§ 1. Системы двух уравнений первой и второй степени
с двумя неизвестными
ЧАСТЬ II. ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Общий вид многочлена второй степени от двух переменных у и лг,
очевидно, следующий:
а х 1 + bxy 4* су2 -J- d x + еу /,
где о, by Су dy ву / —данные числа. Общий вид системы уравнений
с двумя неизвестными, состоящей из одного уравнения первой степени
и одного уравнения второй степени, следующий:
| а х 2 -j- Ьху су* 4 — d x 4 — еу -4 /= = О,
I тх 4 — пу 4* Р — 0.
Система такого вида легко решается способом подстановки.
Именно, из второго уравнения можно выразить одно из неизвестных
через другое и затем подставить в первое уравнение. В результате
этого первое уравнение превратится в уравнение с одним неизвестным,
вообще говоря, квадратное. Решив это уравнение, мы сможем определить
затем и значения нового неизвестного.
При этом способе решения систем проверка полученных решений
посредством подстановки в уравнение системы не обязательна и
производится только для контроля правильности вычислений, ибо
можно доказать, что при исключении одного неизвестного указанным
способом лишних решений возникнуть не может.
Пример. Решить систему
i х * — \- 4 х у—у 2 — 3jc4-j/ — 4 = 0,
I 2у — 3* = 1.
Решение. Исключим из системы неизвестное у. С этой целью
решим второе уравнение относительно у . Получим у = . Затем
подставим найденное выражение для у в первое уравнение. Получим
^ + 4 ^ i ^ — l L i ^ — 3 x + i ± ^ — 4 = o,
323 Системы двух уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Оформление кабинета математики стенды своими руками.
откуда после преобразований
19л;2. • 4лг— 15 = 0
и, следовательно, х х =
для у равны
1} лга = — _15
19 * Соответствующие значения
У г1
1 + 3 _ 1 — 45
19 J3
19 *
Ответ. Система имеет два решения
Хх — 1,
Ух = 2
лг2 = — 10
‘T9 ‘
13
Тот же прием исключения следует применять при решении систем
трех уравнений с тремя неизвестными, если два уравнения имеют
первую степень, третье квадратное. При этом из двух уравнений
первой степени нужно выразить два неизвестных через третье неизвестное,
и полученные выражения подставить в уравнение второй
степени.
Таким же образом можно поступать при решении систем п уравнений
с п неизвестными при любом п, если все уравнения, кроме
одного квадратного, имеют первую степень.
Пример. Решить систему
54,
х — 2\y-\ -z — — 1,
З х — бу -j- 2z = 2.
Решение. Перепишем два последних уравнения системы в виде
лг — 2у = — 1 — z,
З х — бу — 2 — 2 г.
Решая эту систему относительно лг и у по обычным правилам, получим
лг = 9 -f- z,
y = 5 + z,
Подставив эти выражения в первое уравнение, получим
(9-{-г)а + (5 + г)2 + г2 = 54,
откуда
— 14 + 2 Зг* -f- 28z + 52 = 0; |/Т0 Zt _= -— 14 — 2 УТР
324 Системы двух уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Оформление кабинета математики стенды своими руками.
Остается определить соответствующие значения для х и у, что делается
подстановкой значений z t и z2 в выражении х и у через z.
Мы получим два решения системы:
* ! _ 13 + 2з УТО
1+ 2 УТО
У\-
*1 =
14 + 2 V 10 .
Х г —
Уг’-
г г —
13 — 2 уТо
3 ’
1— 2 У!0
3 »
— 14 — 2 УТО
Упражнения
Решить системы уравнений:
I. / * s + * y + y = 19.
х + 2 у = 8.
х у —у* + х —у + 6 = О,
у — f 2х = 4.
325 Системы двух уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Оформление кабинета математики стенды своими руками.
Околоadmin
Comments