Свойства некоторых функций

Свойства некоторых функций: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 1: ФУНКЦИЯ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

И не забывайте поделиться этой статьёй в соц. сетях, если она Вам помогла. Возможно она нужна кому то ещё!

§ 1.9. Свойства некоторых функций

Функция f(x) называется четной, если выполняется
равенство
f ( — x ) = f(x)
для всех значений х из области ее определения.

Например, функция х2 четная, потому, что (— xY- — х‘
для всех х. Вообще любая функция вида хп, где п — четное
число, четная. Ведь для четного п выполняется равенство
( _ Х)п = хп,
каково бы ни было х.

График четной функции

y — f{x ) симметричен относительно
оси у, потому что при условии / (— x) — f {х) точки
графика (х, f(x)) и (— х, / (— *)) симметричны относительно
оси у. На рис. 4 изображены графики четных функций
у = х2 и у = х4.
Функция f(x ) называется нечетной, если выполняется
равенство
/ (— х) = — / (х)
для всех значений х из области ее определения.
Например, функция Xs нечетная, потому что (— л:)3 =
— —х3 для всех х. Вообще функция х.п при нечетном п
нечетные, а при четном п—четные.
График нечетной функции y — f(x ) симметричен относительно
начала координат, потому что при условии / (— х )~
= — f(x ) точки (х, f(x )) и (— х, / (— х)) симметричны относительно
начала координат. На рис. 3 изображены графики
нечетных функций у — х и у = х3.
Функция y — f(x ) называется возрастающей на промежутке
значений х, если большему значению х из этого
промежутка соответствует большее значение у.
Функция y—f { х) называется убывающей на промежутке,
если большему значению х из этого промежутка соответствует
меньшее значение у.
Следовательно, если точки хх и х 2 принадлежат промежутку
и хх < х2, то в случае возрастающей функции
/ ( * ,) < / (хг) и в случае убывающей функции / (хх) > / (х2).

На рис. 10 изображен график функции, возрастающей
на [a, b] и убывающей на \Ь, с].
Функция у = хп при нечетном п возрастает на всей
действительной оси (— оо, оо); при четном же п она возрастает
только на [0, оо) и убывает на (— оо, 0] (см.
рис. 3 и 4).
График функции |/(х)| совпадает с графиком f(x) там,
где / ( * ) > 0, и симметричен ему относительно оси л: там,
где f(x) < 0. На рис. 11 изображен график функции

На рис. 12 приведены графики функций х2— 2л:— 3 и
\х2— 2х— 3 1.
График функции f(x-\- а), где а — заданное число, получается
сдвигом графика f (х) влево на величину а. При
а < 0 на самом деле это есть сдвиг на величину | а | вправо.
На рис 13 изображен гоафик функции \х— 2|.
Зд; 2
На рис. 14 изображен график функции у = —
Так как
х + 2
У-
— 3 ( х + 2 ) + 4 . -3 + х-\-2 х + 2’
то график этой функции можно получить следующим образом.
В системе координат хОу задан пунктиром график

функции —4 . Сдвигая его (мысленно) влево на величину 2о,
4 получим график функции — . Опуская последний вниз
4
на величину 3, получим искомый график функции —3 + •

Функция f(x) называется периодической с периодом
Т (Т > 0), если выполняется равенство
f ( x + T ) = f(x )
для всех х. Чтобы изобразить график этой функции, надо
нарисовать его для отрезка [0, Т), а затем продолжить
его периодически на всю действительную ось (рис. 15).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
(см. п. 1.2)
1 ) а ^ х < Ь ; 2 ) а < С х ^ Ь ; 3) — оо
4) а ^ х < оо,
2. Что называется функцией?
22 гл. i. ф у н к ц и я
3. Функция у ~ f (х) задана таблицей
X —3 —2 — 1 0 1 2 3
У 9 4 1 0 1 4 9
Задайте эту функцию графиком. Его точки соедините
плавной кривой.
4. Даны функции / (х) = -^ и ср (х) = х2 + Зх. Задайте
формулой функцию
1) /(ф(х)); 2) ф (/(х)); 3) /(ф (/(х ))).
5. Докажите, что функция
а) у — —4х2-|-5 является четной,
б) у — 7х3— Зх является нечетной.
6. Функции /(х ) и ф(х) четные. Докажите, что функции
1) / ( * ) + < р(*); 2) /(х )-ф (х ); 3) / (ф (х))
являются четными. Нужна ли четность /?
7. Функции /(х ) и ф(х) нечетные. Какими (четными
или нечетными) являются функции
!) f(x) + <р(х); 2) /(х )-ф (х ); 3) / (ф(х))?
Нужна ли нечетность /?

8. Какие из функций
1) у — 5х1 — 4х2+ 2 ; 2) у = 5х3 + Зх^ + х\ 3) у = х2-\~х3
являются нечетными?
9. Какая функция называется а) возрастающей, б) убывающей
на данном числовом промежутке?
10. Докажите, что функция у — хг является
а) возрастающей на [0, + оо),
б) убывающей на (— оо, 0].
Является ли функция у = хп возрастающей на всей своей
области определения?
k 11. Докажите, что функция У = — является
а) возрастающей при k < 0,
б) убывающей при k > 0 на каждом из промежутков
(— оо, 0) и (0, + оо).

12. Постройте графики функций

I) у = х— 4; 2) у = \х— 4|; 3) у — |х — 4[ — 2;
4) г/ = ||х— 4| — 2 1; 5) у = (х— 1)г; 6) у = {\х\ — I)2;
7) у = (|х| — 1)*— 1; 8) у — \{\х\ — I)2— 1 |;
9) у = х2— 6 х + 5 ; 10) у — х2 — 6|х| + 5;
II) у = \х2 — 6х-)-5|; 12) у — |х2— 6|х| + 5|;

13) У = — 3 = L 2 T = 6 — = — 2 ^ — = 2
14) у — = 15) у — \х— 2| + | х + 2 | ;
16) у = = КУ хх;; 1177)) у*/ == Г х + 4 ; 18) г/ = К — х
13. Найдите область определения функции:
3 . m .. Ю . оч .. ]/Г х 2 _ 5 х .
4.
1) У х — 2 ’ 2) У — У х + з ‘ 3) У-
4) г/ = К 0 ,5 х2— 2 ,5 х + 3 ;
5) у— У х 2 — 7 х + 12 + У- ■ —j— 8х
14. Постройте график функции
1) У = ~ > 2) » = -N ” 21
4) г/ = | х |—х;
15.
х — 2 ’ 3)’ Уу — х + З ‘
5) у = х— |х|; 6) г/ = х + 2 — | х + 2 | .
15. Функция г/ = /(х ) задана своим графиком на отрезке
[—4, 2] (рис. 16). Постройте график функции
1) y = — f ( x ) ; 2) y = \f(x) |; 3) y = f(\x\y,
4) y = f{x) — \f{x) |; 5) у =\f(x)\ — / (x); 6) у = Ш | i ;
l 8) y = f ( — x)-, 9) y = 2 f ( x ) .

НИКОЛЬСКИМ Сергей Михайлович
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Заведующий редакцией А. П. Б а е в а
Редактор М. М. Г орячая
Художественный редактор Л . Н. Романенкова
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректор И. Я. Кришталь
ИБ № 32830
Сдано в набор 15.09.88. Подписано к печати 11.04.89. Формат 84X108 ‘/зг-
Б умага офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Уел. печ.
л. 11,76. Уел. кр.-отт. 11,97. Уч.-изд. л. 11,1. Тираж 180 000 экз. Заказ
№ 9—258. Цена 35 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект. 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография»
Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054, Москва, Валовая, 28
Отпечатано на полиграфкомбинате ЦК ЛКСМ Украины «Молодь» ордена
Трудового Красного Знамени издательско-полиграфического объединения
ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия» : 252119, Киев-119, ул. Пархоменко,
38—44.

Школьная математика
Математика в школе

#функция #математика #анализ #математический_анализ

Свойства некоторых функций