дома » Учебники для вузов » Обратная функция

Обратная функция

Обратная функция

| ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Обратная функция

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 2: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

§ 2.10. Обратная функция

Рассмотрим непрерывную возрастающую на [а, b]
функцию
y — f (x) ( a ^ x s ^ b ) .
Ее график изображен на рис. 57. С помощью графика мы
можем для каждого значения х из отрезка [а, Ь\ определить
соответствующее значение у=*
=f (x) . При этом, если х непрерывно
возрастает от а до Ь, то у соответственно
непрерывно возрастает от с =
= / ( я ) до d — f(b).
С другой стороны, мы видим, что
и обратно каждое значение у из отрез-
ка [с, d\ соответствует одному и только
х одному значению х из отрезка [а, Ь].
c=fCa),c/=f(b) Таким образом, возникает новая функ-
Рчс. 57 ция х от у, определенная на отрезке
fc, d\, называемая обратной функцией
к функции /(.*). Обозначим ее
х=-Ч> (У), c ^ y ^ d .
Эта функция тоже возрастает и непрерывна на [с, d\.
Итак, для каждой непрерывной возрастающей на [а, Ь]
функции f(x) существует обратная ей функция х от у ,
определяемая следующим образом-, каждому у из отрезка
\с, d] соответствует единственное значение х на отрезке
[а, Ь], такое что y — f(x), где с = f (a), d — f(b).
Отметим равенства
фГ/(*)] = * ( a t f x s ^ b ) ,
fUt>(y)] = y ( c ^ y ^ d ) .
В самом деле,
ф[/(*)] = ф (*/) = * (а < я’ < Ь),
f\4>(y)] = f (x) = y ( c < y < d ) .
Отметим еще, что функция f(x) может быть задана на
интервале (а Ь), тогда утверждение остается верным, если
считать, что <р(у) определяется на интервале (с, d), где
с= lira f (х), d — lim f(x),
x a x -> b
т. e. с есть число, к которому стремится f(x), когда х
стремится к a, a d—число, к которому стремится f(x),
когда х стремится к Ь. Но может быть с = — оо или d —■ -f оо.

52

Обратная функция

Функция f может быть задана на полуинтервале [а, Ь),
и тогда функция ср задается на полуинтервале [с, d), где
c = f(a), d = lim f(x).
x b
Аналогично, если f задана на (а, b\, то ф задана на
(с, d\, где с = d = f(b).
х -> а
П р и м е р . Функция у = х% ( 0 х < + оо) непрерывна
и возрастает на полуинтервале [0, + оо). Поэтому существует
обратная к ней функция х = (р (у) (0 ^ у < + оо),
которую условились обозначать так:
x — V y (0 < г / < о о ) .
Здесь а — 0, Ь=о о, с = 02 = 0, d = lim л:2 = оо.
X —► 00
З а м е ч а н и е 1. Кривая на рис. 57 есть график функции
у — f (х) ( a ^ x ^ i b ) . В то же время она есть также
график функции х = ц>(у) на отрезке
[с, d].
Если бы мы захотели получить
график функции ф в виде
г/ = ф ( х ) ( c < * < d ) ,
то можно рассуждать следующим
образом. В системе координат хОу
рисуем график функции (рис. 58)
x = f{y) ( a ^ y ^ b ) , рис 58
т. е. значения независимой переменной
у откладываем на оси ординат, а значение х откладываем
на оси абсцисс. Полученная кривая автоматически
будет графиком функции
у — ф(я’) ( c ^ . x ^ . d ) .
Отметим, что графики функций у — / (х) и у = ф (х) симметричны
относительно биссектрисы первого координатного
угла. Это свойство упрощает построение графиков
обратных функций.
З а м е ч а н и е 2. По аналогии можно получить следующее
утверждение. Пусть функция y — f{x) непрерывна на
отрезке \а, Ь\ и убывает на нем (т. е. если х возрастает
от а до Ь, то f(x) убывает от с = / (а) до d = f(b), c> d ) .
Тогда существует обратная к функции f функция
* = ф («) { d ^ y ^ c ) ,
убывающая на отрезке [d, с\.

53

УПРАЖНЕНИЯ

1. Что значит, что существует обратная функция к данной
непрерывной возрастающей функции y = f(x)7
2. Если непрерывная и возрастающая функция // = /(*)
задана на
а) отрезке \а, Ь\, б) интервале (а, Ь),
в) полуинтервале [а, b), г) полуинтервале (а, 6],
то на каком промежутке задана обратная ей функция?
3. Как по данной возрастающей непрерывной функции
/ построить обратную ей функцию в виде у = ф(я)?

54

#Обратная_функция #функция #математика #анализ #математический_анализ

Школьная математика
Математика в школе

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика