дома » Алгебра в школе » Некоторые системы уравнений, решаемые особыми приемами

Некоторые системы уравнений, решаемые особыми приемами

§ 2. Некоторые системы уравнений, решаемые особыми приемами

ЧАСТЬ II. ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

В гл. II, § 9 мы рассматривали системы уравнений вида

В гл. II, § 9 мы рассматривали системы уравнений вида
х + у — а,
х у — Ь,
которые легко решаются при помощи формул Виета. Но, конечно,
можно решать такие системы и способом исключения, описанным
в предыдущем параграфе.
Часто встречающиеся системы уравнений вида
— а>
х ± У — Ь
легко решаются методом исключения, но их можно решать и иначе.
Именно, возведя в квадрат второе уравнение и вычитая из него первое,
мы получим новое уравнение
d t 2 х у — № — а,
которое является следствием данной системы. Объединив его с уравнением
х — \ — у = Ь,
мы получим систему, решаемую при помощи формул Виета.
Пример. Решить систему
I **-KV*=17,
I * + У = 3.

325 Некоторые системы уравнений решаемые особыми приемами. Стенды для кабинета математики.

Решение. Если х и у удовлетворяют уравнениям системы,
то х 2 + 2х у -f-j/2 = 9, и следовательно, 2х у = — 8; х у — — 4. Та-
ким образом, из данной системы следует система
л г + у = 3,
х у = — 4,
для которой получаем два решения
^ 1 = 4, | 1,
Л = — I 1 Л =
Оба они удовлетворяют уравнениям исходной системы.
Ответ.
3 2 6 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ [ГЛ. TV
Еще проще решаются системы вида
( х х= 4, Г — — 1,
\У1 = — 1» 1 л = 4*
— У = а,
.xr-f-y = £.
Действительно, д:2 — у2 = (а;—j/) (лг -f- д/), и потому если допустить,
что х и у удовлетворяют обоим уравнениям системы, то
( х—у)Ь — а> и следовательно, х —у = у , что вместе с уравнением
х — \ — у = Ь дает систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными,
являющуюся следствием исходной системы, которую
легко решить. Таким же образом решается и система вида
к* —у 4 — а,
х — у = Ь.
Пример. Решить систему
х *— у * = 15,
х —у = 3.
Решение. Если х и у удовлетворяют уравнениям системы, то
15 = (х — у ) (х у ) = 3 (лг -t-yj,
и следовательно, х — \ — у = Ь. Решая систему
| х + у = 5,
I х —у — 3,
получим х — А\ v = 1.
Наконец отметим системы вида
дг4 + у* = а,
х у — Ь.

326 Некоторые системы уравнений решаемые особыми приемами. Стенды для кабинета математики.

Такие системы уравнений можно решить способом исключения, именно,
ft
в силу второго уравнения у — —-, что при подстановке в первое
уравнение дает уравнение относительно х, легко сводящееся к биквадратному.
Однако здесь следует рекомендовать другой прием. Именно, если
к первому уравнению добавить, а затем вычесть удвоенное второе,
то мы получим новую систему
х 24 — 2 х у + у * = а + 2Ь,
х* — 2ху -j- у 1 — а — 2 ft,
являющуюся следствием исходной.
Но новая система легко решается, ибо из нее следует, что
:V a + 2b,
~Ы,
и система распадается на 4 системы уравнений первой степени
( х —|—у = «[/»а —J— 2ft, j х у =:= ~\f a “j— 2by
{ x —у = j/ а — 2b, \ x — у — — Y a — 2ft,
f x~\~y — — Y a ~ir ^ * f x -\~ y = — y ra-f-2ft,
j x — у = Y a — 2ft, \ x — у = — Y a — 2ft.
Следует отметить, что сопоставление результатов решения рассмотренной
системы по способу исключения и при помощи указанного искусственного
приема приводит к тем же соотношениям, которые были получены из
сопоставления двух способов решения биквадратного уравнения.
Упражнения
Решить системы уравнений:
Х—У = 2> , x t+ y t — 25>
§ 3 ] СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 3 2 7
х у = \2.

327 Некоторые системы уравнений решаемые особыми приемами. Стенды для кабинета математики.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика