Home » Геометрия в школе » ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. §5. Взаимосвязи школьных математических дисциплин. Предмет Геометрия.

ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. §5. Взаимосвязи школьных математических дисциплин. Предмет Геометрия.

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

B. А. Гусев , C. С. Варданян

Методика преподавания геометрии  §5. Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
.
Предмет Геометрия.

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. B. А. Гусев , C. С. Варданян.  Основные этапы обучения геометрии в средней школе (стр. 8-40)

§5. Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
Предмет Геометрия.

Остановимся на взаимосвязях школьной геометрии с другими
разделами школьной математики. Последнее время много говорят
об интеграции в обучении математике, т. е. о том, чтобы различные
разделы были объединены настолько, насколько это возможно,
что была бы ликвидирована точка зрения о геометрии, алгебре и
других разделах математики как о совершенно различных разделах
школьной математики. Предмет «Геометрия» является одним
из связующих звеньев в объединении на первый взгляд разных разделов
математики.
В ходе перехода школ на новое содержание математического
образования происходили довольно серьезные изменения. Так,
например, не стало в школьной математике предмета «Тригонометрия
», а тригонометрический материал распределился между курсами
геометрии 8 класса и алгеброй и началами анализа 9—10
классов. Очень тесными стали связи курсов геометрии и алгебры
в 6—-8 классах. Так, понятие отображения (функции)‘формируется
на уроках алгебры, а затем широко используется в геометрии. При
этом в курсе геометрии происходит дальнейшее формирование
и развитие этого понятия (обратимые отображения, обратные
отображения, отображения на себя, тождественное отображение).
На уроках алгебры широко стали применяться геометрические
примеры для формирования указанных понятий.
Аналогичная работа проводится и при рассмотрении свойств
отношений, в частности отношений эквивалентности. Так, в учебнике
алгебры первый пример отношений эквивалентности — это
отношение конгруэнтности треугольников.
Существенным для изучения обеих дисциплин является проникновение
алгебраических методов в геометрию и наоборот. Несомненно,
учителю важно овладеть такими методами, а также быть в
курсе различных вопросов взаимопроникновения наук.

24 Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
Предмет Геометрия.

Геометрические и алгебраические методы часто
рассматриваются неразрывно друг от друга.
Даже простое использование обозначений углов,
площадей, дуг буквами в геометрии часто
превращает геометрическое доказательство в
выполнение соответствующих алгебраических
операций.

Предмет Геометрия.

Предмет Геометрия.

Например, на рисунке 1, где ЛВС —ADB=
= 90° и \АВ\ — \АР\, нужно доказать, что
[ВР] делит пополам Z-CBD.
Введя обозначения для всех рассматриваемых
углов, мы получаем следующие равенства:
g + 2 = s,
Р + У = s,
х + г —90°,
v + у =90°.
Выполняя преобразования, получаем, что
у = z и р = g.

Предмет Геометрия.

Предмет Геометрия.

На рисунке 2, где | ЛВ|=| ЛС[, \ АР\=\/>Q|=
= | Q/? | == |В7?| = | ВС I, необходимо избежать
разнообразия обозначений величин углов, которые
должны быть обозначены через х, 2х, Зх,
4х, чтобы составить уравнение 9х — 180°, отсюда
х = 20°. Таким образом находим величину
угла при вершине треугольника.
Алгебраический подход часто делает возможным
намного облегчить решение определенных
задач. Так, например, в примере, проиллюстрированном
на рисунке 3, следует доказать,
что
4 I PQf2 = | АВ I2 + | BD |2 + | CD I2 +
+ \AC\*-\AD\* — \BC\\

25 Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
Предмет Геометрия.

сторон четырехугольника. Решение наиболее рационально получается,
если мы введем обозначения: |ВС| = 2а, \АС\ = 2Ь, \АВ\ =
*= 2с. \AD\ «я 2р, | BD| == 2q, \CD\ = 2г.
Площади также могут быть обозначены буквами, и, следовательно,
задачи могут быть превращены в алгебраические. Докажите,
если параллелограммы OBYP и OAZQ имеют равные площади,
то (РА) параллельна (ZY) (рис. 4).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначив площади соответствующих
Треугольников через а, х, у, условие задачи можно записать так:
2а + 2у =5 2а + 2х, откуда х — у, а значит, а + х — а + у,
что означает, что Sapaz = Sapbg, откуда (РА) || (ZY).
Геометрические задачи, которые сводятся к решению уравнений,
можно проиллюстрировать такими задачами.
На рисунке 5 требуется найти радиус большей окружности.
Решение этой задачи легко сводится к решению уравнения
(г + 2)2 = (г — 2)2 + (8 — г)2.
На рисунке 6 требуется найти длину отрезка хорды. Она находится
из уравнения х (х + 4) = 81.
Ясно, что при решении таких задач мы пользуемся фундаментальными
фактами геометрии — теоремой Пифагора, теоремой о
сумме углов треугольника и т. д. Однако техническая часть решения
выполняется с использованием алгебраического аппарата.
Сущность слияния областей математики может быть показана
и в следующих примерах.
З а д а ч а . В игре «Зарница» участвовало 72% всех школьников
города. Из числа участников 60% были мальчики, а остальные,
на которых приходилось 9000 человек, — девочки. Сколько школьников
не участвовало в игре? >
Данные задачи можно занести в таблицу:

Предмет Геометрия

Предмет Геометрия

26 Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
Предмет Геометрия.

Обычный путь решения — найти количество участвовавших
^9000 • из чего количество неучаствующих может быть вы*
28 ведено путем умножения на —.
Количество неучаствовавших: 9000 • — • 1—00 2=8 8750.
40 72
Геометрия может сыграть очень важную роль здесь, объясняя
метод пропорции таким образом (рис. 7,а): точка D делит [ВС\
в отношении 72 : 28; точка Е делит [AD] в отношении 60 : 40. Площадь
ABED — 9000 см2. Найти площадь AADC. Площадь каждого
треугольника на диаграмме представляет группу учащихся (в масштабе:
1 см2 представляет 1 учащегося):
Sabe — представляет число мальчиков,
Sbed — представляет число девочек,
Sadc — представляет число не участвовавших в игре учащихся.
Эту ситуацию геометрически можно представить с помощью
прямоугольников или параллелограммов (см. рис. 7, б). Этот
квадрат получен из треугольника на рис. 7, а, где каждый треугольник
BAD и ADC достроен до прямоугольника.
Несомненно, что самым важным в отношении взаимосвязи между
геометрией и алгеброй является то, что посредством алгебраической
функциональной зависимости можно получить функцию
Y — f{x) или F (х,у) = 0, исследование которой -приводит к искомому
результату.
Доказано, что каждый геометрический результат имеет алгебраический
эквивалент. Это одна из самых мощных и удивительных
математических способностей «проникновения», самое важное в
развитии математических наук.
Например, такая задача: «Отрезок данной длины перемещается
так, что концы его скользят по сторонам прямого угла. При каком
положении этого отрезка площадь отсекаемого треугольника будет
наибольшей?»
Обозначив катеты образовавшегося прямоугольного треугольника
через х и у, сводим задачу к нахождению наибольшего значения
функции:
Цх.у) = ^
Аналогично можно решать
и такую задачу: «Какую
наибольшую прямоугольную
площадь можно
ограничить проволокой, имеющей
длину 200 м?»
Обозначив стороны прямоугольника
через х и у,

Предмет Геометрия

Предмет Геометрия

27 Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
Предмет Геометрия.

Предмет Геометрия

Предмет Геометрия

сводим задачу к нахождению максимума
функции /(х, у)—х, у=(100—х). Интересно
знать то, что, введя параметр t, такой,
что х = 50 i, а у = 50 — х, получим
ху = 2500 — f -< 2500. Равенство
имеет место, если х = у == 50.
Пример того, когда геометрическая
иллюстрация дает сразу решение, изображен
на рисунке 8; х+ у — постоянная
величина. Известно, что
|PQ|2 = \РА\ • |РВ\.Спрашивается,при каких х и у |Р<2|2имеем
х • у = \РА | • \РВ\ = |*PQ|2, но это произведение максимально,
когда jPQ|— ось симметрии, т. е. х = у.
Мы ограничились рассмотрением связи геометрических и алгебраических
методов, однако здесь применимы и методы математического
анализа, и тригонометрические идеи. Такие задачи являются
примерами «изопериметрической задачи», которая, вообще
говоря, доказывает, что из всех фигур с’ данным периметром круг
имеет наибольшую площадь.
Родство между вышеописанной задачей и задачей нахождения
минимального периметра прямоугольника данной площади очевидно,
и кажется, что оптимальная форма должна быть квадратом.
Геометрически (рис. 9) ху — \ОА\ |ОВ| = const и х + у— наименьшая,
т. е. хорда АВ имеет минимальную длину, когда она
занимает положение прямой (PQ), перпендикулярной прямой (ОС),
так что х = у, как и ожидалось.
Аналогично геометрические соображения позволяют получить
результат решения следующей задачи: «Прямоугольник имеет
данную диагональ, равную 10 см. Найдите его размеры для максимальной
площади».
Вписав прямоугольник в окружность и зафиксировав одну диагональ
(рис; 10), видим, что максимальная площадь прямоугольника
будет, когда точка В лежит на оси симметрии [АС 1. Алгебраически
мы имеем: (х — у)2 > 0, откуда х2 + у > 2ху. Но х2 + у2 =
=в 100, так что ху 50, равенство выполняется, когда х — у.

Предмет Геометрия

Предмет Геометрия

28 Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
Предмет Геометрия.

Тригонометрически ху — 10 cos (5 • 10 sin Р = 50 sin 2JJ < 50.
Максимум получаем при р = 45°. Ясно, что можно воспользоваться
и элементами математического анализа, однако геометрический
образ здесь является наиболее убедительным. Заметим, что все
эти три простые задачи на максимум и минимум являются вариантами
одного факта: > У a -f b, где а> 0, Ь > 0.

29 Взаимосвязи школьных математических
дисциплин
Предмет Геометрия.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

About

Статистика


Яндекс.Метрика