дома » Геометрия в школе » О понятии ПЛОЩАДИ

О понятии ПЛОЩАДИ

ПРИБАВЛЕНИЕ D. О понятии ПЛОЩАДИ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Понятие ПЛОЩАДИ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

313. В книге четвёртой настоящего сочинения мы следовали общепринятому
пути, при котором a priori допускается (п. 243), что можно
определять площади многоугольников, т. е. что каждому плоскому
многоугольнику можно поставить в соответствие некоторое число
(называемое площадью), обладающее следующими свойствами:
h Два равных многоугольника имеют одну и ту же площадь,
как бы эти многоугольники ни были расположены в пространстве,
,
И. Многоугольник Р», представляющий собой сумму двух
смежных многоугольников Р и Р’, имеет своей площадью сумму
площадей многоугольников Р и Р*. — \
В изложенной выше теории возможность такого рода соответствия
представляет собой постулат. Однакс) в этом постулате нет надобности:
возможность, о которой идёт речь, отнюдь не предполагается

277 О понятии ПЛОЩАДИ. 

заранее, а строго доказывается при следующем методе изложения,
который в силу этого заслуживает предпочтения перед изложением,
данным выше.
314. Теорема. Во всяком треугольнике произведение одной из
сторон на соответствующую ей высоту имеет одно и то же
значение независимо от выбора стороны.
Пусть дан треугольник ABC (черт. 240), в котором сторонам ВС,
АС соответствуют высоты АН, В К. Прямоугольные треугольники АСН,
ВСК имеют общий угол^ при С; следовательно,
эти треугольники подобны, откуда
= или ВС • АН= АС • вк.
AL Jjb
Мы будем называть площадью треугольника
это произведение, умноженное на некоторое раз в н и
навсегда выбранное число k\ к вопросу о выбо- Черт 240.
ре числа k мы вскоре вернёмся. Площадь
будет равна нулю, если треугольник в собственном смысле не
существует, т. е. если три вершины .лежат на одной прямой, и
только в этом случае.
Площади двух треугольников с общей высотой пропорциональны
их основаниям. ‘
Очевидно, что равные треугольники имеют равные площади.
315. Рассмотрим теперь, с другой стороны, какую-либо точку О
в плоскости треугольника; соединяя эту точку с тремя вершинами,
мы получим три треугольника, имеющих своими основаниями различные
стороны данного треугольника и общей вершиной точку О.
Какой-либо из этих треугольников мы будем называть положитель-
/шж (например треугольник ОВС, черт. 244), если он с данным
треугольником лежит по одну и ту же сторону от общего основания;
и отрицательным (например треугольник ОВС, черт. 245) —
в противном случае1).
Теорема. Если выбрать в плоскости треугольника какую-
либо точку О и соединить её с тремя вершинами данного треугольника,
то разность между суммой площадей положительных
и суммой площадей отрицательных треугольников (или первая
из этих сумм, если отрицательных треугольников не будет) равняется
площади исходного треугольника. .
Стороны треугольника делят плоскость на семь областей (черт. 241):
одну внутреннюю (/), три области (2—4), отделённые от внутренней
*) Если перечислить вершины данного треугольника в каком-либо определенном
порядке, а вершины треугольника с вершиной О в таком порядке,
что общие вершины двух треугольников будут оба раза следовать в одном
и том ще порядке, то можно сказать, что треугольник с вершиной О будет
положительным или отрицательным, смотря по тому, будет ли он
иметь с данным треугольником одинаковое направление вращения или
противоположное.

278 О понятии ПЛОЩАДИ. 

области соответственно тремя сторонами, и, наконец, три области
(5—7), лежащие внутри каждого из углов, вертикальных углам треугольника.
Мы будем различать далее пять случаев:
1°. Точка О лежит на одной из сторон. Если точку О взять на
стороне ВС треугольника ABC (черт. 242), то треугольника ОВС не
будет. Что касается двух треугольников ОАВ и О АС, то они действительно
будут иметь своей суммой
треугольник ABC: в самом деле, три
треугольника имеют одну и ту же
высоту (перпендикуляр, опущенный
из вершины А на ВС) и основание
ВС третьего равно сумме оснований
ОВ, ОС двух первых.
2°. Точка О лежит на продолжении
одной из сторон. Если точку
О взять на продолжении стороны
/?С треугольника А£С(черт. 243),
то треугольника ОВС не будет. Что
касается двух треугольников ОАС
и ОАВу то они действительно будут
иметь своей разностью треугольник ABC: в самом деле, три треугольника
имеют одну и ту же высоту и основание третьего равно
разности оснований ОС, ОВ двух первых.
3°. Точка О лежит внутри треугольника (черт. 244). Продолжим
отрезок О А до пересечения в точке / со стороной ВС. Треуголь-
А А
Черт. 241.
ник ABC равен сумме треугольников ABI, ACI, которые могут быть
разложены на АОВ BOI, А0С-\-С01. Треугольники АО В и АОС
будут положительными треугольниками, а треугольники BOI и COI
дают в сумме положительный треугольник ВОС.
4°. Точка О лежит вне данного треугольника ABC, но внутри
одного из его углов, например А (черт. 245). Если прямая О А пересекает
сторону ВС в точке /, то сумма треугольников ОАВ и ОАС
может быть заменена суммой треугольников AIB, AIC, OIBy OIC* Но
сумма двух первых из этих четырёх треугольников равна ABC, а сумма
двух последних — ОВС; следовательно, будем иметь соотношение
ОАВ-\-ОАС=АВС+ОВС, или ОАВ -f — ОАС — ОВС— ABC,

279 О понятии ПЛОЩАДИ. 

т. е. искомое соотношение, так как треугольник ОВС — отрицателен.
5°. Точка О лежит внутри угла, вертикального одному из
углов треугольника ABC, например углу А (черт. 246). При этом
точка А лежит внутри треугольника ОВС, и мы имеем (3°):
ОВС~АВС-\-ОАВ-\-ОАС, или ОВС — ОАВ — О АС — ABC;
это и есть искомое соотношение, так как треугольник ОВС положителен,
а два других — отрицательны.

316. Пусть теперь ABCDE— произвольный многоугольник (черт.
247), и О — какая-либо точка в плоскости этого многоугольника. Соединяя
эту точку со всеми вершинами, мы опять получим ряд треугольников,
имеющих общей вершиной точку О, а основаниями — стороны
данного многоугольника; каждый из этих треугольников мы будем
считать положительным или отрицательным,
смотря по тому, лежит ли он с данным
многоугольником*) по одну сторону или по
разные стороны от их общего основания.
Теорема. Пусть даны? многоугольник,
разложенный каким-либо способом
на п треугольников, и какая-либо точка
О в его плоскости, которую мы соединим
со всеми вершинами многоугольника.
Разность S между суммой площадей
положительных треугольников с
лертинрй в точке О и суммой площадей
отрицательных треугольников с той Черт. 247.
же жршиной (или первая из этих сумм,
если отрицательных треугольников не будет) равняется сумме Ъ
площадей п треугольников, на которые, разложен многоугольник. *
Если теорема верна для двух смежных многоугольников Р и Р\
разложенных на треугольники, то она верна и для их суммы Р». Дей-
*) Говоря о расположении многоугольника относительно одной из его
сторон, мы подразумеваем при этом ту область, которая непосредственно
примыкает к этой стороне* Например, треугольник ОАВ (черт. 247) будет
положительным, так как он лежит по ту же сторону от АВ, что и заштрихованная
часть многоугольник

280 О понятии ПЛОЩАДИ. 

ствительно, в контурах*многоугольников Р и Рг следует различать две
части: стороны или отрезки сторон *), не являющиеся общими, которые
вместе с соответствующими им положительными или отрицательными
треугольниками входят в состав многоугольника Р», и стороны или
отрезки сторон, общие обоим многоугольникам. Этим сторонам или
отрезкам сторон соответствуют треугольники, которые будут положительными
для одного из двух многоугольников Р и Р и отрицательными
для другого (потому что многоугольники Р, Р расположены по
обе стороны от их общей стороны) и которые, следовательно, взаимно
уничтожатся, если составить сумму величин S, соответствующих двум
многоугольникам. Следовательно, эта сумма будет действительно
равна величине 5 для многоугольника Р». Так как, с другой стороны,
величина Е для Р» будет, очевидно, равна сумме аналогичных
величин для многоугольников Р и Р, то равенство этих двух величин
будет действительно иметь место для третьего многоугольника
Р», еслй оно имеет место для двух первых. ‘
Теперь доказательство можно считать законченным, так как, с одной
стороны, теорема доказана для п = 1 (она совпадает в этом случае
с предыдущей теоремой), а с другой, если она верна для одного
значения п, то она верна и для следующего (так как многоугольник,
составленный из п-\-\ треугольников, представляет собой сумму
одного треугольника и многоугольника,, составленного из п треугольников).
Следствия: Величина S не зависит от выбора точки О, так
как величина £ от этого выбора не зависит.
Точноч так же величина £ не зависит от способа разложения
многоугольника на треугольники.
317. Назовём площадью многоугольника общее значение двух
величин 5 и Е.
Два равных многоугольника имеют одну и ту же площадь,
так как их можно разложить на попарно равные треугольники; с другой
стороны* предыдущее доказательство показывает, что если два
многоугольника смежны между собой, то площадь составленного
из них многоугольника равна сумме площадей обеих частей.
Короче говоря, определённые таким образом площади обладают
свойствами I и II.
318. Отсюда следует, что многоугольник невозможно разложить
на такие части, которые, будучи расположены иначе (но так,
чтобы они были смежными друг с другом), образовывали бы многоугольник,
лежащий внутрр, первого многоугольника, так как
*) Может оказаться необходимым разделить какую-либо сторону многоугольника
Р на отрезки (из которых одни будут общими с периметром
многоугольника .-Ри другие нет) и заменить треугольник* имеющий О своей
вершиной и данную сторону основанием, несколькими треугольниками,
имеющими эти отрезки своими основаниями. Величина S при этом не иаме-
нится, так как (предыдущая Чеорема) эти треугольники имеют своей суммой
исходный треугольник. Точно так же поступим и с F и Р\

281 О понятии ПЛОЩАДИ. 

второй многоугольник должен иметь необходимо ту же площадь, что
и первый.
Это предложение оставалось вовсе не доказанным в теории,
данной в тексте книги, так как там существование площадей представляло
собой постулат.
319. До сих пор мы ничего не говорили о выборе числа к. Очевидно,
что изменение этого числа сводится к замене всех площадей
пропорциональными им площадями. Мы уже указывали (п. 244), что
эта замена не нарушает обоих основных свойств площади.
Мы определим теперь k так, чтобы квадрат, построенный на единице
длины, имел площадь, равную единице. Этот квадрат состоит из
двух треугольников, каждый из которых имеет как основанием, так
и высотой единицу длины. Следовательно, его площадь равна 2k,так
что мы выберем k=^~; всякий треугольник будет при этом иметь
своей площадью половину произведения основания на высоту. Определённые
этим путём площади совпадают при таком выборе k с теми,
которые мы рассматривали в четвёртой книге *)*

283 О понятии ПЛОЩАДИ.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии