СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА КОНКУРСНЫХ ЭКЗАМЕНАХ

343. Пусть Л, В, С, D — четыре точки, лежащие на одной окружности
(следующие друг за другом в том порядке, как они перечислены);,возьмём
середины с, b, <?, d дуг ЛЯ, ВС, СД £>Л. Показать, что прямые аа ъ frd
перпендикулярны.
344. На сторонах ВС, СЛ, Л£ треугольника взяты три произвольные
точки Д Я, F и лроведены окружности AEF, Я/^Д Доказать:
1°. чтр эти три окружности проходят через одну точку О;
2°. что если соединить какую-нибудь точку Р плоскости треугольника
с его вершинами Л, В> С, то вторые точкй а, Ъ, с, в которых эти прямые
РЛ, PBt PC пересекают соответствующие окружности, лежат на одной
окружности, проходящей через точки О и Р.
345. Построим на каждой стороне вписанного четырёхугольника как на
хорде какую-нибудь окружность. Четыре новые точки, в которых каждая
из.построенных таким образом окружностей пересекает следующую за ней,
будут также вершинами вписанного четырёхугольника (доказать). ^ v ;
346. Пусть Л и А* — точки пересечения окружности^ с окружностью
S2; В и jВ* ~ точки пересечения окружности S2 с окружностью Ss; С Ш Сеточки
пересечения окружности с окружностью S4; D и D* — точки пересечения
окружности Si с окружностью S%; условие, при котором четырёхугольник
ABCD (а, следовательно, в силу предыдущего и четырёхугольник
A’B’C’D’) может быть вписан в окружность, заключается в. том, чтобы
сумма углов между S* и S2 и между Ss и S4 [при условии, что эти углы
берутся в надлежащем направлении2)] равнялась сумме углов между Ss
и S$ и между S4 и St (доказать). —
347. Если четыре окружности 5Ь S2, Ss, S4 таковы, .что, построив „пару»
общих касательных (т. е. две внешних или две энутренних общих касательных)
а и а’ к Si и SSf пару общих касательных р щ §* ж S* и пару
общих касательных y и 1* к S* и S4 и пару общих ^касательных Ъ н Ь*
к Si и Si и выбрав „надлежащим образом» по одной касательной:^ кай-,
дой пары, мы получим четыре прямые в, р, j и 8, касательные к одной
окружности, то и четыре прямые ot’, [3′, и 5′ будут касательными к одной
окружности.
^ Задачи 349, 350, 353, 354, 384, 386, 387, 393, 394, 400, 404, 413 заимствованы
из тем, предлагавшихся на „Concours general des lycees et colleges»;
задачи 365, 374, 397, 406, 409, 412, 421—из тем, предлагавшихся на
»Concours de l’Agregation des sciences mathematiques». Впрочем, мы не считали
необходимым воспроизводить в точности предлагавшиеся там формулировки;
в частности, мы должны были внести в них некоторые изменения,
чтобы привести их в согласие с упражнениями, предложенными в тексте
настоящей книги.
2) Следует стремиться, рассматривая направленные углы и используя
в случае надобности указания, имеющиеся в курсах тригонометрии, к
получению доказательств, пригодных при любом расположении элементов
фигуры,

291 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

1 Выбрав , т каждой из четырёх окружностей определённое шправлеше
и рассматривая ю^резкя общи^ касательных как имеющие знак* выяснить,
как именно следует выбирать четыре касательные а , f , j я 8,-чтобы это
предложение имело место. . . — t . .
— . Это будет ^иметь место при условии; что с у м м а д л й н д в у х из общих
касательных ^считая от одной точки касания до другой) равняется суммф
длин двух других общих касательных. * -•
^ Около каждого треугольника, образованного тремя яееледователь-
:’Чфйда/* сторонами (иди их продолжениям^ произвольного пятиугольника,
-описана окружность. Доказать, что пять точек (отличных от вершин пятйг
.^штншш), в каждой из которых одна из окружностей пересекает следующую
за ней, лежат на одной окружности {задача 105); — — >
Д?;Г^49. Даны два равных треугольника ЛВС и а&с: Найти геометрически
место точек О таких, что если повернуть треугольник ЛВС. около т&чкй О
тай, ^йбы сторона АВ заняла положение а*Ъ\ параллельное ас, то. ново#
положение #’ вервдины М будет, находиться на прямой 0С; Н&рт$: также
К^вдях геометрические места, описываемые точками
j Пусть ГА\ В*,’&— точки, симметричные с точкой пересечениявысот
4#£,.ащсздгельно хр^х его :сторон ЛС? GAf АВ>\Щйъь да-
-*. которых ripgM§#i П5!-С.; пересекает, соответрвещю
-:АС точки, ? щт^ых.-щдмт СЫг ВА
и ВС; Р и 5—точки, в которых прямая А1 В1 пересекает СВ и С Л.»Пока*
зать, что прямые MQ, NR* PS пересекаются вводной точке <ата точка будет
19^н^й переселения высот треугольника 45С). . . ■* « * —
Т В п и с а т ь в данную окружность.трапецию, зная её. высоту и^сумму
утц разность оснований, ,
. 352. Пусть АВ — диаметр некоторой окружности, CMD^r другая окружность
с центром в точке Л, пересекающая цервую окружность в точках
С и D; точка , М — произвольная точка второй окружности; Nv Р} Q
иотйеи,в которых прямые ВМ, CM, DM пересекают соответственно^ дерную
‘Щфещость, _>.ч. , .. • , /
1* Доказать, что MPBQ — параллелограмм,
-2V Доказать, что ММ — среднее цро^дециоцальное <#енсду ЫС: и ND.
Опишем из
;^щ|вЯН1ёй—да» Щ|^^, ^руадАСТЬ,с переменньш радиусом, к которой
проведём соответствен#, из, точек 4 и В две касательные, не пересекаю-
щиеся на высоте треугольника.
1 , IV Найти геометрическое место точек М пересечения этих, двух
прямых.
/;Л 2е. Показать, что произведение МА*МВ равно разности квадратов
отрезков ОМ и О А.
. 7 ЗР. Найти геометрическое место точек /—концов отрезков, равных МЛ,
отложенных на щ\шр$МВ от точки М»
гна основании ВС какого-либо треугольника ABC произ-
воти опишем около, треугольников ABD и ACD две окруж?
щу&М1^$р$ми этих окружностей пусть будут О и 0\
1°, Шказать, что отношение радиусов этих окружностей есть величина
^ш^тоявная,
^ 2 ° . Найти положение точки Д для которого эт№ радиусы будут иметь
шяменьшую длину.
. •!. 3?. Показать, что треугольник АОО’ подобен, треугольнику ABC.
; 4° Найти геометрическое место точек М, делящих отрезок 00’ в дан-
..«Ж:-отношении; исследовать случай, когда соответствующая точка будет
^э|0ешшей вершины Л на прямую 00*. ’ ‘ .
Вокруг одной из точек пересечения двух окружностей вращается
постоянной величины, стороны которого пересекают окружности
СО^#етственно в точках М и М\ Найти геометрическое mqcio точек, де

292 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

вершин s треугольников, построенных на ММ’ как на основании и подобных
данному треугольнику. —
356. Если пять прямых Л, В, С, Д Е таковы, что на двух и& них,
например на А и В> три другие прямые отсекают пропорциональные отрезки,
то и на двух любых из них три другие прямые будут отсекать
пропорциональные отрезки (доказать).
(При доказательстве следует различать два случая, смотря по тому,
принадлежит ли к числу тех двух прямых, для которых доказывается теорема/
одна из двух первых прямых или нет.)
357. Пусть д, Ь9 с— стороны треугольника; ж, у, z — расстояния какой-
нибудь точки плоскости от его сторон. Доказать, что если эта точка лежит
на окружности, описанной около треугольника, то одно из отношений
‘ l c l ^у ’ ~z ^Удет Равно сУмме двух других. Рассмотреть обратную Теорему*
358. Пусть С — некоторая точка отрезка АВ; найти7 геометрическое
место точек пересечения переменной окружности, проходящей через точки
А и В,-.с прямой, соединяющей точку С с точкой пересечения касательных
к этой окружности в точках А и В.
359. Из переменной точки М, взятой йа продолжении определённого
диаметра окружности О, проведена касательная^ к этой окружности. Найти
геометрическое место таких точек Р на этих касательных, что РМ = МО
(п. 92).
360. Из точки М, лежащей в плоскости прямоугольника, опущены перпендикуляры
на его стороны, причём один из перпендикуляров пересекает
две противоположные стороны (или их продолжения) в точках Р и Q, а
второй пересекает две другие стороны (или их продолжения) в точках R и 5.
1°. Какова бы ни была точка М, точка пересечения // прямых PR иГ QS
лежит всегда на одной и той же прямой; точка пересечения Af прямых
PS и QR также, лежит всегда на одной и той же прямой, отличной от первой
(доказать).
2°. Биссектриса угла НМК параллельна одной из сторон прямоугольника
(доказать).
3°. Найти точку М, зная точки Н и /С
4°. Последняя задача имеет два решения. Показать, что окружность,
имеющая своими диаметрально противоположными точками точки М и М’,
удовлетворяющие условиям задачи, пересекает ортогонально окружность,
описанную около прямоугольника. ‘
5°. Найти геометрическое место таких точек М, чтобы прямая PR была
перпендикулярна к QS.
361. Если в треугольнике ABC через вершины В и С провести две
прямые ВВ’ и СС’, пересекающие треугольник так, чтобы отрезки этих
прямых, считая от точек Л и С соответственно до точек пересечения В1 и
С’ с о сторонами АС и АВ, были равны между собою, то два угла — LCBB’
и LB’BA, на которые прямая В В’ делит угол В, не могут быть оба больше
или оба меньше аналогичных углов ВСО и ССА, на которые прямая
СС’ делит угол С (т. е. что не может быть одновременно: Z.CBB1 >
> LBCC’; LB’BA > LC’CA) (доказать).
(Дополнить треугольник ВВ1С до параллелограмма ВВ’СР\ принимая
В и С за его противоположные вершины, и, соединив точки С’ и Fy сравнить
углы при точках С’ и F.)
Треугольник, имеющий две равные биссектрисы,—равнобедренный
(доказать). , . . • ,
361а. Во всяком треугольнике большей стороне соответствует меньшая
биссектриса (доказать).
(С помощью формулы п. 129 найти разность квадратов двух биссектрис
и выделить в полученном выражении множитель, равный разности соответствующих
сторон).

293 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

. В ы в е с т и отсюда, что -точка, >0′, найденная а предыдущей .задаче^обла-
дает тем свойством, что-; сумм^квадрадовг ^ фасэстшший’оттщхгсщърщ
‘140),., , г, ,
.. ;Брл$£ опадая.,зздача: г.вш?сать< в данщ$|| *треу*ряь^щ -другой (Ер&^г&ль?
щк^тщ^лтобыг-рурАмь квадратов ^зго ,sCTQpoif, умноженных соответствен
W .яаыщщ*:Чцоць сьда.наед£н£ще%? .. * ?( v-* • . ■ — — — . ***
367. Вписать в данную окружность такой треугольник, г дарбЫч румма
квадр^тданвгр, c^pppfli заноженных неответственно на щанные? числа,; была
над^ЬДОЙм.,’, /, lt ; * м—, , ;и ••„*•.:
; 4 ^8, Для тргр,;.чтобы задача, „поставленная ,в. унраденен№Д27г(на||2Ж
точ&у,. расстояния которой..от трёх- вершин треугольника^ ЛВС бвд^г бы
пропорциональны трём данным чйодадо щ щ .р)^,т$№ решение, необходимо
Ц;„дост$г&яно, ,*чтрф^мржно было;, построить хр^угольнщс, лдищл^стррон
которого,были %.,соответственно равны m:BQy п* GA^p- АВ. * *v :wr-,
369. Пусть через вершины Л, С треугольника проведеда яр! ippf?
мы$ ?тдан j образом*. чта отрезки Aik.BE> CF эти£ прямых оi верда» до
противоположных стброн равны между собою. Если провезти .чфрдог/добуя)
т^чку^ Q ; внутри*; треугольника ;доямще, даралл^льные* этим прямом,; до пе-
расэче^няг^^сортэ^ктву^щиии сторонами, то* сумма отрезков,: подученных
тддаи < o6p^„3oV* из этих прямых, считая от трчктО, .будет постоянной,
бы,ни была,расположена,эта точка. , . : 370. Если три прямые проходят через одну трчцу, т£ суде^т-
эу*от гТШ*е< два числа, чтр расстояние любой трчки плоскости 6т: сдерй из
пря&ызс «одДет рабно сумме или разнрети рарстояци# той ясё4 тдчки ,рт1 дэу*
других прямых, умноженных на эти ^нсла Сдс^казат!?^ Сформулвдээзть рег
3)rj|b^.^aKf чтобы он‘>эверщещ|р не Я* *ИР-ХС’*?Р“
мощф гс<^тветстдующег6 ус^Р9’ия !тъфЩк» а-v ^ «од.*?*
«Обратно, суйма; илиразность f ас^тряний .^^брй^тр^]^,j$fцфс0щщ
прямцж* у(МЭОке9ных. соотэе^ятвёзанР на/дайвь^/ад^*#
пррпррдиЬЙальн^ расстоянию точки М. , от некоторой, прямой, проходящей
чере^точку пё^сеченйй ^х деряад прямыхДдоказатЦ/; (1 , ; ,* ,37% Шйтй геометрическое место таких точек,, ц%о сумма йх расс^оянщ
о in данных прямых, взятых с надлежащими знакамй и умноженцщ, яз
^акие-ли$9? данные чиелз, будет постоянна; другими словами, найти ree^ief-
рдд^скре We^Td ;тадк ‘трчек’^чтоДы адоебраичеекзя сумма площадей тре-
урЬль^^Ь^^&ющйхт верщ^дами *какдую: из них и основаниями «.данные
t ,jp%., ;^оз#р^№?4’Ц
&ящ >т,Ш>щт .тч&уя’&.у?яй.рна щ$:рт$щ цря-,т-
цтутт знаяен^,),- „;. / ; .;л)1)„и.. :„■
. . , . вывести,, отсюда, чтр середчдь! .тр^ ди^рчзде^ида}1Ц9го,,д§хырехдр-
ронника лежат на одной прямой. ;f , ..-ч mr \ mtt/ i| 4; / ^ n ‘
Ш Три;. окружности, имеющие своими; диаметрами ди|1г4н^й л^
topoHHHiia, име!рт рбщую радикальную ось. Эта фщкайътщ ось
через то^ки йерёсёчения высот четырёх треугольников, образа-
ванных сторонами четы|)Щсторонник^, взятыми: по три (доказать^.
372. Противоположные стороны и диагонали любого четырёхугольника
образует -тр^ =?Д^их ;угла, что : Оь|РО^дш;т^ ртносиг.
тыьт щщщр ,йз,этих < углрв ц^рес^каются ^
{<п>ДО|К|обр#з<щат& взаимными ;нрдярамн» ,{|ри^им#я*. тонку; X) т .центр на^
правляющей окружности.) /’м* я.в^л^=. •
. i; Тен^е штт% тешют, нд;;любой щятЬщщ ш*т ошртт^ т$ отрезок,.
делеодШ^г^мрадчеош два; (если такой. р?резс»с существует),
делит гармонически и третий <д<щэзат^; :ч •.;?*:-.ц 5 < • r^.r,’ ^-vr::«=•<■чч
Три о.тр^зк^|Об^адэющ^е вщм, свой^хвр^ц.;НАЗываютс1Г находящимися
В инволюции. .:хн\; . . . й 1| ,
» ; ( 3?3. Прямая :Симсрца (уцр. 72), средннядаща^чрснбванид. дарцендшуля-
ррщ^щущенныУя ШпЗШ. стороны, яреугодьник^>\’№ smm. Р < описанной
окружшуги, делите да , равные части отрезок, соединяющий эту точку,
с точкой пересечения Н высот треугольника. (Для. доказательства показатц

294 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

найти тот, который имел бы наименьший периметр.
362а. Вписать в данный четырёхугольник ABCD четырёхугольник MNPQ
с наименьшим периметром. Показать, что задача не имеет решений в собственном
смысле этого слова (т. е. таких, чтобы получались настоящие
четырёхугольники) в том случае, если данный четырёхугольник нельзя
вписать в круг.
Но если ABCD будет вписанным четырёхугольником, то существует
бесчисленное множество четырёхугольников MNPQ с одинаковым периметром,
меньшим периметров всех других четырёхугольников, вписанных в
ABCD. Этот общий периметр будет четвёртым пропорциональным к радиусу
окружности ABCD и диагоналям АС и BD.
Каким условиям должен, кроме того, удовлетворять четырёхугольник
ABCD для того, чтобы найденные таким образом различные четырёхугольники
сами были вписанными?
Найти в этом случае геометрическое место центров описанных около
них окружностей.
363. Показать, что если точка, найденная в задаче 105, лежит внутри
треугольника, то она обладает тем свойством, что сумма её расстояний от
трёх вершин будет наименьшей (упр. 269). Вычислить эту сумму (её квадрат
равен полусумме квадратов трёх сторон, сложенной с произведением
площади треугольника на 2J/r3).
Что случится, если эта точка будет лежать вне треугольника? (Это
будет в том случае, если один из углов, например угол А, будет больше
120°. Теорема Птоломея даёт отношение суммы АВ + АС к отрезку Л/,
отсекаемому описанной окружностью на биссектрисе угла Л. Применяя^
теорему п. 237а к четырёхугольнику ВМС!, увидим, что сумма МА ^ MB-\-
-f-МС будет наименьшей, когда точка М совпадает с Л.)
364. Найти такую точку, чтобы сумма её расстояний от трёх вершин
данного треугольника ABC, ‘соответственно умноженных на три данных
положительных числа /, т, я, была наименьшей. Предполагается, что на
трёх отрезках, пропорциональных данным числам, можно построить треугольник.
(Пусть Т — такой треугольник: а, р, у — его углы. Построим приточке Л
два угла ВАС, САВ\ равные а; при точке В — два угла СВ A’, ABC’, равные
Р; при точке С—два угла АСВ\ ВС А’, равные Y, так, чтобы, все углы
были расположены вне треугольника ABC. Прямые АА\ ВВ\ СО пересекутся
в одной точке, которая и будет искомой точкой, если она лежит
внутри данного треугольника. В противном случае, а также в случае, если
данные числа не пропорциональны сторонам треугольника, минимум будет
иметь место в вершине треугольника ABC.
В первом случае, когда минимум имеет место не для вершины треугольника,
квадрат этого минимума может быть выражен через величину
V Р(Ь* + С*~а*) + т*{С* + а*~Ь*) + П*{(1* + Ь* — С*)
и через произведение площадей треугольника ABC и треугольника Т.)
365. Разделим каждую сторону треугольника на части, пропорциональные
квадратам прилежащих сторон, и соединим точки деления с противоположными
вершинами. Доказать, что:
1°. полученные таким образом прямые пересекаются в одной точке 0’\
2° эта точка совпадёт с точкой, которая получается в задаче 197, если
принять за точку О центр тяжести треугольника;
3?. эта точка будет центром тяжести треугольника PQR, образованного
её проекциями на стороны данного треугольника.
366.-Вписать в данный треугольник другой треугольник так, чтобы
сумма квадратов его сторон была наименьшей, (Допустить, что минимум
существует, и показать, что он будет иметь место только в случае треугольника
PQR предыдущей задачи.)

295 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

используя упражнение 70, что точки* снмметришые с «тотойг ^ьотносительно
трёх сторон* лежат * на одной п йршой, .ароходтц^й -^ерез точкцг Щ
Вывести№ 9ПГОЙ теорем** к из резуяьтщщ полученного* в задаче5106,
чтоточки пересечения высот четырёх треугольников.образованных » че-
ТЬ^ЙЯ пряшшй,-83ЯТЫМЙ ЙФ т^й, лежат «а йодной пря«шй. . ^ ^ и , .
^а374. ТачК^гпересечения-М двух прямых Симеона Относительно треугольна^
&Вй\писанного в данную окружность ^соответствушцйх двум
этой окружности, описывает’ окружность если я&ш&С
-? окружность 5 (а точки А , В , Р, Р —неподвижны)^ (доказать).
‘ ^^Найти’; геометрическое вместо центров окружносгей?5Гу еши точки А
% В остаются неподвижными, а точки jPs и Р* перемещаются *п<зр окружу
оставаясь на постоянном расстоянии одна от яругой] Н; * »*■
Ibim также геометрическое место, описываемое точкой М,*«сли; (йрет
неподвижных точках А, В я С) точки Р к Р* переменится;’ оставаясь
дишетр&льно противоположными друг;другу.” • ^ *!
&35;гНайти геометрическое место середин сторон треугольников, вписанных
в данную окружность и имеющих одну и ту же точку5 переселения
высот. 1«и! — * “ , > . . f!I ‘•’*
М ЗЖ Окружвооть девяти тотек (задача 101) какого-нибудь тре угольника
йрв$(^з©вана ь с? шмащью- инверсии, имеющей полюс в Серове одной из
Щ^^г^^уготтш и сте«енв,ра$нук> степени полюса швереии относи*
^ш^й^?лй!йРсанно1й ^ (яфузшос’ш, • mm; что* еводйтся ю тему же (уп^. 90а)г*~
относительно вневписайной окружности, 5 соответствующе# < шбранвойГ стороне.
Показать, что прямая, в которую преобразуется окружяость девяти
точеку -будет общей > касательной’ к :двум последним окружностям (отличной
Т^^ШЬНйКа). / 1 — “..;i * :?:ч; *7 fu а !г .•»/>;’, (ч\;*<г4
г-Отсюда следует, что окружность девяти: точек касается* вписанной :и
вневписанных окружностей треугольника. v •*,.
. . ..377. -Между радиусами Д и г описанной и вписанной окружностей
треугольника и расстоянием d между их б|ентрамй; существует соотношение
.7t№£&£ ы >,-Г. ^ • •* *-♦ в ‘ л ‘ * • * , .1
Л: • г ъ г-<* … ; ‘ ..ч’<й=5Р/?в-^2/&U,,., м . • >’ •: .• ., .
ЖИЩЮ.Ж
в пщшр Щ тх,5ё^исл#нное множество* треугольников^ описанных около
v/’ * ‘ 7- т\; ,7L ‘,\Wv’ —
аналогичный результат, заменив вписанную, окруждость
вне^^шсанной. ‘ v ‘*7*7.
Й8..В0 всяком треугольнике ABC: ^ ^ 7,7,7 * , ‘
<711* прямая, соединяющая проекцию верщнны .Й на^ у г л а £
^ ^Оёкдней верзддащ* С\т рдасеедиЙ .угла* $\ ‘совпадет с’хордбй^ соё-
Ж $4- ^>а) .вписанноЙ^ окружив
ая проекцйю вёрМйны В Ш биссектрису’урд^’С С Щ ;бдссе^трису внешнего yrija при точке В/сов-
?8, и FV-Вневпйсанной окруж-
стЙ^лШшй* вйутр‘угла. ^ теми же^яццЩ; Г! -V* V ‘ . ‘’ ; 1 ъ*ч.Ф- ’ ^ е р д й д а ы Д на биссектрису точке;Си c , r f ,т§нке совпадай точЦи кьЬ&фя £i и H/fj
внёвпйсанной окружнЬстй, лё1кащей внутри ; угда Л,! с тейи же прямыми;
проекции точки Л Hg $иссектр^<^;.вн^т^ннего и внешнего углов
сУдсртидной в tome, В иу да ^ЬектрцЙй: йутр^ннйгЬ и внешнего, у£ло$
с вертйной в точке С лежат на ораи » прямой; ‘пар’йлелшой1 #б, .на рае-
fт4%ияХ. нос ледов ат е льно равных — Ь друг от др|га; ‘ ‘ Is
1—J •] > i . !~Г . ‘ ^ИЕ, * J * » — • > .if *J’ • , .1 J! ■>’ и’*{. ’ ‘ »;■
!) См. другое решение той же задачи в упражнении ‘Мк??

296 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

5°. проектируя вершины каждого из углов Л, В, С треугольника на
биссектрисы внешних углов, к ним не прилежащих, получим шесть
точек, лежащих на одной окружности (сводится к задаче 102); эта окружность
ортогональна к вневписанным окружностям данного треугольника;
её центр будет центром окружности, вписанной в треугольник А’В’С’,
имеющий своими вершинами середины сторон треугольника ABC; её радиус
равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами, равными полу-
периметру треугольника А’В’С’ и радиусу вписанной в него окружности;
существуют ещё три аналогичные окружности, каждая из которых проходит
через две проекции вершин на внешние биссектрисы и Через четыре
проекции вершин на, внутренние биссектрисы (доказать).
379. Соединим между собой точки касания каждой из вневписанйых
окружностей треугольника с продолжениями его сторон. Показать?» что
построенные прямые образуют треугольник, вершины которого л0кат на
соответствующих высотах первого треугольника, и что центр ©писанной
около второго треугольника окружности лежит в точке, пересечения высот
первого треугольника.
380. Пусть дана точка О, соответствующая самой себе (п. 150) в двух
подобных и имеющих одинаковое направление вращения фигурах F и F\
а также, треугольник Т, подобный треугольнику, образованному этой точкой
и двумя какими-нибудь их соответственными точками (п. 150); далее, пусть
даны точка О’, сама себе соответствующая в двух подобных и имеющих
одинаковое направление вращения фигурах Р и F’, а также треугольник Т\
подобный треугольнику, образованному точкой О’ и двумя какими-нибудь
соответственными точками этих двух фигур. Построить точку, соответствующую
самой себе в двух фигурах F и F, и треугольник, подобный треугольнику,
который образован этой точкой и двумя любыми соответственными
точками фигур F и F».
381.. Построить многоугольник, зная вершины треугольников, имеющих
своими основаниями стороны многоугольника и соответственно подобных
данным треугольникам (предыдущее упражнение позволяет свести задачу,
относящуюся к многоугольнику с определённым числом сторон, к задаче,
относящейся к многоугольнику, число сторон которого на единицу меньше
предыдущего; таким же образом можно поступать до тех пор, пока не
сведём задачу к определению двух вершин многоугольника).
В каких случаях задача будет невозможна или неопределённа?
382. Пусть дан треугольник ABC и четыре произвольные точки О,
а, Ь и с. Построим на ВС, как на основании, треугольник ВСА\ подобный
треугольнику ЪсО и имеющий с ним одинаковое направление вращения
(причём точки В и С соответствуют тачкам Ъ и с); точно так же — на СЛ,
как на основании, треугольник САВподобный саО, и на АВ, как на основании,
треугольник ABC’, подобный треугольнику аЬО. Доказать, что
треугольник А’В’О будеъ подобен треугольнику, имеющему вершинами,
точки, обратные точкам а, Ъ} с в инверсии с полюсом в точке О, причём
эти треугольники будут иметь противоположные направления вращения.
383. Опишем на двух данных отрезках две дуги окружности, вмещающие
каждая один и тот же угол К Показать, что если угол V изменяется,
то радикальная ось двух окружностей, построенных таким образом, будет
вращаться около некоторой определённой точки (положение этой, точки
определяется тем., что треугольники, которые мы получим, соединяя эту
точку с концами каждого отрезка, будут равновелики и имеют равные
углы при их общей вершине).
384. Дан четырёхугольник ABCD (ромбоид), у которого две прилежащие
стороны ЛД АВ равны между собою, так же как и другие две стороны
СВ и CD. Доказать, что стороны этого четырёхугольника касаются
двух окружностей. Найти геометрические места центров этих окружностей
при условии, что данный четырёхугольник — шарнирный и одна из сторон
остаётся неподвижной.

297 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

385. Дан шарнирный.. четырёхугольник ABCD, описанный около окружности,
причём его сторона АВ остаётся неподвижной; при этих условиях
он продолжает оставаться описанным (упр. 87). Найти геометрическое
место центров О вписанных окружностей. v
(Предполагая для определённости, что эта окружность лежит внутри
четырёхугольника, отложить на АВ отрезки AE = AD> BF = BC; тогда, принимая
во внимание упражнение 89, мы придём к упражнению 257.)
Показать, что отношение расстояний от точки О до двух противоположных
вершин А и С (или В и D) остаётся постоянным при деформации
четырёхугольника. ч
386. Пусть даны четыре точки Л, В, С, Д лежащие на одной окружности;
возьмём какую-нибудь точку Р в плоскости этой окружности и
построим окружности РАВу PCDy пересекающиеся во второй раз в точке Q.
Найти геометрическое место точки Q, если точка Р описывает прямую
или окружность. Найти также геометрическое место точки Р при условии,
что она совпадает с точкой Q.
387. Соединим вершины квадрата Л, By Су D с какой-нибудь точкой Р
его плоскости; полученные прямые пересекут окружность, описанную
около квадрата, в четырёх новых точках Л’, В\ 6′, D’. Доказать, что в
четырёхугольнике A’B’C’D’ произведения противоположных сторон будут
равны между собой:
А’В’ • CD’ = A’D’ • В’С’.
Обратно, пусть имеем вписанный четырёхугольник A’B’CD’t произведения
противоположных сторон которого равны между собою; найти такую
точку Ру что прямые РА\ РВ\ PC’, PD’ пересекают описанную окружность
в вершинах квадрата. (Этот вопрос является частным случаем упр. 270, 5°.
Одндко задача допускает здесь два решения, в то время как в общем случае
она имеет только одно. Выяснить причину этого различия.)
388. Найти такую инверсию, чтобы вершины данного вписанного четырёхугольника
A’B’C’D’ преобразовались в вершины прямоугольника
(обобщения-задачи 387). Показать, что полюсы инверсии будут предельными
точкам’и (упр. 152) описанной окружности и третьей диагонали четырёхсторонника,
полученного продолжением сторон четырёхугольника A’B’C’D
389. Преобразовать с помощью инверсии четыре данные точки в четыре
вершины параллелограмма (дальнейшее обобщение задач 387 и 388).
390. Даны две окружности и точка Л; найти такую инверсию, чтобы
точка^ соответственная точке Л, совпала с одним из центров подобия
окружностей, в которые преобразуются данные окружности. ^
391. Соединим переменную точку М данной окружности ~с двумя определёнными
точками Л и В; пусть Р и Q — вторые точки пересечения полученных
прямых с данной окружностью, R — вторая точка пересечения той
же окружности с прямой, параллельной АВ и проходящей через точку Р.
Показать, что прямая QR пересекает АВ в неподвижной точке.
Вывести отсюда способ вписать в данную окружность треугольник,
две стороны которого проходят через данные точки, а третья параллельна
данному направлению; или треугольник, все три стороны которого проходят
через данные точки (эти оба вопроса сводятся один к другому и к задаче
115). Решить аналогичную задачу для многоугольника с любым числом
сторон (другой способ был предложен в упр. 253а).
392. Описать около окружности треугольник, вершины которого лежат
на данных прямых.
393. Построим две переменные окружности, касательные к одной
прямой в двух её определённых точках Л и В и в то же время касательные
между собой. Эти две окружности имеют ещё одну общую касательную
А’В’. Доказать, что окружности, имеющие своими диаметрами отрезки
А’В’у касаются одной и той же окружности, и найти геометрическое место
середин отрезков А’В’.

298 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

Д#е . переменные /йк|^р1сноадг С mi\Ci касаются’ данной окр^кно-
сжт ••’.«, дву#.данных её дочках А > и i? и, крОметого, касаются друг др^га
*очке М.’ * *з.. ; . • ‘ •-% — • • V ‘ • • ’ ‘ 5
1°.: Найти геометрическое мес^о зтой-трчки. ^ ^ — ; ; \ : ^ ч ,
,-f ? ?f; * Н&йда геометрическое *- мосто вторых» центров подобия N окружностей.
& % r G 1 4 , \ * \ ‘ Л “ Ч** ;; v. ‘ г'< — т
3°. Каждой. ,$ткъ <N: предыдущего геометрического места соответбт^
щт1Д№лт$Ы:ощушо$%ей:С\п С*, С1 и СУ, удовлетворяющих указанным
уяцовтщ и,. следовательно, две точки*, прикосновения М й !1 (доказать}.
4V Найти’ геометрическое место центров окружностей,^ ошгсашш:
owgQj.TpexiWbmKOfr’NMM!.: ! ‘?
.. 5?\ Вайт» гесшетрическое Место центров окружностей, вписанных а
эт$ треугольники, j- . . • г / , . ‘
;г; ф?*;-Найти; геометрическое ; место\ точек пересечения их высотх» ^ п» л 1
^ ; =7® Доказать,’что всякая точка,: общая двум из* атих геометрй’ЧесШШ:
мест, будет принадлежать и третьему из них. : ■ * .! f
39& Пу£?ьтт две пересевающиеся окружности С и С*. Оййшем
оцружт&яь около.; треугольника^ образованного одноИ из их точек nepi^
сечеяия : ^ ^ 5о^ками прикосновения Р и Р одной из их обидах касательных.;’
Показать, .что угол, под* которым отрезок PF виден из центра этой
окружности, равен углу между окружностями С и С1 и что радиус этой
окружности есть среднее пропорциональное между радиусами данных
окружностей (откуда следует предложение, указанное в упр. 262, 3°).
; Др&азать, что -^^ ^А-Р е £■ть корень квадратный из.отношения тех же радиусов.
«‘ 396. Найтй необходимы^ и .’ до^тат^йые.. * усяо|%\,
уДотвдетворять;; четыре; окружности Л,; #, С, Д \кж&тот$М’$ы>
преоЙра^&тН Ч: пьмрщью инверсии ;?фнгхру/образованную перЫмц;|)ф**|
окружно^тям|ftв; фигуру, равйую той,’ которую образуют две последние
(или, употре^йяя1’ныражёййя; ^веденные в прибавлении Л, пп.289,294,
найти иЙа^ианты фигуры; образованной: двумя окружностями, относительно
груйпыг инверсий). Д . . 1,
J; f°: : Если * окружности А и В имеют общую точку,, то необходимо й
досШточ*10»^ Чтобы; угол между этими двумя окружностями был равен углу
между; окру&ностйми }С и Д, кщ что сводится к тому щ (предыдущая
з’йаяа^ Ч?о отношение ’ отрезка общей касательной к среднему .цропордар-
найном/^адиу’сов ймеет, одинаковую £ё$|чяйу в обоих случаях. »
, !^. Если ок^укШсти Л ъ J3 *нё ‘уа^Щ ,.сфМй*’ >о*#ц то,необходимо
й 1 достаточно, ‘Чторы «от^Йщён|»ё; ‘ ‘ • ^ р у ^ а о с г а й ‘ ,
в которые их можнопреобразбвЗть оДной ^. трй. ще^йнвдрс^е^ (упр^-248),
было равно отношению’ радиусов концентрических окруадо{;теЧг, f ^к^тд-
рыё можно ;Пр60бразовать окружности С й D также одной и той же инвер-
сйей [во6’бще говоря/отлнчной от первой); . ^
фоУьзу^йсъ ^ер^йнодогиёй,, введенной в Прибавлении Л, можно сказать;
необходимо й дрстата^йо;’чтоЙ^ фигуры (Л, В) я (С, Р), имели одну и ту
жё прйвёдённую .форму относйтел^но инверсии,). ‘ » » ‘ — *■- Wiiiii’rfLVliT млфот dLrt\пдааи ниэпд Г
т&ШФ ^ ^ > . …….
ймеёт лш^то^для
СЛОЖНОГО отношении да У А 414 ,3^ до^л дрсдсдьпыХ ТОЧ^К. Искомое
условие состоит в том; чтобы ^ ^о Члржнйе отношение имёлр одинаковое
значение ka£?iWM1 окружностей С * й Д так : и для окружностей»4 и В
(доказать). ‘ * . ’ Г- V, Г
‘ ‘^Наконец/ еслГ г; ы окрУжйоШЙ; А.. и «В, Д—расстояние
их центрами, то величина ^——t—— должна иметь то же числовое
значение, как и аналошчнаа величина,; вычисленная дяя окружностей С ъ й
(доказать). * * — — “■ ■ — ^ *К’

299 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

Можно ещё сказать, *ixo если две окружности А и В имеют общую
касательную (например, внешнюю) длины ty и то же имеет место для окруж^
«остей С и Д jo отношение должно иметь одно и то же значение в
Угг’
обоих- случаях. —
/ Пусть даны две точки Л, А’ и две прямые Д , параллельные
прямей АА! й находящиеся от нее на одинаковом расстоянии.
Доказать, что каждой точке Ру взятой на прямой Д соответствует
, точка, Р% лежащая на D1 и обладающая тем свойством, что прямая РР
будет общей касательной к окружностям РАА и Р’АА*.
2°. Доказать, что произведение расстояний от точек Л, Л’ до, прямой
РР есть величина постоянная,
3°. Найти геометрическое место проекций точки Л ца прямые РР.
4°. Найти такую точку Р, чтобы прямая РР проходила через данную
точку Q. ■
1 3°v Доказать, что угол между окружностями PAA’ и РАА\ а также
угод РАР постоянны.
. Пусть АВ — диаметр окружности С; £)>—перпендикуляр к этому
: По предположению, пересекающий С; с и с’ — окружности, имею-
дще своими диаметрами соответственно отрезки, на которые D делит АВ.
Строим окружность, касательную к С, с, Д и окружность, касательную к
С, с\ D. Показать, что эти две последние окружности равны между собою:
их общий радиус будет четвёртым пропорциональным к радиусам окружностей
С, с, сг.
399. [Арбелос *) греческой геометрии.] Пусть Л и В — две окружности,
касающиеся друг друга; С — окружность, касающаяся их обеих; Ci —окружность,
касающаяся Л, В, С; С* — окружность, касающаяся Д, Bf Сг\ Сг —
окружность, касающаяся Л, В, С2; и т. д.; Сп — окружность, касающаяся
Рассмотрим расстояние центра одной какой-нибудь из окружностей
С\VCs, , Сп от линии центров окружностей Л и В и отношение
этого расстояния к диаметру соответствующей окружности. Доказать, что
это отношение изменяется на единиц^, если, перейти от одной из окружностей
« окружности, н^рСредственно щ ней следующей, но крайней
йере,* случае* если! эти окружности будут касаться внешним образом (что
всегда убудет «меть место, если окружности Л и В касаются друг друга
внутренним1 образом), и их центры будут лежать по одну сторону от линии
центров окружностей Л и В. Показать, как следует изменить эту формулировку
в остальных случаях.
400; Пусть Л, В, С — три окружности с центрами соответственно в
вершинах треугольника и попарно касающиеся друг друга внешним образом
(упр. 91). . .
Зная сторону йу Ъ у с данного треугольника, вычислить радиусы окруж-
~ иос?ей* ^в^ййййрса. этих трёх окружностей (предыдущая задача и упр, 301)
ЗчЙ окружности с’ центрами А, В, С и радиусами а, Ь, с; пусть*
Й^Шдарадый центр трёх других окружностей, концентрических первым
^.ймеюдахГрадиусы, равные a-\-h, b\-h\ с-\~k’, щ АН возьмём такую
•= ;. /Л • АН т оdч-кfу- Nn . цто 4т? =—ги* Показать,’ что с изменением h точки Н и N
•описывают прямые, первая из которых проходит через центры окружностей,
касающихся данных окружностей (одинаковым образом), а в т о р а я ч е р е з
точки прикосновения этих окружностей’ic окружности Л.
Найти аналогичную теорему для, случая окружностей, имеющих с
окружностями Л, В г С разноимённые касания.
402. Найти окружность, пересекающую четыре данные окружности под
равными углами.
1) Арбелос — греческое слово, обозначающее серп.

300 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

403. Найти окружность, пересекающую три данные окружности иод
данными углами.
(В силу упр. 256 известен угол, под которым искомая окружность
пересекает какую-либо из окружностей, имеющих с данными окружностями
общий радикальный центр. Среди этих окружностей надо, пользуясь
п. 311, найти три окружности, для которых этот угол равен нулю, и, таким
образом, свести задачу к задаче о касании окружностей; или -иначе1):
найти среди тех же окружностей две окружности, для которых этот угол
будет прямой, и тогда задача будет сведена к упражнению 259.)
403а. Даны три окружности; построить такую четвёртую окружности;
чтобы отрезки общих касательных к этой окружности и к каждой из трёх
данных окружностей имели данные длины. /
(Эта задача может быть сведена к предыдущей, если провестх^через
точку касания каждой искомой общей касательной окружность, концентрическую
соответствующей данной окружности.)
404. Даны: окружность, две точки Д А’ на этой окружности и прямая D.
Показать, что на прямой D существуют две такие точки /, /’, что если
через Р, Р обозначить точки пересечения прямой D с прямыми, соединяющими
точки А, А’ с произвольной точкой М окружности, то произведение
IP • ГР постоянно, т. е. не зависит от положения точки М.
405. При тех же обозначениях, что и в предыдущей задаче, показать,
что если прямая D не пересекает окружности, то существуют с той и с
другой стороны от прямой по такой точке, что, из каждой из них отрезок РР.
виден под постоянным углом (задача 278).
406. Даны две непересекающиеся окружности 5 и 2 с центрами О и со и
радиусами, соответственно равными R и р, рассмотрим окружности С, касающиеся
окружности 5 и ортогональные к окружности £•
1°. Доказать, что все эти окружности касаются одной и той же окружности,
отличной от 5.
2°. Пусть М и М’ — точки пересечения окружностей С и 2; проведём
через определённую точку А, лежащую на прямой Осо, прямые, параллельные
биссектрисам углов ОсоМ, 0«>ЛР, до пересечения их в точках Р, Р с
данной прямой Д перпендикулярной к прямой Оа>. Доказать, что существуют
две такие точки, что прямые, соединяющие каждую из них соответственно
с точками Р, Р’, будут взаимно перпендикулярны.
3°. Доказать, что существуют две такие точки, что из каждой из них
отрезок РР’ виден под/постоянным углом (предыдущая задача).
4°. Пусть Ci — то положение окружности С, при котором она пересекает
окружность 2 в точках М,.М’; С2 — второе положение той же окружности,
при котором она пересекает 2 в точке Мг и третьей точке М»; Cz —
положение той же окружности, при котором она пересекает 2 в точках М» и
Мш; и т. д. Найти условие, при котором окружность Ся+1 совпадает с С±.
(Обозначим расстояние О<о через d; тогда прямоугольный треугольник,
гипотенуза которого равна d2 — R2 — р2 (или R2 р2 — d2)> а один из катетов
равен 2Rp, должен иметь один из острых углов, равный половине центрального
угла, соответствующего стороне правильного выпуклого или звездчатого
многоугольника, число сторон которого равно п или одному из делителей
числа п).
Если окружности S и 2 пересекаются, то точки М, М, М», Мп\ …
будут иметь своим предельным положением одну из их точек пересечения.
407. На прямой, проведённой через точку пересечения диагоналей вписанного
четырёхугольника и перпендикулярной к радиусу, проходящему
*) Задача, рассмотренная в п. 311, не всегда имеет решение, так как
^упомянутая там точка а может лежать- внутри данных окружностей; это
может иметь место даже в том случае, когда рассматриваемая сейчас
задача имеет решение; показать, что этого затруднения всегда можно избежать,
комбинируя надлежащим образом оба указанных нами метода.

301 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

302 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ.

через эту точку, две противоположные стороны четырёхугольника отсекают
равные отрезки (доказать).
408. Даны две окружности С, С* и две пересекающие их прямые.
Доказать, что окружность, проходящая (задача 107а) через точки пересечения
хорд, стягивающих дуги, отсечённые на окружности С, с хордами,
стягивающими дуги, отсечённые на окружности С’, будет иметь общую
радикальную ось с окружностями С и С’ (воспользоваться упр. 149).
409. Даны две концентрические окружности 5 и С и третья окружность
Ci. Геометрическое место центров таких окружностей, ортогональных
% С, что радикальная ось какой-либо из них и окружности Ci касается 5,
еЪцэОкружность $и концентрическая с С\ (доказать).
^}братно, геометрическое место центров таких окружностей, ортогональных
К окружности Ci, что радикальная ось каждой такой вкружности и
окружности С касёется окружности есть окружность 5 (доказать).
410. Примем каждую точку данной окружности С за центр нойой окружности,
радиус которой находится в данном отношении к расстоянию от
этой точки до данной точки А плоскости (или, общее, к отрезку касательной,
проведённой из этой точки к некоторой второй окружности). Показать,
что существует точка Р, имеющая одну и ту же степень относительно всех
построенных таким образом окружностей.
Радикальная ось каждой из этих окружностей и ‘окружности-С будет
касательной к определённой окружности с центром в точке Р (доказать).
411. Проводим через какую-нибудь точку окружности С касательные к
окружности С’. Показать, что прямая, соединяющая между собой вторые
точки пересечения этих касательных с окружностью С, будет в свою очередь
касательной к некоторой определённой окружности (сводитея»к предыдущей
задаче). Эта окружность имеет общую радикальную ось с окружностями
С и С’.
Вычислить радиус этой новой окружности и расстояние от её центра
до центра окружности С, зная радиусы данных окружностей и расстояние
между их центрами.
Вывести отсюда решение задачи 377.
412. Даны уголАО В и точка Р.
1°. Найти на стороне О А такую точку М, чтобы две окружности С и
С’, касательные к О В и проходящие через точки М и Р, пересекались под
данным углом.
2°. Изучить изменение угла между окружностями С и С’ при перемещении
точки М по О А.
3°. Пусть Q и Q’ будут точками/(отличными от М), в которых эти
окружности пересекают сторону О А. Показать, что окружность, проходящая
через точки Р, Q, Q\ остаётся касательной к некоторой определённой
прямой при перемещении точки М по ОА (сводится к предыдущей задаче).
413. Отложим на двух данных параллельных прямых от точек их пересечения
А и В с их общим перпендикуляром два таких отрезка АС и BD, чтобы
площадь трапеций ABDC была равна площади данного квадрата. Найти
геометрическое место точек Н — проекций середины отрезка А В на прямую
CD (надо’ рассмотреть два случая, в зависимости от того, будут ли
отрезки АС и BD отложены в одном направлений или в противоположных
направлениях). /
414. Дать другое решение вопроса, предложенного в задаче 329
(провести через точку, данную внутри угла, секущую так, чтобы она: образовала
со сторонами угла треугольник данной площади). Построить
сначала параллелограмм с вершиной в данной точке, один из углов которого
совпадает со сторонами данного угла. Этот параллелограмм выделяет из иско*
мого- треугольника две треугольные’части, сумма площадей которых известна.
Таким образом, вопрос можно свести к задаче 216.
415. Построить треугольник по углу, периметру и площади (упр. 90а, 299).
Из всех треугольников с одинаковым углом и с одинаковым периметрЪм
определить тот, который имеет наибольшую площадь.

303

‘ 416; Построить треугольник- по стороне, периметру и итщащ
построить фигуру, образованную вписанной и незписашшй о®рудаое>Шйй^
Среди всех треугольников, с общей /сторош!М «одинаков ой Площадью
найти тот, который имеет наименьший яериметр. Из . всех треугольников^
с общей стороной и одинаковым периметром определить тот; который и^^е’Г
наибольшую площадь. ^ ^ . • -v«si 417. Из веех треугольников с одинаковом ■ периметром определить-‘тоту
который имеет наибольшую площадь. ^
418. Построить четырёхугольник по ? четырём его сторонам « площади
(пусть ABCD будет искомым четырёхугольником, так что АВ ВС ^ Ь/
CD = с, DA = d. Пусть АВСг — треугольник, внешний по отношешю4& 9Wdy
четырёхугольнику, равновеликий треугольнику &DC и ‘шнв^щий
L CiBA=* £ ADC. Надо доказать последоватевдо* что известны следующие
величины: 1) сторона BCt; 2) разность квадратуАС и- АС и ЗУ-щжтдм
С С1 на А В; 4} наконец, при помощи данной площади можно уздо94<йрДО£од^р
ССх на перпендикуляр к АВ, что позволит, отложив где^ибу^г:отреЗОЕ;
АВ = а, построить отрезок, равный и параллельный СОи щ следоватьльво^
закончить требуемое построение). и- i — ■ . . ■; i ,■ i i а;
Если задача возможна, то она имеет в общем случае два решения. Для?
обоих получающихся четырёхугольников, треугольшк, рассмотренный *
упражнении 270, имеет одну и ту же форму, и, следовательно (упр. 27$, 5°),
оба четырёхугольника можно рассматривать как взаимно обратные
(доказать). ; /i.
Дан некоторый четырёхугольник; построить второй ; четйрёхугояы^,
не равный данному, но имеющий те же стороны и ту же пяощаш * ^
Доказать, что среди всех четырёхугольников с данными четырьмя
сторонами наибольшую площадь будет иметь вписанный четырёхугольйшс.
418а. Доказать, что произведение диагоналей е и / чешрёжугщ^вш»
выражается в функции его сторон а, Ь, с и d и его площади^# фо^й^лой
4е2/2 = (я2 + с2 — £2 _ d2)2 + 16S2, .
а угол между диагоналями — формулой .
* к а2 + с2 — &* — d? ‘
Вывести отсюда новое решение предыдущей задачи, (задавшись положением
одной„ из сторон, ыщ определи^ каждую из остальных вершин, как
— точку пересечения двух окружностей)* \
419. Построить вписанный четырёхугольник пб летздём £торонам^ ‘
419а. Доказать, что из всех многоугольников с МШЦЩОЩЫ: чтлщ
сторон и одинаковым периметром наибольшую площадь будет йме#7йр&шя&-
рый многоугольник.
(Допустить,, что существует многоугольник с наибольшей площадью;
тогда можно доказать при помощи задачи 418, что этим многоугольником
может быть только правильный многоугольник,) ……..
. Предыдущий результат может быть иначе, сформулирован, так; если
обозначить ллощадь многоугольника через S, а его периметр ч ерез pt то
отношение ~ будет для правильного многоугольника больше* чем для не-
.правильного мрогоугольника с тем,же числом сторон.
420. Средк всех замкнутых линий одинаковой длины окружность ограничивает
наибольшу~ю -п ^л о^щадь (доказать). ^
(Рассмотреть отношение ~ для правильного многоугольника, вписанного
в окружность,, и для многоугольника, вписанного в кривую выпуклую
замкнутую линию той же длины, при условии, что число сторон одинаково
в том и в другом случае и безгранично возрастает.)

304

то центры OiV 02l (-^{^окружностей; описанных около’треугольников ОАВ,
OBCtO€Dy ODAp&bymym параллелограмм Р. ‘ ; * ,
J «‘г 1**. Ее йиэтот : *п ар а ляелогра м мд а н , т о пйощадь четырёхугольника, а также
длины его диагоналей тем самыми определяются’ (шжааать). г ■
и r,g* Bcjfti Сточки1Ok, Ф^О^ лты и точка, О ,ониеывает прямую Д, то Шы^ *^ырёху гольника описывают стороны параллелограмма/* (дока-
Рассмотреть ’ изменение этого параллелограмма?* в связис’ дереме»
ИД^Найти такое положение прямой Д, для которого его площадь
*Ш>окья{ей: . • . ; . . 1 *
‘З0. Построить четырёхугольник ABCD, зная два угла’ этого ^ четырёх*
: ‘ ‘* : *»• „ • ‘ АВЛ ‘^МНРК/ и параллелограмм Р^или зная В и отношения?-^ ± СВ !\ v ; (наследо-,
вать). vr ь . , — . _{ ^ ^
, ,42К-4Радрусы кругов, описанных ‘(/др,, 66) около четырехугольников/
обрроаадеы^ рд^к-^содтрисамн внутренних, углов,, а другой биссектрисами.
внешних ‘углов ’ ‘ дайноЬэ четырёхугольника, относятся, как
h,t&i: 4 -тгхторовд дедюгб четырёхугольника, ^взятые
в последовательное шряд^ф ; ;,„г . . .. . .
; i 421а., Яродояжйм до/их*пересечения вло*дах^вмИ</? цроуиворояожные
стороны вписанного^ чешрёхутояьника и проэедём ^бщ^сектрисы ^о^У^нрих
таким образом углов. Показать:
1°. что эти прямые пересекаются на прямой, соединяющей середины диагоналей
данного четырёхугольника, и делят отрезок этой прямой между серединами
диагоналей в отношении, равном отношению диагоналей;
2°. что они будут также биссектрисами углов, под которыми этот отрезок
виден из точек Е и F;
3°. что они пересекают стороны данного четырёхугольника в четырёх
точках (отличных от Е и F), которые будут вершинами ромба. Стороны
этого ромба параллельны диагоналям данного четырёхугольника; их длина
есть четвертая пропорциональная к этим диагоналям и их сумме;
4°. сформулировать аналогичные предложения для биссектрис углов,
образованных двумя противоположными сторонами, одна из которых
продолжена до точки их * пересечения, а другая — за точку их пересечения;
5°. показать, что отрезок EF относится к отрезку, соединяющему середины
диагоналей, как удвоенное’ произведение этих последних к разности
их квадратов. Вычислить длину отрезка EF, зная стороны четырёхугольника.
422. Пусть О — внутренняя точка, треугольника AiAsA9; (k[\ ( k 2 )
(&*) — окружности, вииеанйые в треугольники Л2Л30, Л3Л1О, AiA%0. Доказать,
что:
Если (к%)— какая-нибудь окружность, концентрическая с ( к [ ) у то
$!ожш> присоединить к ней окружность (&2), концентрическую с (ОД, и
окружное?ь (к%\ концентрическую с (ОД, так что (ОД, (ОД будут пересекаться
в точке Mr расположенной на AtO; (ОД, (kt)— в точке //^ расположенной
на ЛаО; (ОД, (ОД — в точке Nb расположенной на Л30.
2°. Окружность ( k t ) пересекает сторону Л3Л3 в двух точках тх и пи
таких, что Л2т1 = Л2Д/а и Abni=z А$Ыг.
Точно так.же окружность (к$)^ пересекает Л3At в двух точках /2 и щ,
таких, что A x h ^ A t N i и Аъщ =? АъЫг\ окружшеть {к9} пересекает Л1Л2 в двух
точках k и т3, таких, что Axk == AiNt и Aams = A2N2.
3°. Если радиус окружности ( k t ) изменяется и одновременно с ним
изменяются радиусы окружностей ( к 2 ) и (&3) так, что сохраняются указанные
в 1° соотношения между «ими, то точки Р и Р 2 у Р3, отличные от N u
Я * N i 9 в которых попарно пересекаются три окружности, описывают пря-

305

мые (М, (*2), ( t z ) — общие касательные соответственно к парам окружностей
( k 2 ) и (&3), (&’) и ( k [ ) y ( k [ ) и ( k 2 ) . Эти три прямые пересекаются в
одной точке, которая получается из О построением, указанным в задаче 197;
при этом треугольник, о котором там говорится, в данном случае будет
образован центрами окружностей ( k [ ) y ( k 2 ) и (&g). —
4°. Четыре точки Р2, /V4, /3 лежат (применить задачу 345) на одной
и той же окружности (д:{), которая пересекает стороны AtA2, AiAs и прямые
(t2), -(£3) под одинаковым углом; точно так же Р3, Ри тъ, nit лежат на
одной окружности (лгз), пересекающей под одинаковым углом А2Л3, А2А
( h ) , (*i); Pi, Р%> пи п2 лежат на одной окружности (лгд), пересекающей грод
одинаковым углом AsAi, Л3Л2, (*i), (t2). У
Центр окружности (х{) остаётся неподвижным, если радиусы окружностей
( k i ) t (k 2), ( k s ) изменяются, как было указано в 3°; прямая, соединяющая
его с центром окружности ( k [ \ проходит через точку пересечения
прямых (^), iy2), (tf8). То же для центров окружностей (.х[J) и (х’3).
Существуют: окружность (х{), касательная к А±А2, А^А^ ‘ (t2), (£3);
окружность (лг2), касательная к Л2Л3, A2Aly ( t d ) , (ti); окружность (лг3), касательная
к АяАи Л3Л2, (t^ (t2).
5°. Точка пересечения прямых ШхРъ и пхР2 лежит на радикальной оси
окружностей (х2), (х’г); она описывает [если радиусы окружностей ( k x ) y
(k 2), ( k z ) изменяются] прямую, соединяющую точку пересечения прямых
(*i), (h), (h) с точкой прикоснов< ния окружности ( k [ ) к прямой Л2Л3.
Условие, при котором окружности ( х 2 ) , (л:8) будут касаться друг друга,
состоит в том, что указанная прямая совпадает с прямой (^).

306

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА КОНКУРСНЫХ ЭКЗАМЕНАХ

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

Околоadmin

Добавить комментарий Отменить ответ

Мы в Социальных Сетях

Новости

Страницы

Рубрики

Скачать бесплатно

Статистика

Архивы

Свежие комментарии

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА КОНКУРСНЫХ ЭКЗАМЕНАХ

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

Околоadmin

Добавить комментарий Отменить ответ

Мы в Социальных Сетях

Новости

Страницы

Рубрики

Скачать бесплатно

Статистика

Архивы

Свежие комментарии

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА КОНКУРСНЫХ ЭКЗАМЕНАХ