дома » Алгебра в школе » ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

ЧАСТЬ I
ГЛАВА I
• 1
1. 13i . 2. 75; 25; 33-Ь 23 g ; l l g „ 3. 4 з | — часа.
§ 2
1. Например» а = £ + е. 2. Например, 5 = Жл. 3, Например, а » £ + <?.
4. Например, a = ttf. 5» Например, /> = /яя.
§ 3
1. Например, S = a(a—b). 2. Например, Л = <ш + (а— b)n. 3. Например,
(m—а)+(т — b) = л.
§ 4
1. Например,’& = 50а. 2. Например, />*=4а. 3. Например, р = 2а + 2й,
4. Например, с = 5а— £. 5. НаЪример, а = £ + 2£.6. Например, Л * а + 2а+’
+ 4а; 7. Например, чр«*»|к—-(2т — я). 8; Например, /> = 2а + (а — £). 3. Например,
А ® у [а + 6* + ^)] + « + (• + #)* Ю. Например, W= 10а + Ъ. 11. Например,
n » 1 0 0 a + 10& + С. 12. Например, а + £ = 2а— b. 13. Например,
в — с а» 2 (£ — Зс). S3
2. 2* больше, чем б*. 3. В четвертой, в третьей, во второй, в> первой*
4. а* = 0; а* = 0. Следовательно, а*=а*. 5. Несправедливо, например, если
а = 1, то а*»1. Однако 2 а® 2. 6. 7. а ® 25. 8. 8, 5, 4, 5, 8; 1, 4, 9§
16, 25, 36, 49, 64, 81, 100; 1, 8, 27, 64. 125, 216, 343, 512, 729, 1000. 9. Например,
а# = 3а*л. 10. Например, А ^ а К 11. Например, о®а*. 12. Например,
(а + Ь)* — 40 *» а*. \
* S о
1. Р еше н и е . (7 т )* * “ 7 Т * 7 Т » ( 7 + т ) ‘ 7 Т в 7 *7 Т +
+ т — 7 т — 7 — ( 7 + т ) + т — ( , + т ) — ‘49+ 1 + 1 + я — 5′ я —
2* Д о к а з а т е л ь ст в о. 29 • 13 + 29 • 18 = 29 • (13 + 18) = 29 • 31*
§ 7
1. Нет. Не с у щ е с т в у е т обратного числа для нуля.

501 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

1. /? = /ял + л(Л— л); 125 = 45 + 20/*, 20/1 = 80, л = 4. 2. £ = ;
2, 13, 36, 10, а Л(л — 3) = <w? + tf; tf = 10. 4. л + Л = 3[(л — tf) + d]; d = 30.
5. а -4-с = 2а — г/; d=10.
§ И
1. Р е ш е н и е. В задаче 9 из § 5 мы составили уравнение а9 = За*Л. По
условию а = 10. Значит, 1000 = 300h\ h = 3 см, 2. Решение. В§5 мы
составили уравнение 6л* —25 = 2аЛ+2яЛ + 2ЛЛ. jj0 условию задачи
а = 5; £ = 6. Значит, 150 — 25 = 60 + ЮЛ + 12Л; Л = 2~i дл*.
3. 1) з = а + (а^-^) + л; 2) 50 = 20 + (20—Л) + 15;Л = 5. 3) Пешеходу
за дри дня надо было пройти 50 км, В первый день он прошел 20 км, во
второй день на несколько км меньше, чем в первый. В третий день он
прошел остальные 15 км. На сколько км меньше прошел пешеход во второй
день, чем в первый? 4. 1) аЪ + с = (а + 8уА 2) 500 + с = 28*37;
с^536. 3) Рабочий зарабатывал вдень 20 руб. Его товарищ зарабатывал
на 8 руб. больше. На сколько меньше получит первый рабочий за 25 дней,
чем его товарищ за 37 дней? 5. 1) л — с = (Л— d)m> 2) 3; 800; 1200; 600;
j000 (сверху вниз, налево), 6. 1) А = л+ (л + b) + JjL’llft),
,2) а) По условию имеем <*«100; Ь = 400; t f = 4. Следовательно,
А = 100 + (100 + 400) + д -* 750. Во всех трех совхозах
;вместе 750 т зерна* б) По условию имеем Л = 7200; л = 2000; b = 800.
Следбвательно, 7200 = 2000 + (2000 + 800)+ JP°9 + + Р00* ; d = 2.
В третьем совхозе в два раза меньше зерна, чем в первых двух вместе.
§ 12
1. 2 х + 1,75 = 2,3; *==0,275. 2.3*—3 ,7= 0 ,8 ;*= 1,5. а — ^ = 1 Д
*=3,25. 4 .^ ? =0,5; * = 25. 5. 300+ X 40* = 580; * = 7.
Г ЛАВАН
• I
‘ 1. 3; — 3; — 2; 2; —2; —3. а 4; 4. а 2; 0; — 4.
§ 2
1.2 — 5 = —3, так как 5-4-( —3) = 2; ,4—9 = —5, так как 9 +

502 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

§6
1. —8; — 5; 2. 2. 10; 6; —5; —5.
§8
1. 5; —6; — 1; 5. 2. 1; 39. 3. —9; 25.
1. 4. 2.-7. § 9
.§ ю
1. 3 > —7; —4 > —7; 0<5; —6<3. 2 .1 ) a< *<&; 2) as^xsSib;
3) 0 < я < 1.
§ И
1. Алгебраическая величина отрезка АВ равна 5. Алгебраическая вели»
чина отрезка В А равна —5. 2. —7. 3. 10.
§ 12
1. —15. 2. 35. i —10. 4. 0. 5. 5. 6 . —28. 7. —3. 8 . —7. 9. 100. 10. 0.
§ 14
1. 73; 89; 89; 73. 2. — 6; —1,875; 0; 0,375; 0; — 0,375; 0; 1,875; 6. 3. Если я—
четное число, то (—1)» = 1. Если л —нечетное число, то (—l)n—1,

503 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

§ 17
1. В 13 часов температура была 4°. В 17,-1^- часов температура была 2°.
В 2 часа температура была —5°. 2. В 14 часов. В 8 часов я 22 часа. В 6 часов.
Наибольшая температура была в 14 часов, наименьшая—в 2 часа.

ГЛАВА III
1. Целое. 2. Целое. 3. Целое. 4. Дробное. 5. Дробное. 6. Дробное. 7. Дробное,
§ 3
1. х ‘ + 4ху — 2аК 2. 0,83**+ 4,41а* —0,77а*. & 5а*.
§4.
1. — 3** + 3*у —5у». 2. — ЪаЬ — 3a*.3.*4+ * * + 1.4.*s=i*-}-2aft — 26*.
5. x = 3ab—i* + a*. 6. * = 6* + 3ab* + 3a*6.
§ 5
1. a19. 2. a18. 3. *«. 4. c**. 5. (a — *)7. 6. ( * * + / ) e. 7. * = 6‘. 8. * = 5*.
9 .* = &*.
1. 35лг*з>82. 2. -g-ArV* 3. 13я4£8с2. §4.6 * == — 63a*£c. 5. л: = — 9bc. 6. x =
1. 16a1J64c4. 2. — aWc8. а -4§ -**§/.? 4. 0,008la1**4/ .
§ 8

504 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

§ »
1. 2х* — х*у + 3*‘У + ху* 4- 4у*. 2. 4а* + 4а6 + 6 ‘ — с*,
a — — х* — 4* л:4 + 2х‘у + Зл:*У + 2ху‘ -j-y 4.
§ Ю
1. 2х* + Зхгу — 4х*г — 2ху* — 2хуг + 2хг*-\-2у*г — г*у + 2х* + 4л:у —
— 4хг — 4у г + 2г!. 2. х *— 1бу. 3. х* + у* + г* + Зх*у 4- Зл:** + 3у*х + 3v* г +
+ 3z*x + 3z*y + 6хyz. 4» а* — a’b — 7а*6 * + ab* + 6 ft4.
§ 1 1
1. а* + а 4 + 2а* — 6 а* — За + 5. 2. 2а* + За* + а 4 4- 9а* — 2а* — 18а + 5.
3. Ь* — 1. 4. х* + 7л:* + 7л: — 15. 5. х* — блг* + 1 1 * — 6 .
§ 12
1. 9а*6* —л:4. 2. х* — 1.3. а 4 — 2а*6* + 6 4. 4. а 4—7а*6* + Ь*. 5. 27л:» —
— 8у*. 6. 8 * *+ 12л:* + 6л:+ 1 . 7. а* + 2а6 + 6 *. 8. л: 4 + 4л:« + 2л:* — 4л: + 1.
9. х — а — Ь. 10. л: = 3а* + 26. И. * = 5>р + 3 д. 12. * = а* + 2а6 + 46*.
13. x = 21p* + q*.
§ 13
. 1. 43 — 37 = (40 + 3)-(40 — 3 ) = 1600 — 9 = 1591. 2. 42* = (40 4-2)* =
= 1 6 0 0 + 1 6 0 + 4 = 1764. a 96* = (95 + 1)* = 9025 + 190 + 1 = 9216.
4. -.84 — 96 = (90 — 6 ) • (90 + 6 ) = 8100 — 36 = 8064. 5. ^ 0 + 1 ^ =
= а * + а + -£- = а (а + l) + — j . 6 . 1,007. 7. 0,991. 8 . 0,997.
ГЛАВА IV
§2
1. lab (ab + 2а* — 46*). 2. х (х* + З х + 1 ) . а (с + О) (а + Ь).
4. (с — 3d) (а — Ь). 5. 15ал: (х* — ЗУ) + 1 2 ау (л:* — ЗУ) =
= (х*— З.у2) (15ах + 12ау) = За (Ьх + 4у) • (лт* — З^2).
§ 3
1.6* — (2а + 3с)6* + 2а(2а + с)6 — аг (а + с). 2. У —2 (У + г*)У +
+ (** г>)** «» . § »
1. (4 л у + 1 )(л :— у). 2. (а — 6 ) (2л: + .у — z). а (а + 3)(а* + 1 — 26).
4. (а + 3) (а* + 1 ).
§ 5
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 0 5
— , . . . , , . ,. … Ь46)(лг —6). а У + 5ис»У +
+ бу = л:44-2л:*У+ Зл:*У+ 6У = л:’ (л:*+ 2у*) + З у (jc* + 2У) =
*=(** + 2У) (л:* + ЗУ). ••
§ 6
1. ( х + 2у) ( х— 2у)(л:* + 4У). 2. 4 х у ( у + х ) ( у — ^ х ) . а а* + баб +
+96* — 4с* = (а + 36)* — 4с* = (а + 36 + 2с) (а + 36 — 2с). 4. Зх* — Ш * х=
= х (8х* — 21а*) — х ( 2 х — За)(4лг* + 6алг+9а*). 5. 4х у —xyz* — х у (4 — г*)=
= х у ( 2 + г) ( 2 — г). 6 . л:* + 2л: — У — 2 у = (л:* —у*) + (2 л: — 2у)=
^ ( * + У ( * —У + 2 (лт—У = (лг—У (х + у + 2 ).

505 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. ** + *» —*»—!= * « ( * * + 1) — (дг* + 1) = (** + 1)(*»—1)= —
………………….. 1) 2. а4 — 2а8* — Ы*Ь* — 6а*8 — *4 = (а4 + а8*) —
— (3 а8* + За**8) — (5 а 8* 8 + 5а*8) — (а* 8 + *4) = а 8 (а + 6 ) — За8* (а + 6 ) —,
— 5а*8 (а 4- *) — *8 (а + *) = (а + *) (а8 — За8* — 5а*8 — *8) = (а + *) [(а8 +
+ а8*) — (4а8* + 4о*8) — (а*8 + 68)1 = (а ,+ *) [а8 (а + 6) — 4а* (а + 6) —
— *8 (о + *)] = (а + 6)8 (а8 — 4а*—*8), или а8 — 2а8* — 8а8*8 — 6а*8 — *4 =
==е4 4- 2а8* — 4а8* 4- а8*8 — 8 а8*8— а8*8 -42а*8—4а*8—*4= (аЧ-2а8* 4-е8*8)—
_ (4а8* 4- 8а8*8 4- 4а*8) — (а8*8 + 2а*8 + *4) = а8 (а8 + 2о* + *8) —
— 4а* (а8+ 2а* +**) —*8 (а8 + 2а* + *8) = (а + *)8 (а8 — 4а* — *8).
3. *8V + ху* + x*z + хг* + У%* + У& + Зхуг = {х*у + ху* + xyz) +
+ (xfz+ xz* + xyz)4-(y*z4-yz84- xyz) = x y (x+ y -\-z)+ xz(x+y +z) +
4-уг(х + y 4″ z) — (*+ y-\~z)(xy xz-\-yz).4. x* 4- 2**= 4- 3*8-|-2*4-l = (X* 4. *8 + *8) 4- (x* 4- ** 4- *) 4- (*8 4- * 4- l) = *8(*84-*4-1)4-
4-*(*84 -* 4 -l)4 -(*8+*4-l)=*=(*84 -* 4- l)8. 5. ** — 1 = (** — *4) 4-
~ ( * 4 — x*) 4- (x*— x*) 4 -(*8 —x)+ (* r-1 ) = * 4 (x — 1) + x* (x — 1) — —
4- *8 (* — l) 4- x (x— 1)4- (x— 1)=(* — l) (x* 4- *84-*84-*4-i).
§ 8
1« x * + fix + 5 = x 2 + x -4- 5x + 5 = x (x + 1) -j- 5 (x +1) = (x + 1) (лг+б).
или лг2 + 6* + 5 == (*2 + 6* + 9) — 4 = (лг + З)2 — 4 == (л: + 3 + 2) (л: +3 — 2)==
= (л: + 5)(лг-И). 2. лг8 —8лг+15 = лг8-г,3лг—5лг + 15 = лг(лг—3)—5(лг—3)=
= & —3)(*г —5), или л:8 — 8лг + 15= (х*~~ 8лг -+ 16) — 1 = (лг —4)2 — 1 =
= \Х — 4 + 1)(%■■»— 4 — 1) = (х — 3) (х — 5). 3. л:2 —8лг —9=лг8 —9лг+л: —
— 9 =лг (лг— 9) + (л; —9) = (л: — 9) (л: +1), или л:8 — 8л: — 9 = (х* — 8л:+16)—
— 25 = (х — 4)8 — 25 = (л; — 4 — 5) (х — 4 + 5) = (х — 9) (х + 1).
4а 4л:2 + 4л:’ — 3 = 4л:2 + 6х — — 2л: — 3 = 2л: (2л: 4-3) — (2х + 3) =
= (2лг + 3)(2*— 1), или 4х% + 4л: — 3 = (4л:2 + 4л: + 1) — 4 = (2л: + I)2 —4 =
= (2лг + 1 — 2) (2л: + 1 + 2) = (2лг — 1) (2л: + 3). 5. 2л:2 — лг — 3 = 2л:8 + 2л: —
— Зл: — 3 = 2* Х* + 1) — 3 (лг + 1) = (лг+1)(2лг —3), или 2*8 — лг — 3 =
— ы -’ — i ) — [ ы ы — а — [ ы г — щ —
= 2 [ ( * _ ! ) — Щ * _ ^ ) 4 — ! ] = 2 ( * ( * + 1 ) = ( 2 * — З Х * 4 — 1 ) .
6. л:2 —2(л + Л)’л+(л2 + 2лЛ —ЗЛ8) = {л: —(л+ Л)]2 + (а8 + ‘2 ab — ЗЬ2) —
— (а + Л)2 = {л — (а + £)]8 —4£8 = (лг — а — b — Щ (лг — а — b + 2Ь) =
f= (лг — а — ЗЬ) (лг— а + Ъ\
ГЛАВА V
§1
1. При х ф 9. \ При х^ЬЗ. 3. При лг^О иу/^О. 4. При лг — 1 и
х ф 1. 5. При ЪфЗ\ афО, 6. При хфО; у ф 0; лг^:^.
§ 4
1. -а4. 2. \ .3. 1.-4. х- = л7. 5» х = -~т • 6. х = л8. С* От
§ 5
-a*be
1. — 4 в8с. 2. XZ. 3. — 10ac. 4. 7*у4. Ь. ^-a*pq. 6. -у——= ^ •
•g-a*8c
7ab*c _ 7 25a*xl*y__25a*u
7- 5a8*8e8 ~ 5a8*e8 * 7alxy* ~ ,]У *

506 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ Й РЕШЕНИЯ 507
« М й У ^ т Ч г + у ) —
§ 7
1. л:2 — 4у2. 2- лга + 2 * у + у . 3. а + * + * + <*. 4. л;2 + 3. 5. х = а — 2Ь.
6. л: == а — 3£. 7. * == а — Ь + с.
§8
1. Делимое первой степени относительно b, а делитель второй степени
относительно этой же буквы.
2. При лг = 2 делитель обращается в нуль, в делимое при * = 2 равно 7,
т. е. в нуль не обращается.
3. При а = 1; Ь = — Г делитель обращается в нуль, а делимое при этих
же значениях букв равно 2, т. е. в нуль не обращается.
§ 9
1. *» — 2* —-1. 2. * * 4 — * ‘ + * * — Ь * + 1 . 3. аа+ ае + Ь. 4. а* — За + 2 +
+ вГ+а+»Г 5-а* + в+ 1+ 7 ^ 2 —
§ 10
1 *У 9 х + 2 я о‘ + 2а+1 4 з
*—3 *Л а —1 *’ 8 *
§ и
. 2(5x + 3y — 2z) п 2 (<** — Заб + 46*)
1 15*» + ЗУ — 25г» * а* + Заб + 56* ’
§ 12
. а* + а + 1 2 2(*+1) *«_П*» + 4 * * + 1
Ь а* ‘ а(а + 2)* (* —1)* * 4* *(*» —4) ,8, “ * “ •
‘ — f —
§ 13
, * + 1 Л (« + 6)*(а — 6) 0 * + 3 . 2*(** + *+1)
1. —г ~ . г. 256 Л ГТ” * г * + 1 Г*
§ 14
, п . О (а — 6)(а — 36) , * ( * + 1 ) , * * — За* — а*
1 . ( *— 1 ) .А (в + 6 )* ’ * — 1 * *» —а* ‘
§ 15
2
!* ** a (* + 2) (5** — 4* — 4) ‘

507 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ и решения
| 0 | ( Q |. о | 2 4 | 6
2. Нет. а Нет. 4. Да. а Да. & Да. 7. Нет, а Да.
ГЛАВА VIII
§ 1
1. Решение . ^*+ .у = 75, ) _ j. | * = 40; _у = 35. Проверка. 40 + 35 =
= 75; 40-г 35 = 5. ~
§ 2
1. 3 ад а ч а. В 7а и 76 классах школы 75 учеников. Сколько учеников
в-каждом классе? Уравнение, х + у = 75. Таблица некоторых решений;
х | 30 | 35 | 38 | 41 | 42
у j 45 | 40 j 37 | 34 | 1з
£ 3 а д а ч а . В 7а классе на 5 учеников больше, чем в 76 классе. Сколько
учеников в каждом классе? Уравнение, х —.у = 5. Таблица некоторых
решенйй:
* I 30 I 35 I 38 I 40 I 41
у j 25 j 30 | 33 j 35 j 36
§ 4
1. Прямые пересекаются: х = 2; у*=1. 2. Прямые совпадают. Решений
бесконечное множество. Например, * = 2; у = 1; лг = 5; у = 0 и т. д. 3. Прямые
параллельны. Решений нет.
§ 5
1. Р е ш е н и е. дг = 75
х 5 + 5 } 75 —у = 5 +.у; у — 35; * = 5+.у = 40. •
§ 7
1. Решение. Сложим оба уравнения, получим 2л: = 80; х = 40. Подставим
полученное значение л: = 40 в первое уравнение: 40+ у = 75; .у = 35.
2. Решение. Умножим почленно первое уравнение на 3. Получим систему
15* — 6у = 9,
* + 6у = 1′ 1.\/

508 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ §09
Сложим почленно уравнения. Получим 16* = 20; * = ~ ; ~ + Ъу = И;
13
5 5
§8
1. Р е ш е н и е. Из второго уравнения имеем * ==у +15. Подставим в первое
уравнение вместо * полученное для него выражение. Получим (у’+ 15) +.у =
= 75; 2у = 60; ^ = 30; * + 30 = 75; * = 45.
ГЛАВА IX
§ 1
1. 2. 2. 3. 3. — 4 — 4. у * 5. 0,1. 6. 2. 7. —2. 8. 0,1. 9. 4 *
1 1* —2 • 2* — 9 2 *
§2
*» — 5 — 4 — 3 — 2 — 1 1
2
0 1
2
1 2 3 4 5
У 10 8 6 4 2 2 2 2 2 4 6 8 1| 10
1. 2,68 < /7 ,2 < 2,69.
§ 3
§ 5
1. 8,1 < /67ДЗ<8,2. 2. 6,4 < / 4 1 <6,5. 3. /46,24 = 6,8.
4. 2,2 < / Г <2,3.
§ 6
1. 8,52 < /72,6115 <8,53. 2. 3,76 < /ЦТ7<3,77. 3. 3,16.< /1 6 <3,17.
1. аЧ7. 2. ат*~п*. 3. а1*.
ЧАСТЬ II
ГЛАВА I
§ 1
§ 2
1. *»4-4** — 2 х*~ 20** — 7*»+ 24*+16. 2. аш + 2в«4 -3 4 -^ 4-
1 а а* 2а* 2а , , , 2* ,
а*’
§ 3
I 1 q £2 f r l f f j — 1 mzz.m i L
а*Ф’ b* b2 b * а а2*
1. 64; —243. 2. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100; 1, 8, 27, 64, 125, 216,
343, 512, 729, 1000. Числа второго ряда растут быстрее. 3. При * > 10; при * > 1000,

509 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 4
1. 5. 2. .11. 3. а — 2 при в ^ 2; 2 — а при а < 2.
§ 16
1. 2“ . 3 » . 2- ^ = у 2т т з г . г ^ =
в ГоГ 8 /* т • 1/ЗГ в / ‘08 «оУ * / “o’ .
§ 17
‘ 1. 4. 2. |/2 5 . 3. у т .
§ 18
1. утз. ч. у т . * у щ . 4, а . ^ У Е . е. & .
§ 19
1. 2. 9 / г » — | / 3 . va лг* + л + а* + а + 2(1 + адг) / а * .
4 35 ^6 *
§ 20
1. У С?. 2. 2 ^ + 3 У Т .. а з — 2уТ . 4. (а* + вл: + л:>) ( у га ‘+ / 7 ) .
в 12 У<Г — 14 УЖ — 15 У 2 -J- 29n
9, 23 *
ГЛАВА П
§ 1
» 1. х — 1 = 0 — уравнение первой степени. % х % — 2 л г+ 1 = г0 — уравнение
второй степени. 3. х ь — х + 2 = 0 — уравнение третьей степени.
§ 3
1. — 5; 9. 2. 9 — двойной корень, а Не имеет корней. 4. — 3; 5. а — 2; 4.
, § 4 ‘
, * . 2 2 ~ 3 ± 1 . »~ 5 а 4 о . 23
1’ ~ Т ‘ 10 * ’ а + Ь • ’ 6 •
5. 1,998 < л :,< 1,999; — 3001,999 < лт, < — 3001,99а

510 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 1 1
1. *, = 3; * 2 = 5; * i + лг* = 8; XiX2 = 15. 2. лгх = 2; лг* = лгх + ** =
= у ; лг1 ^ « = 1-3* * » = 3 ~ 4 » 3~ : *1 + *S = 3; *1*J = — 7,
§ ? 1 I. * t a= 1, * , == — 9 ; x* + 8 * — 9 = (x — 1) (* -J- 9)* 2. x t = 3; * , — у
3 * » — 1 0 * + 3 = 3 ( * — 3 ) ( * — y ) . 3 . * 4 = — 1 4 — / 6 ‘ ; * , = — 1 — YW\
*»4- 2*—5 = (*4-1 —/ б ) ( * 4- 14- / 6).
§ 8
1. **—2* —3 = 0. 2. * *— * — 4 = o . a **—4 * —1= 0. z о
§ 9
1. *> 4- *1 = (*! 4- *,)• — 2 * 1 * 1 = 9s + 2 • 11 = юз; *1*1 = (*,*,)* = 121;
искомое уравнение: ** — 103* 4~ 1 2 1 = 0 . 2. (3*i —* ,) — ] — (3*, — * i ) = 2 (*i -|-
4- Xt) = — 22; (3*i — *,) (3*, — * , ) = — 3(*f 4 — *1) 4- 10*!*,^= —
— 3 [(*i 4- ■*»)* — 2*i*,] 4- 10*i*, = — 3 (121 4- 18) + 10 • (— 9) = —
— 507; искомое уравнение: **4-22* — 507 = 0. a* *i = ll; yi = — 7;
X , = ~ 7 ; y t s s 11. 4. *1 = — y 4 — ^ l =
1 / 3 3 1 / 3 3 _ 5 в о x, — — у — — * y — ; . у , = у — — ‘ у — . 5 . * , = 6 ; У 1 = у ; * , = 5 ; , у , = 3 .
§ 10
1: Два корня: один положительный, другой отрицательный. Бблыпую абсо
лютную величину имеет положительный корень. 2. Действительных корней
нет. 3. Два равных отрицательных корня. 4. Дискриминант равен 4(я + 3).
Если а + 3 < 0, то действительных корней нет. Если а + 3 = 0, то уравнение
имеет два действительных равных корня. В этом случае уравнение принимает
вид * * + 1 2 * + 36 = 0 и лгх= л г * = —6. Если а + 3 > 0 , то уравнение имеет
два действительных различных корня.
^ § 1 1 ________
1. ± 1 ; ± 2 . 2. ± 1 ^ 5 + У 2 4 ; ± У 5— 24. 3. i t 2. 4. Действительных
корней нет. 5. Действительных корней нет.
§ 12
1. 1. 2. — 2; 3. 3. 1; — 3. Ук а з а н и е * Ввести новое неизвестное д> =
= лга + 2лг. 4. 2; —6. У к а з а н и е . Раскрыть скобки и ввести новое неизвестное
v = х* + Ах.
§ 13
1. 3 ± 2 / 2 ; 2 ± / J . 2 . l i > ^ ± l / i 8 4-6 / 5 5
d t :y y s • 3L — 1; — 7; 3 ± } f2 . 4. Действительных корней нет,
5о. 1 ± 2У 1 .’ l2. . a

511 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

§ 14
1. ± У 5 + У24; ± у 5— уШ (по одному способу); УУ ± УТ;
— Уз й: У ? (по другому способу); У 5 У У24= УГ -|- У ‘2~;
1 ^ 5— У2 4= УЗ-— У2; —>^5+ )/24 = — УЗ-— У 2 ;—1^5— У 24 =
— у з + уг: 2. У2 — 1.
§ 16
1. 2* Решений нет. 3. — 4. Решений нет.
§ 17
1. 2. 2. 41 3.1. 4. 2; —-6. У к а з ание . Ввести новое неизвестное у*=з
г==л: — 2. 5. 7.
ГЛАВА III
§ 3
1. Ветвь гиперболы; рис. 108. 2. Парабола; рис. 109. 3. Две полуветви
гиперболы; рис. 110. 4. Парабола; рис. 111. 5. Биссектрисы первого и второго
координатных углов; рис. 112. 6. Две бесконечные ветви; рис. 113. 7. Два
симметричных отношения оси Ох лепестка; рис. 114. Указание. Биквадратное
уравнение решить относительно у в общем виде (т. е. выразить у
через х) способам, описанным в § 14 гл. II. 8. Три одинаковых, лепестка,
совмещающихся при повороте на 120 и 240°; рис 115. Указан »ie. Решить
биквадратно^ уравнение относительно у в общем виде, применив обычный
способ.-
§ 5
I. Рис. 116. 2. Рис. 117. 3. Рис. 118. 4. Рис. 119. 5. Рис. 120. 6. Рис. 121.
7. Рис. 122. 8. Рис. 123.
§ в
1. Рис. 124. 2. Рис. 125. 3. Рис. 126. 4. Рис. 127. 5. Рис. 128.
§ 7
1. Рис. 129. 2. Рис. 130. а Рис. 131. 4. Рис. 132. 5. Рис. 133;
ГЛАВА IV
1. = 2; = 3; х г— — 2-,у, = 5. 2. лгж = 14; Л = —24; лг» = 1; >-, = 2.
& *» = 2; у»—0; = yt = — у .

512 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 1 7
ГЛАВА V
§1
1 . 1 , 1 , ! , . . . 2. 1, 3, 5, 7, … 3 . — 1 , ! , — ^ — , ^ — , . . . 4.2 ,
— 4, 8, —-16, … 5. Р еше н и е . Доказательство проводится методом математической
индукции (см. гл. I, § 3). При /1 = 1 , т. е. для первого члена
последовательности, утверждение справедливо, так как по условию ut = I
и по формуле «л = 2п— 1 имеем « 1 = 2 — 1 = 1. Допустим, что утверждение
справедливо для члена последовательности, номер которого к, где к — какое-
нибудь натуральное число, т. е. и^ = 2*— 1. Докажем, что тогда утверждение
справедливо и для члена, номер которого к 4-1, т. е. что «*+i = 2*+l — 1. Действительно,
« * + 1 = 2«* + 1 = 2 (2k — I) + 1 = 2*+l — 1. Утверждение доказано
17 Д. К. Фаддеев, И. С. Сомиысни» —

517 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§2
1. Ук а з а н и е . В равенстве (а + I) 4 = а* + 4аь + ба* + 4л + 1 положить
а последовательно равным 1, 2, п. Дальше поступать так же, как
и при вычислении суммы квадратов.
§ з
1. Ук а з а н и е . Воспользоваться методом, примененным в последнем
примере этого параграфа.
§ »
L Предела нет.- 2 . Предела нет. 3. Предел равен 2 ; N = 1 , 10, 30,
100,1000. 4. Предел .равен 4; при любом е можно принять N = 1. 5. Предела
нет. 6 . Предел равен N = 1, 1, 2, 2, 3.
ГЛАВА VIII
§3
2. 90.
§ 7
1. С*%\. Указание. 1 + 0 + * ) + …+ (i+*)”= ( 1 1 .
ГЛАВА IX
§3
I. (a + bi) + (o — W) = 2e; (o + bi) • (a — bl) = a* + b \
§4
1. У к а з а н и е . Подставить в уравнение вместо х числа — 1 + 3 / и
— 1 — 3/.
§ Ю
1. Если п делится на 4, то я = 4k, где k — натуральное число. Тогда
/я = /**==: (/4)*= 1*«1,
2. Если я при делении на 4 дает в остатке 1, то л = 4£ + 1, где Л —
натуральное число. Тогда in = i4k+i = i4k • i = l • / = /.
Ъ Допустим, что квадратный корень из числа а + Ы существует и равен
и sss х + yi, Тогда (х + y i)* = л + £/, откуда
х* — у* = а, \
2ху*= Ь .)
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим, получим х* + 2**у*+д;4 =
= л* + £*, откуда х % + у 2 = у л8 + Ь*. Корень квадратный взят с положительным
знаком, так как левая часть равенства не может быть отрицательной.
Теперь имеем
х* -f у* = Vиг -i Ь*.

518 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 1 »
Отсюда ______________
, = » / i + e ± » L ,
.y _ ± y = i ± j r ? 5 E . .
Так как 2ху = Ь, то л: и ^ должны быть одного знака, если £>>0, и разных,
знаков, если £ < 0 .
Итак, если квадратный корень из а + Ы существует, то он равен
„и „ ± ( / Н ^ Ж + „ / Н + ^ Ж ) ,
где е = 1, если £ > 0 , и е ==— 1, если £ < 0 , т. е. квадратный корень
a + bi может иметь не более двух значений.
Остается доказать, что каждое из полученных значений действительна
является квадратным корнем из a + W. Для этого достаточно числа и иь
возвести в квадрат и убедиться, что в результате получится a + W.
ГЛАВА XI
§ 4
1 . х 1 = 1 + /; лг2 == 1 — i; * 3 = — 1 + /, лг4 = — I — i. 2. х* — Зл: -j- 2 = О
при х = 1 и при х = 2. Если заданный многочлен делится на х* — Зх + 2
без остатка, то х = 1 и х = 2 являются его корнями, т. е. 1 — 3 + 3 *4- в +~
+ £ = 0 и 1 6 — 2 4 + 1 2 + 2 а + £ = 0. Поэтому а + £ = ~ 1 ; 2 а + £ = —4,.
т. е. а = —3; Ь = 2.
ДОПОЛНЕНИЕ
I
I. г) Неверно. Например, 3 • 4 делится на 6, но ни 3, ни 4 на б не делится.
ж) Неверно. Например, 4 делится на 2 и нулем Не оканчивается.,
к) Неверно. Например, сумма 3 + 5 — четное число, но 3 и 5 нечетные числа..,
3. Если сумма произведений есть число четное, то В взял четное число.
Если сумма произведений — нечетное число, то В взял нечетное число.
7. У к а з а н и е . Утверждение достаточно проверить для 8, 9 и 10 руб.г
так как всякое ббльшее число рублей можно. получит*», присоединив к 8,,
9 и 10 руб. несколько билетов достоинством в 3 рубля.
9. У к а з а н и е . При нервом взвешивании положить на каждую чашку
по три монеты.
10. Ук а з а н и е . Учесть, что количество жидкости в каждой бочке не
изменилось.
II. К р а т к о е р еше н и е . Человек,определивший цвет своей бумажки,,
рассуждал так: <если бы у меня была черная бумажка, мои противники Легка
догадались бы, что у них белые. Однако они молчат, значит, у меня белая».
II
1. Р еше н и е . Это утверждение несправедливо. Так, например, пр»
а == -g1 — 2о а = ^2 , т. е. дро*бное, а не целое.

519 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

Этим примером мы опровергли утверждение мальчика, т. е. доказали,
что утверждение несправедливо.
2. Р еш е н и е . Это утверждение справедливо. Действительно, если . а
целое, то 2а тоже целое, так как произведение двух целых чисел всегда
целое. Если же а — дробь со знаменателем 2, 2а все равно целое, так как
знаменатель дроби сократится с коэффициентом 2.
3. Р ёш е н и ег Это утверждение справедливо. Если число делится на
12, то оно делится и на 6.
4. P e i n e ние. Это утверждение несправедливо. Число 18, например,
на 6 делится, а на 12 не делится.
5. в) Верно, так как произведение целых чисел делится на 3, если хоть
один из сомножителей делится на 3. ж) Неверно. Например, а — \ ^ =
II!
1. 1. 2. а) Неверна. Например, 8е = 512.
6. Числа п — 2; п — 1; п — это три последовательных числа. Среди них
есть хоть одно четное и одно кратное 3.
7. У к а з а н и е . Найти последнюю цифру.
VIII
3. Неверно. Например, а = —2, £ = 2.
21. Допустим противное, т. е. допустим, что а ‘ ^ 0. Тогда 5 + а > 0 ,
что противоречит условию и, значит, невозможно.
IX
1. 0. У к а з а н и е. Привести подобные члены в числителе.
2. О + 4. У к а з а н и е. (х-\- 1)(л:— 1)4*2==лга+ 1.
6. Р е ш е н и е. Пусть п — нечетное число. Тогда (п 4- 2)2 — п* === 4 (я 4* О
делится на 8. ‘
X
1. а* — а = а (а — 1). 2. Дано двузначное число 10а + гДе а + Ь < 10.
Имеем (10а + Ь). 11 = (10а + Ь) (10 + 1) = 100а 4^10 (а +• Ь) + Ь. 3. У к а-
з а н и е . abc + ab + са + bc = abc 11 + ~ + у + в(<*+1)+(<*+1) =
*2 _ £8 )2 1_ ( 2 ab)K 9.
6 2 0 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
= (а + О8- 8. (а* + Ь*)* = (а2 — Ъ*)* +.(2аЬ)К 9. 2 (а2 + Ь*) = (а + Ъ)* +
+ ( a — , i>)8. 10. (10+1)* = 10004-300 + 30 + ,1.
11. рассмотрим разность а*Ц- Ь% + с* — (а + b 4* с) = а (а — 1) (а -|- 1) +
1)(£4г 0 4 » с-(^~- 0 (^4 * О* Каадое, слагаемое в правой части равен*
ства*&£лад;ся ‘на 6. Поэтому разность делится, на 6. Если разность и вычи-
таеМОф делятся на’ 6, то и уменьшаемое делится на 6.
1 2 Ц 0 1)? 4 — а% + (а 4- 1)* ?*= За (а»2 4- 2). Возможны два случая: 1) а делится
на; 3; 2) а не делится, на 3.. Есдн иадеет место первый случай, то
За (а?Ц*2).делится на 9. Если имеет место второй случай, то а = 3 k+ 1 или
а = 3&— 1, г я ег£— целое число; тогда а2 4* 2 делйтся на 3, значит, и в этом
случае За (а2 4* 2) делится на 9. .
XI
I. У к а з а н и е . Преобразовать к виду ^ 4 * 2 . При а = 12.
3. У к а з а н и е . Сложить дроби.
16 4. y z l £ ie • У к а з а н и е . К первому слагаемому прибавить второе;
к полученной сумме прибавить третье слагаемое, затем четвертое и т. д.

520 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

с: лг п ж т ( т 5. У к а з а н и е . Преобразовать к виду — *—+ 1 ) ( л * + 2) л6. ЛП — -1g*\) +,■
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 2 1
+T V( 2± _ ±3)U г +^ \М9 9_ ____1L00/U J 1L00 *
XII
1. Р еш е н и е . Допустим, что х* < лг. Значит,**— * < 0 и л и * (л г—1)<0.
Значит, х не может быть отрицательным числом, так как тогда х — 1 тоже
отрицательно и х ( х — 1)>0. Точно так же. х не может равняться нулю,
так как тогда х ( х — 1) = 0. Следовательно, лг>0, а лг — 1 < 0 . Таким образом,
если лг5Г<лг, то О с л г с 1.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть 0 < л г < 1 , тогда
х (х — 1) < 0; х 3 ■— х < 0; лг* < лг.
2. Допустим, что уравнения имеют общий корень лг0. Тогда справедливы
тождества atJ -f- алг0 — 2а == 6; лг§ — 2ax0 -\-a = Q. Вычтем из первого ‘ тождества
почленно второе тождество. Получим тождество Захо — 3а = 0 или
За(лг0— 1) = 0. Значит, либо я = 0, либо лг0 = 1. Если лгр = 1, то указанные
тождества дают а = 1 . Таким образом, если уравнения имеют общий корень,
то а = 0 или а = 1.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть а = 0. Тогда каждое из
уравнений имеет вид лг* = 0 и х = 0 будет общим их корнем. Пусть я = 1.
Тогда уравнения принимают такой вид: х* + х — 2 = 0; лг* — 2л: + 1 = 0.
Подстановкой в эти уравнения 1 вместо х легко убедиться, что х = 1 есть
общий корень этих уравнений. Таким образом, а = 0 или в = 1.
XIII
1. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть р — простое нечетное число. Допустим,
что / ? = * *—y*t откуда р = (лг— Так как р — простое число, то
х —у = 1, |
=/>. /
— £ ± i .
Jt+У—Р.
Из этой системы уравнений находим лг = — ~ — ; у = ^ . Следовательно,
если простое нечетное число р может быть представлено в виде разности
квадратов натуральных чисел х*—у \ то л г = ^ ; у = * ^ . Это значит,
что, если требуемое представление возможно, то оно может быть выполнено
только одним способом. Остается доказать, что
Это сделать легко.
2. Р е ш е н и е . Если а ф 2, то х = 1; у = -4у а. Если а = 2, то система
имеет бесконечное множествог решений: х = — j (j~~ \ У — любое число.
3. Р еш е н и е . Пусть ал:* + Ьх + с — искомый многочлен. Тогда по
условию имеем систему трех уравнений а-\-Ь — 4 а г Ь 4*с 3=3 — 2;
9а + 36 + с==3. Отсюда а = 1; & = 0; с = — 6. Искомый многочлен х* — б.
4. (Г, 2, 3, 4). У к а з а н и е . Сложить попарно все уравнения системы.
5. [ 1, -g*, у > у ) # У к а з а н и е . Ввести новые неизвестные ~ = а;
! = *• L = c — ^ d .

521 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

1. Д о к а з а т е л ь с т в о проведем методом математической индукции.
Пусть л = 1 . Одна прямая рассекает плоскость на две части. При я = 1
имеем -ГС 1 = 2. Таким образом, при п = 1 утверждение справедливо.
Допустим, что утверждение справедливо при я = £, где к — любое
натуральное число, т. е. допустим, что к прямых рассекают плоскость на
—k (-k 4- П■ + 1 частей. Докажем, что тогда (к + 1) прямых рассекут плоскость
(k 4 . \\( k 4- 2 )
на v 1 частей. ( £ + 1 )-я прямая по условию пересекает каждую
из первых k прямых и притом в такой точке, в которой никакие из
первых k прямых не пересевались. Это значит, что (k + 1)-я прямая проходит
через (/Ь4 — 1) частей плоскости и каждую такую часть делит на две
части. Поэтому после проведения (к + 1)-й прямой число частей плоскости
увеличивается на (&+0- Теперь имеем
+ , + ( « + „ = ( » + ■ , ( ! + ■ ) + . = <t + . f + 2) + 1 .
Итак, утверждение справедливо при п = I и из справедливости его
при п = к вытекает справедливость его при п = к 1. Значит, утверждение
справедливо при любом натуральном п.
2. 1; —-1; — 2; — 4. У к а з а н и е . Ввести новую неизвестную х я -\-З х
3. 1; — 6. Указание. Уравнение преобразовать к виду (х8 + 5лг -f- 4) X
X (хя + 5л: + 6) = 120 и ввести новую неизвестную л:8 + 5л: + 4 = у.
л 1 + / 3 3 _ 1 /5 0 + 2 / 3 3 . 1 — / 3 3 . J у 50 — 2 / Ж
4 4 » 4 * 4
У к а з а н и е . Обе части уравнения разделить на х я и ввести новую неизвестную
х — ~ =.у._
5. Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что при лг=лг0 многочлен лт8 -}-5лг+ 16
делится на 169, где х9 — целое число. Тогда x l +5д:о + 1 6 = \Ш , где t —
некоторое целое число. Отсюда имеем -f- 5лг0 + (16— 169£) = 0. Решая
— 5 + 169 — 4^ — 39 _ .
уравнение, получим дг0 1—-—g • Для того чтобы лг0 было
рациональным числом, необходимо, чтобы подкоренное выражение было
квадратом целого числа. Однако 169 • 4* — 39 = 13(13* 4£ — 3). Число, записанное
в скобках, на 13 не делится. Следовательно, подкоренное выражение
делится на . 13, а на 138 не делится, т. е. не является квадратом целого числа.
Выходит, что наше допущение неверно.
XV
I- ( — 1 , — 2 , — ЗУ, (1,2,3).
2. Р еше н и е . Умножим первое уравнение на х — \ — у , внеся этот множитель
вб втором слагаемом под знак корня. .При этом необходимо рассмотреть
два случая лг+ ^ ^ 0 и х У < 0 . В первом случае получим x*t— у я-\-
+ Ух* — .у8 ** 2 0 , откуда, положив | / л:8 — у я = t, имеем t* + 1 — 2 0 = 0 ;
tx з±:4, f* = — 5. Второе решение следует отбросить. Итак,#8 —.у8 = 16;
л;8 -|-у 8 = 34, откуда х = * ± 5 ; у = ;± 3. Нужно взять те комбинации значений,
для которых х + у ^ > 0 , т. е. (5, 3) и (5, — 3). _______
Во втором предположении получим х я — у а— У X я—у а = 2 0 , откуда
У X я—у я = 5 ; лг8-— = 25. Совместное решение с х я -\-у я = 3 4 . дает
5 2 2

522 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 2 3
равна
I — а *
XVII
1. Д о к а з а т е л ь с т в о . — lo g .2; 1 5 ^ — ‘“g , 5; tog, 1 0 > 2 .
2« Д о к а з а т е л ь с т в о .
il«gg\T — 1о8а « ‘ log„ ат — toga П (log„ a +log„ т) = 1 + log„ т loge л.
ш 8 ат п
О^таетс^ доказать, что log^m loga я = loga тщ По определению логарифма
имеем п°*пГП=ат. Прологарифмируем это равенство по основанию Л.
Получим log„ m loga я =з loga m._______________________________ ______ __
4. —2; 2. У к а з а н и е . Воспользоваться тем, что 1 / 2— х
х У 2 + v аг = 1 и ввести новое неизвестное ( У 2 — у г ) * = у .
XVIII
I. Р еш е н и е . Каждую из точек пересечения отрезков можно рассматривать
как точку пересечения диагоналей четырехугольника, две вершины
которого лежат на одной из параллельных прямых, а две другие лежат
на другой из параллельных. Поэтому отрезки пересекутся раз.
3. Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся тождеством (1 + х )п (1 + лг)*=
= ( 1 -|~лг)я+*. Коэффициент при х ты в левой части тождества равен
C y + ! -J-2 C^ Ч -С ? » «1» в правой части коэффициент при той же степени х
равен
4. У к а з а н и е . Воспользоваться тождеством (1+ХУ1.( 1 + ЛГ)2Я*
5. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
S « C ‘ + 2 q + 8Q + … + ( * — l ) C : — 1-HiC:. (1)
Так как равенство (1) можно переписать так: S = nC” +
+ (я — О С \ + (п — 2) Сп + … + Ся 1. (2)
Сложим почленно равенства (1) и (2), получим 2 S = ^ ( 1 + C « + С * + . . . + С Я)
или 2S = я • 2я. Откуда S*=n»2n~K
6 . Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала, что (2я + 1) делится на
(2 я + 1) С\п (2 я + 1 ) (2 я)! (2 я + 1)! _
• + 1 . Действительно, — = ( я + — ц я 1 » (П + ЩЖ = CW

523 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Далее, С&,+ , = — = ( 2 — С%„, откуда = 2С ?П-
«* ^ 2 n + 1 • Следовательно, n _j_y С%п есть целое число и С§Л делится на я + 1 .
7* Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем тождества
с п% 1+ 1 = Cn+k+ Cn%k *
Сп *4-1 . . г п > л л -f* I я+Л— с л-Ъ*-1 T 4 | f t — h
‘ С » ^ ‘ = С2+ 1 + С ^ | ,
c ; t ! = c j .
Сложим эти тождества почленно. После уничтожения одинаковых слагаемых в
левой и правой части полученного тождества будем иметь требуемый результат.
Д р у г о е д о к а з а т е л ь с т в о (Методом математической индукции)/
Пусть А = 0. Тогда тождество принимает вид CJ=*C»^l{. Очевидно, что
при Аг = 0 тождество справедливо. Допустим, что тождество справедливо
при k = m, т.е. допустим, что’ С%+Сап+ х+ … + Сп+т= С п$}т+х.
Прибавим к каждой части последнего тождества по получим
С» + ^ л + 1 + ••• + С п+ м Я* ^ я +m+ l в + ^л+m + l или
С л + с Н — | + ••• + с п+т + С ;+ т + 1 = Значит, тождество
справедливо при А = т + 1*
8. Р еш е н и е . Воспользуемся соотношением АС* *= лС$Z } (см.задачу 2
этого раздела). Тогда сумма перепишется так:
П- n C l_ t + n C l_ , 1 )» — 1 n C ll ! =
= и (I — с ; _ , + с ; _ , — о»-1 с»z b = о.
9. Д о к а з а т е л ь с т в о . х
п\ я!_________ (л — ах)\ (л — — а а—- … — д ^ )1
Oj! л41… лл! Л1 !(л —лО! л ,!(я — Oj — а*)! «* ал!
8=5 в! в* —а* — … (л ••• ак^
Каждый множитель — целое число.
Ю. Д о к а з а т е л ь с т в о .
(1 + 1)’в + | = 1 + С д + , • 1 + С* +1 • 1* + … + С * + | • lm + lm+ ‘,
(]-+2)’»+’ «1 + Cj,+1 • 2+ С» + , . 2Ч-… + с«+, • 2ЯЧ-2Я>+1,
(1 + ‘ = 1 + С’т + г п + С2т + 1 • я* + … + С®+ , • * — + * — + • .
Сложим эти равенства почленно, получим
2т+\ + Зт+1 + … + (я 4 — 1Г+‘ =
+ + + + 2я1

524 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

После уничтожения одинаковых сумм 2m+l + 3m+1 + … + nm+1 в левой »
правой части получим требуемое тождество.
11. Р еше н и е . Первый сомножитель представляет собой 1 —
1 4 второй сомножитель представляет собой 1 — и т. д ., последний сомно-
1 4
житель представляет собой 1 — . Рассмотрим сомножитель в общем
с п+1
1 2 (к 2) ik -+• 1)
виде: 1 — = 1 — игти—-гг = ~ — » * Для С % к (к — 1) (к — 1) к того, чтобы получить
последовательно все сомножители произведения, достаточно придать к последовательно
все цел^е значения от 3 до л -j — 1. Поэтому
/ , l \ / t 1\ Л 1 \ _ 1 — 4 2 — 5 3 — в (л -1 )< /1 + 2) _
\ 3 / \ 6 / » в[ п (п + 1) j 2 — 3 3- 4 4-5 **’ п(п + 1)
_ (л — 1)!(л + 2)!2 л + 2
~ 6л1(л+1)1 “ Зл *
XIX
1. Р еш е н и е . (1 + 1)* 2 /=
2. Р еш е н и е . Рассмотрим (1 + 0 ^ Получим
(1 + О» = [ V ? ( COS ~ + i sin -J-j ] “= ( V W ( cos -2 — + 1 sin .
С другой стороны, по биному Ньютона
(i + 0»e (i~q+Ci—cs + ..o + /(q-Q+ci-q + …x
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 2 5

Поэтому l — q > + C * — C * + . . . = 2 a c o s ^ — , С* -С* + С » -С » + … =
лi *2 * Я71 « 2 sin — j — e
4
3. У к а з а н и е . См. задачу 2 этого раздела.
XX
1. У к а з а н и е . Воспользоваться биномом Ньютона.
2. Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем доказательство методом математической
индукции. Пусть л = 2. Тогда 2* > 2 . Допустим, что 2 * > Л ,
где к 2 ^ 2 . Умножим обе части неравенства на 2. Получим 2Л+1 > 2k. Но
2к > к + 1. Следовательно, 2А+1 > Л + 1.
Можно провести доказательство и другим способом: 2я = (1 4* 1)л =
= 1 + С1 + С*+ • • • + 1 > л, если л > 1.
3. У к а з а н и е . Воспользоваться методом математической индукции.
4. У к а з а н и е . Воспользоваться методом математической индукции.
5. У к а з а н и е . Воспользоваться свойством произведения двучленов,
первые члены которых одинаковы, а вторые различны.
6. Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся методом математической индукции.
Пусть л = 2. Тогда (1 — ах) (1 — at) = 1 — (ах + а%) аха* Следовательно,
(1 — ах) (1 — а%) > 1 — (ах + л2). Допустим, что неравенство справед-

525 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

-ливо при л = £; 6 ^ 2 , т. е. допустим, что (1 — ai)(\ — а2) …(1 — ak) >
> 1 — (ai +Д* + … + ал). Умножим теперь обе части неравенства на
1— Получим (1 — at) ( l — 02) …(1 — ak) (1 — аш ) > 1 — ak+l —
— (0i + 0a + • • • + 0*) (1 — 0fc+i)* Или (1 — 0i) (I — аа) … (1 — (1 — 0£+i) >
> . 1 — (0i + 02 + v* + ak + ak+i) + ak+i (a i + 02 + … + 0Af)> T* e. (1—0i)
(1—0 2 ) ••• (1—0^+i)> 1 — (0i + 0s + ••• + 0* + 0fc+i)-
7. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть n = L. Тогда неравенство, очевидно,
справедливо. Предположим, что неравенство справедливо при л = £, где
1, т. е. предположим, что
(01 + 02 + . . . + 0*)s < * (0l + 0f + . . . + 0|). (1)
Докажем, что неравенство справедливо и при п = k + 1, т. е. докажем,
’»ЧТО
(01 + 0* + . . . + 0* + 0&-и)8 < (Ь + 1) (0f + 01 + … + а% + а%+,). (2)
Имеем очевидное неравенство
(0i — 0*+i)a + ( 0 2 — 0*+i)8 + • • • + (0* ~ 0*+i)f ^ 0.
♦Отсюда имеем, что
0J + 0J + … + 0l + £0| — f i ^ 20£_f.| (0j + 09 + … + 0ft).
Или
0|-f-i + 2ak+i (0i + Ч + — + 0ft) ^ а\ + а\ + ••• + а1 + + l) (3)
Сложим неравенства (1) и (3) почленно, получим неравенство (2).
8. Д о к а з а т е л ь с т в о . (0 + * + с) ( у + у + y j s=s3 + ( у + 4 ) ^
+ y j + ^ y + у ] * Докажем, что + Действительно,
(а — Ь)% ^ 0; о* + b* ^ 2аЬ. Разделим обе части неравенства на abt получим
-?- + — ^ 2 . Точно так же — + — ^ 2; — b у а с ‘ + 4 * ^ 2 . Таким образом, 0 с 1 b
<а + Н + ± + | + ± + 9 . Отсюда g + F + c —
9. Д о к а з а т е л ь с т в о . Неравенство является частным случаем следующей
теоремы: среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит
и х среднего арифметического, т. е ., если аи 0 2, . . . , ап неотрицательны,
то fll а* ?/*.. ^ у at а2 .7. ап . Сначала докажем неравенство
для л = 2 . Очевидно, что ( У 0 1 — У0Г )8^ О . Отсюда 0 1 + 0 2 ^ 2 У 0 1 0 2
или ?.* + .?.!.. ^ У 0i0f • Теперь докажем неравенство для л = 4:
0 1 + 0 2 j 0 » + 0 4 ___
0 1 + <*9 + 0 8 + 04 _ 2 ‘ 2 _ У0102 + У 0804 ^
4 * 2 ^ 2 ^
^ У 0 1 0 2 У 0 8 0 4 = 4/ 0 1 0 2 0 8 0 4 •
Из справедливости неравенства для л = 4 вытекает его справедливость
для л = 3. Положим 0 4 = . Тогда имеем ?iH~g* + gi + ^ ^
Л Г ————- з 01 + 02 + 0 8 + | / 0 1 0 2 0 8 з —————
^ у 0 i0 2 0 | / 0 1 0 2 0 8 . Или ————— 4— ———— ^ у 0 !0 20 в . Отсюда

526 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5 2 7
3*1 4*3а 4* Р~ ==^ f/ a i 0*i + а ) (<*1 + Р). (1)
Предположим, что неравенство (1) справедливо. Тогда
Зл 1 4 а 4~ Р 3 р/^a l (<*i + а) ( d i 4 Р) . (2)
Возведем обе части неравенства (2) в третью степень, получим неравенство
[3*1 + (а ■+ Р) ]»^ 27ах [а? + а* (а + Р) + ар], (3)
или
27а} + 27а} (а 4 р) + 9aL (а 4 р)9 + (а + р)« ^ 27а} + 27а} (а + Р) + 27а*аР, (4) ‘
или
9а1а9+ 1 8 а 1ар + 9а1р9 + ( а 4 — р ) « ^ 2 7 а 1ар, (5)
ИЛИ“
9а1а94 .9 а 1р9 + (а + р ) « ^ 9 а 1ар. (6)
Неравенство (б) справедливо. Действительно, так как Р ^ « , то 9aipa^ s9aia3
и тем более справедливо неравенство (6). Из неравенства (6) вытекают последовательно
неравенства (5), (4), (3), (2), (1). Значит, неравенство (1) справедливо.
10. Д о к а з а т е л ь с т в о .
п (2л)! [1 • 3 • 5 … (2я — 1)} (2. • 4 • 6. . . 2/г) __
2л п\п\ п\п\ ^
П ‘ 3 ‘ 5 . . . (2a— 1)] ■ 2я (1 ■ 2 ■ З …п ) 2* 3 — 5 … (2/г — 1) (2a + 1)
я!я! Т 2л + 1 п\
Очевидно, что — = 2 4 . Поэтому при любом положительном k
справедливо неравенство —2k g—-{— -1- > 2o. nПоэтому
— |-> 2 ; | > 2 ; 4 4 > 2 — (1)
3 -5 …( 2 я + 1 ) 0_
В результате почленного умножения неравенств (1) имеем ——— > 2″.
4п
Следовательно, С%п>
11. Решение.
ах 4 У = а, ) а9лг 4* 4У
ЛГ+ ajr:
А Н — * — * , |
1, / * + a y = l , J
Если а2 — 1 ^ 0 , то х = 1; у; = 0.
Пусть а9 — 1 = 0 . Тогда а) a = 1; б) a = — 1. Если а = 1 , система принимает
такой вид: x+j>== 1; * 4 y = l- Тогда она имеет бесконечное
множество решений х = 1 —-.у; у — любое число. Если a == — 1, система

527 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ Й РЕШЕНИЯ
лг — 2д;+ z = ~ 2 , V
xг- +j- дy> — 2z —4. )л
Сложим все уравнения почленно. Получим 0 • (л: +д> + я) = 3. Не существует
таких лг, у , z, чтобы это равенство выполнялось. Значит, система
не имеет решения.
Пусть 0 = 1. В этом случае система имеет такой вид:
x + y + z = 1,
x + y + z
х + У + z :i:l
Эта система имеет бесконечное множество решений х = 1 —у — z; у —
любое число; z — любое число.
13. Д о к а з а т е л ь с т в о . 0 |лг2 + 2aJ>\X + b\ = ^ л г + Ьг)2> Поэтому при
всех значениях х а\х2 + 2афхх + Ь\ ^ 0. Точно так же при всех значениях лг
фг* + 2 0 Ал: + &1Э50,
<$с* + 2апЬпх + Ь \ ^ 0 .
Отсюда посредством сложения неравенств получаем, что при всех значениях
лг справедливо неравенство
(08 + 0j + … + 0 * ) ^ + 2 ( 0 ^ + 0 ^ + … + 0 ^ ) ^ + ( ^ + ^ + … + ^ ) ^ O ,
или
х 2 + 2 (0 1 ^ 1 + aab% + . . . + anb^) х + 1 ^ 0.
Значит, дискриминант трехчлена, находящегося в левой части неравенства,
отрицателен или равен нулю, т. е. 4 \afii + ajb% + . , . + апЬ„)2 — 4 ^ 0 ,
откуда — 1 ^ а ф х + аф% + . . . + anbn ^ 1.

528 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ОТВЕТЫ Я РЕШЕНИЯ 529
XXI
1. Д о к а з л т е л ь с т в о. Трехчлен х* + х -f- I имеет такие корни:
1 V J 1 V 3
х { — — y + = — 2 — 1 2—* ^ етРУДН0 проверить, что = а г |= 1.
Подставим в трехчлен х гп+* + х ът^ + 1 вместо х число x t. Получим
а :3 «+ 2 + х З т + 1 + 1 = <*3)л * 2 + ( х ^ т х х + 1 = х \ + X t + 1 = 0.
Точно так же можно, убедиться, что трехчлен лг8л+2 + x*m+l + 1 обращается
в нуль при х~х%. Значит, х*п+* + х 9т+% + 1 делится на л:2 + * + I.

529 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ф и з и к о -м а т ем а т и ч е с к а я л и т е р а т у р а
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Ар х им е д , Сочинения, Физматгиз, 1962, 640 стр., 2 р. 70 к.
Г и л ь б е р т Д., Основания геометрии, Гостехиздат, 1948, 492 стр.,
1 р. 80 к.
К а г а н В. Ф., Лобачевский и его геометрия, Гостехиздат, 1955,
304 стр., 65 коп.
К и р п и ч ев В. Л.„ Беседы о механике, изд. 5-е, Гостехиздат, 1951,
360 стр., 69 коп.
К и т а й г о р о д с к и й А. И., Введение в физику, Физматгиз, 1959,
704 стр.,. 1 р. 45 к.
К у л и к о в с к и й П. Г., Справочник любителя астрономий, изд. 3-е,
перераб., Физматгиз, 1961, 494 стр., 1 р. 24 к.
Л е в а н т о в с к и й В. И., Рассказ об искусственных спутниках,
Гостехиздат, 1957, 96 стр., 16. коп.
Хи н ч и н Аг Я., Краткий курс математического анализа, изд. 3-е,
Гостехиздат, 1957, 628 стр., 1 р. 27 к.
«Математическое просвещение» (математика, ее преподавание, приложения
й история).
Выпуск 2, Гостехиздат, 1957, 320 стр., 62 коп.
Выпуск 4, Физматгиз, 1959, 322 стр., 60 коп.
Выпуск 5, Физматгиз, 1960, 304 стр., 64 коп.
Выпуск 6, Физматгиз, 1961, 374 стр., 71 коп.
Книги продаются в книжных магазинах, а также высылаются
наложенным платежом республиканскими, краевыми и областными
отделениями «Книга — почтой».

530 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
ГОТОВЯТСЯ К ИЗДАНИЮ:
Ан т о н о в Н. ГЦ В ы го д с к и й М. Я-, Н и к и т и н В. В., Са н ки
н А. И., Сборник задач по элементарной математике (для
самообразования), изд. 10-е, стереотипное.
А р т а м о н о в И. Д., Иллюзии зрения, изд. 2-е, перераб.
Б у х о в ц е в Б. Б. и др., Сборник задач по элементарной физике.
В о р о н ц о в — В е л ь я м и н о в Б. А., Очерки о вселенной, изд. 5-е.
Г и л ь з и н К. А., Электрические межпланетные корабли.
Г р и г о р ь е в В. И. и Мя к и ш,е в Г. Я-, Силы в природе.
З и г е л ь Ф. Ю., Сокровища звездного неба (путеводитель по созвездиям).
К о м п а н е е ц А. С., Что такое квантовая механика.
Л а н д а у Л . Д. и Л и вш и ц Е . М., Теоретическая физика, т. V. Статистическая
физика (классическая и квантовая).
П а н о в к о Я. Л. и Г у б а н о в а И. И., Устойчивость и колебания
упругих систем (парадоксы, неожиданности и новые концепции).
С е л е з н е в Ю. А., Основы элементарной физики (пособие для
самообразования).
С о м и н с к и й И. С., Элементарная алгебра (дополнительный
курс).
С т р у в е О. и др., Элементарная астрономия.
Ч е р к а с о в А. Н., Введение в высшую математику.
Предварительные заказы на- эти книги принимают книжные
магазины. Оформив заказ на почтовой открытке в магазине, Вы
получите извещение о поступлении книги в магазин. В случае отказа
в приеме предварительного заказа .просим сообщать Всесоюзному
объединению книжной торговли по адресу: Москва, В-71, Ленинский
проспект, 15.

Дм ит р и й Константинович Фаддеев
и И л ь я Самуилович Соминский
Алгебра для самообразования
М., 1964 г. 532 стр. с илл.
Редактор М. М. Горячая
Техн. редактор Я. Я. Мурашова
Корректор 3 . В. Моисеева
Подписано к печати с матриц 19/И 1964 г.
Б ум а га 60X90!/ie. Физ. печ. л. 33,25. Условн.
печ. л. 33,25. Уч.-изд. л . 32,35. Тираж 100 ООО.
Т-00965. Цена книги 1 р. 07 к.
З а к а з № 905
Издательство «Наука».
Редакц ия математики
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Лени н градск ая типография Кг 1 «Печатный
Двор» им. А. М. Горького «Главно-
лиграфпрома» Государственного комитета
Совета Министров’СССР по печати,
Гатчинская, 26

531 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯКабинет Математики.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика