за приближённое
значение — член, который занимает в этой последовательности 2п-е
ТС
место, меньше
1 1
2 . 4^-1 22п~1

174 Метод равных периметров.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии