дома » Алгебра в школе » Обратно пропорциональная зависимость

Обратно пропорциональная зависимость

§ 9. Обратно пропорциональная зависимость

ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Если значение функции изменяется обратно пропорционально значению
независимой переменной, то такая функциональная зависимость

называется обратно пропорциональной зависимостью. При обратно
пропорциональной зависимости значения функции выражаются через

319 Обратно пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики в картинках.

значения независимой переменной по формуле
где k — данный коэффициент.
Выясним вид графика обратно пропорциональной зависимости.
Прежде всего построим график функции у = — . Естественной
областью задания этой функции является совокупность всех действительных
значений независимой переменной х, за исключением нуля.
Поэтому при построении таблицы значений включаем ряд значений
независимой переменной, близких к нулю, так как поведение функции
вблизи нуля может быть весьма существенным при построении графика:

Нанеся вычисленные точки на чертеж и соединив их, получим
график, изображенный на рис. 65. При безграничном увеличении значений
х по абсолютной величине
значения у становятся по
абсолютной величине все меньше
и меньше, приближаясь к
нулю. При приближении значений
х к нулю, значения у
безгранично растут по абсолютной
величине. График состоит
из двух отдельных частей,
каждая из которых имеет
две бесконечные ветви. Одна
из ветвей каждой части приближается
к оси абсцисс, другая—
к оси ординат. График
функции У = ~1 называется
гиперболой.
Зависимость У — ~ можно
задать и уравнением х у— 1.
Из такой формы записи следует, что если точка (х 0, y Q) лежит
на гиперболе, то и точка (j/0, лг0) лежит на ней. Очевидно, что точки
(лг0, у 0) и (у 0, лг0) симметричны относительно биссектрисы правого
верхнего координатного угла. Следовательно, и гипербола симметрична
относительно этой биссектрисы.

320  Обратно пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики в картинках.

Далее, если точка (лг0, у 0) лежит на гиперболе, то и точка
(— —У о) лежит на гиперболе, ибо (— дг0)(—Уо) — х 0у ^ и следовательно,
если х 0у 0= 1 , то и
(— -*о)(—^ о )= Ь Точки (лг0, у о) и
(— —У о) симметричны относительно
начала координат. Следовательно,
и гипербола симметрична относительно
начала координат.
Заметим теперь, что если точки
Ж и Ж’ симметричны относительно
некоторой прямой АВ, а Ж’ и Ж»
симметричны относительно точки О.
лежащей на этой прямой, то Ж и
Ж» симметричны относительно прямой,
проходящей через О и перпендикулярной к АВ (рис. 66)
Поэтому из симметрии гиперболы относительно биссектрисы
правого верхнего угла и относительно начала координат следует симметрия
гиперболы и относительно биссектрисы правого нижнего угла,
ибо она перпендикулярна первой биссектрисе и проходит через начало.
Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии, из которых
одна пересекает ее, другая не пересекает. Пересечение осей симметрии
является центром симметрии гиперболы.
Рассмотрим теперь график функции у = ~k , где k — любое положительное
число. Дадим несколько примеров графиков функции У ^ —
при & = 3, 2, 1 (рис. 67). Из этого построения видно, что графиком
функции у = ~k является тоже гипербола, «растянутая» при k ^>l
и «сжатая» при &<^1.
Докажем, что график функции У ~ ~k есть действительно гипербола,
т. е. что этот график совпадает с графиком у = ~ , но построенном в другом
масштабе.
Обозначим }Пг через т. Тогда k = /и8 и зависимость между х н у
X V можно переписать в виде — • = 1. Введя, как во втором разделе § 7,
вспомогательную единицу масштаба, величина которой равна т единиц
основного масштаба, мы получим, что при переходе к вспомогательным коор-
х у динатам х’, у’ соотношение — * ^ — = 1 превращается в лг’У = 1. Следовательно,
график зависимости ~ ~ = 1 в основных координатах совпадает
с графиком зависимости дг’У = 1 в вспомогательных координатах, т. е. является
гиперболой. Эта гипербола получается из гиперболы х у = 1 растяжением
в т раз (при т > — 1) или сжатием в ~ раз (при т<^ 1).
11 Д. К* Фаддеев, И, С* Соманский

321  Обратно пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики в картинках.

Итак, график функции у = —k при положительном k является гиперболой,
получающейся из гиперболы у = ~ растяжением в / я = }/£ разбили сжа-
тием в —1 — —1— шз \. Х т у к разУ

Г р афи к ф у н к ц и и У = ~k ПРИ отрицательном k симметричен
относительно оси абсцисс с графиком у = где kx = — k^>0.
Следовательно, график функции j/ = —k при отрицательном k тоже
является гиперболой, только расположенной в левом верхнем и пра-
вом нижнем углах. На рис. 67 изображены несколько гипербол у — ~ ,
при различных значениях для k.

322  Обратно пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики в картинках.

 

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика