§ 4. Об источниках нового по математике
Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно.
Возраст учащихся средней школы таков, что он стимулирует
к выявлению собственных сил: физических, умственных, психических.
Не всегда эти силы прилагаются в нужном направлении,
и от педагога зависит многое, чтобы направить интересы подростков
в нужное русло. Для воспитания интереса к математике и развития
правильных взглядов на возникновение и развитие математических
идей полезно довести до сознания школьников решение
важного вопроса: откуда берутся новые математические задачи,
математические идеи и теории?
Математика, как мы знаем, относится к самым древним научным
дисциплинам, и ее начала теряются в глубине тысячелетий.
На протяжении всей долгой истории математика неоднократно
изменяла свои идеалы и основные направления своих исследований.
Но при этом она не отбрасывала ранее добытые знания, а
включала их в новые в качестве естественного компонента. При
этом, как правило, старые знания и понятия являлись основой
для новых. Каждый такой этап в жизни математики’не только
35 Об источниках нового по математике.
обогащал ее новыми понятиями, методами и идеями, но одновременно
позволял охватить своим влиянием ряд областей практической
деятельности, к которым ранее она не применялась.-В наши
дни математика переживает новый бурный расцвет, й при этом
она существенно изменяет свое лицо. Во-первых, она становится
более абстрактной, во-вторых, в ней все более существенную роль
играют вычислительные аспекты (связанные с появлением1 йесовершенствованием
ЭВМ) и, в-третьих, область ее применений
. невиданно расширяется. ,
Истоки математических идей разнообразны и не вполне равноправны.
Индиввдуальные способности отдельных математиков, а
также воспитание приводят к тому, что какой-либо источник для
них превалирует над другими. При этом нередко за другими источниками
нового в математике серьезной роли не’признается
или даже отрицается совсем. Наука потеряла бы свою ценность
для общества без постоянного обновления, без стремления к совершенствованию,
без непрерывной смены идеалов и уточнения
научных понятий.
Наука живет, пока в ней имеются нерешенные проблемы, пока
она вынуждена»искать методы их исследования, пока в ней открываются
новые перспективы для дальнейшего развития. Семьдесят
лет назад об этом прекрасно сказал один из крупнейших
математиков Давид Гильберт (1862—1943Х в знаменитом докладе
на втором Всемирном конгрессе математиков в Париже (1900):
«…развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый
век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает,
или отодвигает в сторону, как бесплодные, чтобы заменить
их новыми… Всякая научная область жизнеспособна, пока в не*
избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание
или-прекращение самостоятельного развития… Сила
исследователя познается в решении проблем: он находит новые
методы, новые точки зрения, он открывает более широкие и свободные
горизонты»1.
Откуда же берутся новые проблемы в математике? Что является
их источником? Каковы те пути, которые приводят к появлению
новых идей и методов, представляющих всеобщий интерес/
Почему, наконец, математические методы и понятия находят
многочисленные применения и позволяют исследовать явления
реального мира, которые, казалось бы, не имеют отношения к
используемым математическим идеям?
Среди нескольких путей появления нового на первое месте
необходимо поставить требования практики. О роли практики
для прогресса математики, написано много хороших работ, в которых
проанализирован сам процесс превращения конкретной
задачи практики в математически оформленную проблему. Позднее
мы коснемся этого пути. Приведем следующие слова П. ЛгЧе-
36 Об источниках нового по математике.
бышева (1821—1894), которые являются как бы своеобразным,
гимном практике. «Несмотря, на ту высокую степень развйтия,
до которой доведены науки математические трудами великих
геометров трех последних столетий; практика обнаруживает ясно
неполноту их во многих отношениях: она предлагает вопросы7
существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание
совершенно новых методов. Если теория много выигрывает
от новых приложений старой методы или от новых развитий
ее* то она еще более приобретает открытием новых метод, и в
этом наувд находит себе верного руководителя в практике»1.
Тезис о влиянии практики на развитие математики не вызывает
ни у кого возражений, пока речь идет о развитии математики
в далеком прошлом, вплоть до конца XVIII в. Что же касается
современности, то здесь единодушия уже нет, и легко можно
указать ряд авторов, которые с полной убежденностью отрицают
значение практики на глубинные процессы, протекающие в математике
наших-дней.
В известной степени они .правы, поскольку многие крупные
ученые всю свою научную жизнь не были связаны непосредственно
с прикладными проблемами и тем не менее создали результаты
непреходящей ценности, играющие большую роль в прогрессе
математических знаний. Достаточно вспомнить бурное развитие
теории множеств в начале нашего века, теоретико-множественной
топологии в двадцатые — тридцатые годы, работы в. области общего
анализа в наши дни, чтобы убедиться в этом. Однако это не
опровергает нашего тезиса о приоритетной роли практики.
На протяжении XIX и первой половины XX в. физика и астрономия
были центральными ветвями естествознания, которые
бурно развивались и широко для этой цели использовали математические
методы. Именно эти дисциплины выдвигали перед математикой
новые вопросы и настойчиво требовали создания соответствующих
методов исследования. Так лервые же попытки построения
теории распространения тепла в твердых и жидких телах,
магнитных явлений, упругих свойств материалов и многих
других привели к постановке новых интересных математических
вопросов: решению дифференциальных уравнений в частных производных
первого и второго порядка и теории функций комплексного
переменного. Собственно говоря, XIX в. в математике прошел
в значительной мере под влиянием прогресса знаний в области
теории дифференциальных уравнений. Астрономия выдвигала
свои вопросы. Одним из значительных вопросов этого рода было
изучение устойчивости движения планет солнечной системы-, устойчивых
форм вращающихся жидких масс, ошибок результатов
наблюдений. Идеи о молекулярном строении вещества с полной
37 Об источниках нового по математике.
неизбежностью приводили к использованию средств теории вероятностей,
которые в ту пору были сравнительно невелики. В результате
во второй половине XIX в. резко повысился интерес
к теории вероятностей я начались глубокие исследования устойчивости
движения. Концепции молекулярного строения вещества
привели к формированию представлений о многомерном пространстве.
‘ 1 ‘
От физики, но уже в XX в., берут свое начало такие большие
и важные в наши дни дисщйшины, как функциональный анализ,
теория случайных процессов, теория обобщенных функций. Не-
посродственно в недрах инженерной и экономической практики
зародились теория информации, теория линейного и нелинейного
программирования, оптимальное управление; теория массового
обслуживания, математическая теория надежности, теория,
графов. В биологии и агрономии следует искать начала современной
математической статистики; химия вызвала к жизни планирование
эксперимента. Этот список можно продолжать н далее.
Остановимся несколько подробнее на’ нескольких примерах
возникновения математических теорий из конкретных задач практики.
Уже в самые первые дни Великой Отечественной войны
19?1:АГ945 гг. перед специалистами во весь рост встали вопросы
обеспечения высокого качества продукции при одновременном
резком увеличении объема производства. Положение осложнялось
тем, что в связи с мобилизацией большого числа квалифицированных
рабочих на заводы и фабрики влилась масса совершенно
необученных женщин и подростков. В первые недели работы они
выпускали большое число изделий, которые не удовлетворяли техническим
требованиям, кай правило, по размерам. На одном из
приборойтроителъных заводов, выпускавших важные приспособления
для авиации, образовались горы таких отходов, и там’удалось,
вопреки привычным представлениям, собрать из них вполне
качественные изделия. Идея была проста: разбить составляющие
детали на несколько групп так, чтобы детали из групп с одинаковыми
номерами можно было собрать в действующий прибор. Эти
•лриборы обладали только одним недостатком —для своего восстановления
они требовали нестандартных деталей.
Основная проблема, которая со всей остротой возникла в ту
пору, состояла в следующем: имеется большая партия продукции.
Как оценить качество основной массы входящих в нее изделий,
не подвергая проверке каждое изделие? Такая процедура нужна
не только для экономии рабочей силы, поскольку на проверку
приходится ставить довольно большое число работников (иногда
для сплошной проверки требуется рабочих больше, чем для производства).
Во многих случаях проверка качества связана с существенным
ухудшением качества изделия, а нередко и с полной
его порчей. Для примера, проверка качества взрывателей или
фотобумаги приводит к полной порче проверяемой части. Такие
38 Об источниках нового по математике.
ских
методов приемочного контроля.
Тогда же возникла и другая задача: нельзя ли так организовать
производственный процесс, чтобы практически исключалась
сама возможность производства некачественной продукции? Иными
словами, нельзя ли предложить такие метода, которые позволяли
бы своевременно предупреждать рабочего о том, что бракованная
продукция еще не производится, но уже велика вероятность того,
что может начаться ее появление? Такие методы разрабатывались
параллельно в нашей стране и в США. Они получили наименоаа-
ние методов управления качеством продукции в процессе производства.
Мы остановимся на одной задаче, которая по приемам
решения совершенно элементарна (и доступна учащимся X класса),
но математически очень интересна. Тем-более что «на привела
к многочисленным, теоретическим и прикладным следствиям.
Исходим из предположения, что первоначально оборудование
ha технологической линии хорошо налажено и отклонение, определяющее
качество параметра от заданного размера; вызывается
лишь случайными причинами —неоднородностью плотности обрабатываемого
материала, изменением скорости вращения обрабатываемой
детали, изменением силы и напряжения подаваемого
тока и пр. & натальный момент, когда технологическое оборудование
Хорошо налажено, мы производим замеры параметра последовательно
выпускаемых изделий. Пусть результаты замеров
оказались
х1г х2, …, хл. (1)
Так как систематических изменений условий производственного
процесса нет, то каждая из замеренных величин подчинена одной
и той же функции распределения вероятностей, т. е.
Р {хл < х) *= F (х) при всех k — 1, 2, …’, п.
В некоторый другой момент мы хотим выяснить, как проходит
технологический процесс, не изменились ли какие-то условия его
осуществления? Измениться могля крепление инструмента, его
заточка, температура, давление и пр. С этой целью мы производим
новую серию замеров
Уи Уг, Уп (2)
и спрашиваем себя, можно ли путем сравнения двух серий замеров
(1) и (2) сделать заключение, что это изменение произошло?
Обратим внимание на то, что мы до сих пор ничего не предполагали
о виде функции распределения F (х). Собственно задача
ставится так, что это предположение не требуется, кроме самого
общего, что она непрерывна. В этих условиях удалось доказать
общие теоремы, которые вошли в. качестве составной части в математическую
статистику. За подробностями формулировки этик
39 Об источниках нового по математике.
как раз в момент окончания сварки концов лент двух мотков.
Отсюда
XV = ——XV1*—.
х -f 6t’j .
• При этом предположении легко найти и необходимый объем
бункера. Он оказывается равным „
I = —х.
х -f ot’j
Положение становится несравненно более сложным, когда
величины б и л : оказываются случайными. А именно с таким случаем
и приходится иметь дело в реальных условиях работы. Оказывается,
что в этих предположениях нужно рассмотреть задачу
определения вероятности того, что сумма случайного числа независимых
случайных величин (определенным образом связанных
с хк и 8k, где xk — длина k-то мотка, а 6Й —длительность сварки
k-ro и (k + 1)-го мотков) будет заключена в определенных границах.
Число таких примеров можно продолжать неограниченно, но
почти каждый раз мы убедимся в том, что прикладная задача требует
решения новых математических вопросов и зачастую нуждается
в создании новой теории.
Как ни велико значение практики в развитии математики, к
ней одной нельзя сводить все движущие пружины развития математической
науки. В том мощном потоке исследований, характерном
для нашего времени, когда ежегодно публикуются тысячи
работ и доказываются многие тысячи новых теорем, абсолютно
необходима обобщающая мысль. Без такого обобщения нет возможности
разобраться в этом изобилии результатов, и выработать
общие методы. Чтобы «деревья» не мешали видеть «лес», необходимо
отдельные частные выводы привести в систему. Вот почему
перед математикой постоянно возникает вопрос: полученная закономерность
является изолированным фактом или существенным
звеном в целой цепи подобных же фактов? Позволяет ли вновь
найденная закономерность включить в себя большое число полученных
ранее результатов? Если такую цепь взаимосвязанных
результатов удастся заметить, то это позволит на ранее найденные
частные результаты взглянуть с единых общих позиций, заметить
элементы порядка там, где до этого была аморфная масса частных
фактов, пусть даже очень Интересных, изящных и полезных.
Мы проиллюстрируем высказанное соображение следующим
примером.
В самом начале XVIII в. швейцарский ученый Яков Бернулли
(1654—1705) для последовательности независимых испытаний, в
каждом из которых может наступить некоторое событие А с одной
и той же вероятностью р, доказал знаменитую теорему,, получив-
40 Об источниках нового по математике.
обладает сходимость к нормальному закону? Какова быстрота
сходимости?
Разрозненные ранее факты становились элементами большой и
содержательной теории, в которой все ранее обнаруженные результаты
нашли свое естественное место. В сбздании этой теории
большой вклад был сделан рядом выдающихся ученых, среди которых
С. Н. Бернштейн (1880—1968), П, Леви (1886—1971),
А. Я. Хннчин (1894—1959), В. Феллер (1906—1970), А. Н. Колмогоров
(род. 1903). —
Создание теории предельных распределений для сумм привело
к максимальной общности результатов; к унификации и упрощение
доказательств; к построению изящной и отточенной формы
изложения, позволявшей в единых позиций излагать факты,
которые ранее казались так далеки друг от друга.
Мы проиллюстрировали развитие математической теории на
примере предельных теорем теории вероятностей. Но <? таким же
успехом было бы возможно изложить историю возникновения и
развития тех или иных геометрических теорий или функционального
анализа, математической логики или уеориидаф^ренциаль-
ных уравнений, вариационного исчисления или теорий функций.
При этом нам пришлось бы излагать те же самые мысли! построение
теории идет от частных фактов к созданию общих концепций,
объединяющих и обобщающих многочисленные результаты; построение
общей теории приводит к разработке общих методов,
которые позволяют получать единообразие и просто мквГ0‘№слен-
ные теоремы, на доказательство которых раньше затрачивалось
много остроумия, усилий и создавались специальные приемы для
достижения весьма ограниченных целей. Конечно, такой обобщенный
подход не дается даром и за него приходится платить
большей абстрактностью вводимых понятий и большей общностью
результатов, Но при этом всегда оказывается, что. ®ти более
общие точки зрения и понятия позволяют видеть дальше и шире,
а многочисленные результаты, ранее известные и неизвестные,
получать проще, нагляднее и естественнее, чем при прежнем,
так сказать, кустарном подходе*
Заметим, что с таких общих позиций и прикладные аспекты
теории становятся более зримыми и действенными. Здесь также
нет нужды искать заново то, что Приготовлено в общем виде.
Нужно только прикладную задачу суметь изложить на выработанном
в этой математической теории языке.
Конечно, обобщение рйтее полученных математических фактов
и построение математической теории уже не связано непосредственно
с прикладными проблемами. Но при этом выковывается
мощное и очень гибкое орудие для многих проблем практики
сразу.
iСвоевременно высказать следующую важную мысль, Представление
о чрезмерной абстрактности понятий и результатов не остается
неизменным, оно относительно и изменяется с© временем.
41 Об источниках нового по математике.
‘ И то, что одному поколению кажется чересчур абстрактным, следующее
поколение воспринимает совершенно свободно, как само
собой разумеющееся и абсолютно необходимое для науки. Так,
например, случилось с понятием равномерной непрерывности.
В начале нашего века оно казалось недоступным, и его изучали
только лица, оставленные при университете для подготовки к
профессорскому званию. Теперь же оно излагается всем стударг
там первого курса педагогических институтов и университетов,
посвятивших себя математике. Точно так же понятие абстрактного
пространства, основные понятия топологии в двадцатые и тридцатые
годы считались невероятно абстрактными и доступными
только избранным. Теперь они становятся известными университетской
математической молодежи зачастую задолго до того, как
они начинают слушать формальные лекции на эти темы.
Построение математической теории^ включает-в качестве. естественной
составной части широко используемый прием обобщения
уже имеющихся результатов. Некий математический факт
уже получен каким-то исследователем. Иногда сам же этот исследователь,
а часто и другие математики стремятся избавиться от
некоторых условий, которые пришлось постулировать при избранном
методе доказательства. Обычно математики стремятся
дойти .до естественных границ выполнимости этого факта, т. е.
обнаружить необходимые и достаточные условия его осуществимости.
Построение математической теории неизбежно предполагает,
что основные понятия ее должны быть изучены во всех мыслимых
подробностях. Без этого математика не может быть орудием
познания, постоянно готовым к действию, орудием гибким, эластичным,
способным к разрешению разнообразных и неожиданных во-
просов. ‘И при-этом практика не проигрывает, поскольку математика
выясняет свойства своих понятий и оттачивает методы
-исследований. Доказательство гипотезы Гольдбаха относительно
того, что каждое четное число большее двух представимо в виде
суммы двух простых чисел, едва ли в обозримом будущем получит
применения в естествознании, технике или экономике. Но
продвижение в решении этой задачи позволяет глубже проникнуть
в свойства такого фундаментального понятия, каким является
целое число. Вдобавок на пути решения этой задачи созданы мощные
методы доказательства, которые и сами по себе представляют
огромную ценность для науки.
Источник новых проблем в математике связан также с ее обоснованием,
т. е. с критическим пересмотром ее исходных положег
ний, основных её понятий, а также представлений о полноте и
строгости доказательств.
Такого рода критических пересмотров математика видела на
протяжении своей историй несколько. Это необходимо как для
сохранения единства математики, так и для -приведения логического
фундамента математики в соответствие с накопленными
42 Об источниках нового по математике.
знаниями и ее содержанием. В начале нашего века такой пересмотр
был осуществлен на базе теории множеств. Всем хорошо известно
‘ к каким огромным последствиям он привел: математика
существенно изменила свое лицо, сделавшись более гибкой и цельной;
несмотря на большую абстрактность, она приобрела значительно
большие, чем раньше, прикладные возможности примене-
ЙШ к проблемам практики — естествознанию, производству и
сельскому хозяйству; были созданы предпосылки и реальные возможности
(математический аппарат) для создания и развития
исключительно продуктивных новых ее ветвей (функционального
|шализаГтеории случайных процессов, фундамента теории вероятностей
и пр.); был открыт путь неконструктивным доказательствам
и широкому развитию чистых теорем существования.
• Конечно, проблемы обоснования математики не снимаются с
повестки дця и теперь прежде всего потому, что появилось большое
число новых областей математических исследований, а также
в силу расширения роли так называемой «конечной» математики и
появления тенденций отказа от представлений о решающей роли
только математики непрерывного. — .
В тридцатые годы во Франции образовалась группа молодых
математиков, которая публиковала’свои работы под псевдонимом
Никола Бурбаки. Она поставила перед собой грандиозную цель —
построить математику на новой базе — понятии структуры. Идеи
теории множеств, топологии и современной алгебры оказывали на
их концепции решающее влияние. В 1968 г. группа Бурбаки самораспустилась.
Влияние идей Н. Бурбаки огромно. Они выпустили
40 томов, получивших, объединяющее название «Элементы математики
», которые для многих молодых математиков сделались буквально
математическим евангелием. Семнадцать томов этого
произведения издано на русском языке. Концепции Бурбаки,
несомненно» вошли в историю науки как выдающееся явление
нашего времени. Однако, в связи с тем что им не удалось объединить
все математические дисциплины (например, теорию вероятностей,
математическую статистику, теорию чисел и др.), построение
объединяющих концепций для .математики в целом остается
еще нерешенной задачей.
К сказанному полезно добавить несколько слов. Ряд понятий
современной математики, так же, как и ее результаты, при поверхностном
рассмотрении могут показаться искусственными, чересчур
абстрактными, оторванными от жизненной практики, от того,
что необходимо общественному прогрессу. Однако такие представления
могут сложиться только при условии, что ознакомление
с математикой будет -происходит^ по книгам, в которых математика
излагается в уже готовом и полностью формализованном
ваае. Если же к современной математике и ее понятиям подойти
«‘Исторических позиций, проанализировать возникновение и раз-
ййгие ее идей, tq положение резко изменится. Понятия приобретут
глубокий смысл, наполненный конкретным содержанием.
43 Об источниках нового по математике.
Результаты заблещут не только своей общностью и логической
отточенностью, но и невиданно широкими возможностями применений
к разнообразным вопросам общественной практики. Вот
почему так важно, рассказывая о математике школьникам и студентам,
вспомнить ее прошлое, тот огромный путь, который она
прошла от первичных интуитивных представлений к современным
грандиозным логическим конструкциям, находящим многочислен*
ные применения в нашей жизни. Мы не должны забывать, что
настоящее науки развилось из ее прошлого, так же, как будущее
разовьется из настоящего, и в какой-то мере в этом будущем отразится
прошлое науки. Отсутствие представлений о прошлом
математики может исказить наши .представления, о ее настоящем
и привести к потере перспектив ее развития. Для того чтобы разумно
работать в математике, выдвигать новые проблемы и. развивать
перспективные ее ветви, необходимо серьезное знание ее
становления и прогрессй.
46 Об источниках нового по математике.
Околоadmin
Comments