Home » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Школьная математика онлайн. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. V. ДЕЛЕЖИ ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ

Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Школьная математика онлайн. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. V. ДЕЛЕЖИ ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ


Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.
Математика для младших классов.
РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ.
V. ДЕЛЕЖИ ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ «В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ» в формате PDF в хорошем качестве. Вся книга.

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Математика для младших классов. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ.V. ДЕЛЕЖИ ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ(стр. 134-140)

Текст для быстрого ознакомления:

Школьная математика онлайн.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ.
V. ДЕЛЕЖИ ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ

52. Если мы из 5 данных пряников 3 разрежем пополам, то
получим 6 равных кусков, каждый из которых и отдадим мальчикам.
Затем 2 оставшихся пряника разрежем каждый на 3

равных части и получим опять 6 равных кусков, которые и отдадим
мальчикам. Таким образом, задача решена, причем ни одного
пряника не пришлось разрезать на 6 частей.
53. И Никита и Павел делают неправильный расчет. 11 лепешек
разделены на троих поровну, значит, каждый съел 11/3 лепешки.
У Павла было 7 лепешек, он съел 11/3 лепешки, следовательно,
охотнику отдал 10/3 лепешки.
Никита из четырех своих лепешек съел тоже 11/3 лепешки,
следовательно, охотнику отдал 1/3 (одну треть) лепешки.
Охотник съел 11/3 лепешки и заплатил за ‘них 11 копеек,
значит, за каждую треть лепешки он дал по копейке. У Павла
он взял 10 третей, у Никиты — одну треть; следовательно, Павел
должен взять себе гривенник, а Никита — копейку.
54. Иван предложил крестьянам делить зерно так:
— Я рассыпаю зерно на три кучи на мой взгляд поровну,
и отхожу в сторону. Мне подойдет любая из куч. Пусть затем
Петр укажет наименьшую по его мнению кучу зерна. Если Николай
также посчитает, что зерна в этой куче меньше трети, то
отдайте ее мне, а остаток зерна делите между собой известным
уже способом. Если же Николай решит, что в указанной куче не
меньше трети зерна, пусть возьмет ее себе. Петр возьмет наибольшую
по его мнению кучу, а оставшаяся достанется мне.
Крестьяне последовали предложению Ивана, разделили зерно
и довольные разошлись.
55. Предполагается, конечно, что все бочонки — полные, полные
наполовину и пустые — равны между собою. Ясно, что каждый
должен получить по семи бочонков. Подсчитаем теперь,
сколько же кваса должно прийтись на долю каждого. Есть 7 бочонков
полных и семь пустых. Если бы можно было от каждого
полного бочонка отлить половину в пустой, то получилось бы 14
наполовину полных бочонков; прибавляя к ним еще 7 имеющихся
наполовину полных, мы получили бы всего 21 полный наполовину
бочонок. Значит, на долю каждого должно прийтись по 7 наполовину
полных бочонков вина. Сообразив это, получаем, что, не
переливая кваса, можно поделить все поровну так:
Полные
бочонки
Первый человек 2
Второй человек 2
Третий человек 3
А вот и другое решение:
Полные
бочонки
Первый человек 3
Второй человек 3
Третий человек 1
56. Задача эта имеет два решения, и решения эти состоят,
очевидно, в том, что из большого бочонка нужно отливать квас
в меньшие бочонки, из этих последних переливать опять и т. д.
Полные
наполовину
бочонки
3
3
1 «
Пустые
бочонки
2
2
3
Полные
наполовину
бочонки
1
15
Пустые
бочонки
3
3
1

135 Школьная математика онлайн.

Дадим эти решения в виде двух таблиц, которые показывают,
сколько в каждом бочонке остается кваса после каждого
переливания.

Школьная математика онлайн

Школьная математика онлайн

136 Школьная математика онлайн.

58.

Школьная математика онлайн.

Школьная математика онлайн.

Легко сформулировать множество подобных задач. Но выписанные
таблицы не .дают ответа на вопрос: каким же правилом
руководствоваться для нахождения решения? С целью найти такое
правило давайте’представим себе задачу иначе — геометрически..
Для определенности рассмотрим задачу 58. Обозначим через
х и у количество жидкости, содержащейся после какого-либо
переливания соответственно в первом и втором бочонках. При
переливании общее количество жидкости не изменяется, т. е. все
время остается равным 4 + 6 = 10 ведрам. Поэтому в третьем
бочонке будет находиться 10 — х— у ведер жидкости. Количество
жидкости, содержащейся в бочонке, не может быть больше
объема бочонка. Мы видим, что числа х, у удовлетворяют таким
условиям:

Школьная математика онлайн.

Школьная математика онлайн.

Для дальнейшего удобно воспользоваться листом клетчатой
бумаги. Возьмем такой лист, выберем на нем некоторую точку и
проведем через нее две перпендикулярные прямые по линиям
нанесенной на бумаге решетки. Одну назовем осью X , другую —
осью У. Каждой паре чисел х, у мы сможем тогда поставить
в соответствие некоторую точку на листе бумаги — точку с координатами
х, у. Нарисуем на плоскости все точки, координаты
которых удовлетворяют написанным выше неравенствам. На
рис. 130 это множество — внутренняя часть четырехугольника
PQRS — заштриховано. Начальному распределению жидкости
соответствует на этом рисунке точка А (х =.4, у = 0). Распределению,
которое мы хотим получить, — точка В (х — 5, у = 0,
при этом в третьем бочонке будет 5 ведер).
Последовательность переливаний, ведущая от распределения
А к распределению В, представится на этом рисунке в виде
некоторой последовательности точек. Или, если мы соединим отрезком
прямой линии каждые две последовательные точки, з
виде ломаной с началом в точке А и концом в точке В.
. Попробуем выяснить, каким же условиям должны удовлетворять
вершины этой ломаной и ее звенья.
Переливание заканчивается, когда наполнится тот бочонок,
в который мы льем Жидкость, или станет пустым бочонок, из
которого мы жидкость выливаем. Это означает, что после каждого
переливания обязательно найдется хотя бы один пустой или
хотя бы один полный бочонок. Где же на четырехугольнике
PQRS будут располагаться соответствующие точки? Если полон
первый бочонок (х — 6)^ то точка лежит на отрезке RS\ если

137 Школьная математика онлайн.

первый бочонок пуст (х = 0), то должны быть полными второй
и третий бочонки (3 + 7= 10). Имеется единственная точка с
такими условиями — точка Q. .Распределениям, при которых пуст
второй бочонок (у — 0), соответствуют точки отрезка PS, а если
второй бочонок полон (у = 3)—точки отрезка QR. Наконец,
третий бочонок пустым быть не может, в первые два бочонка
10 ведер не вместятся, а если он полон, то в первых двух должно
содержаться 10 — 7 = 3 ведра (я + у = 3). Соответствующие

Школьная математика онлайн

Школьная математика онлайн

точки лежат на отрезке PQ. В любом случае точки лежат на
границе четырехугольника PQRS. Итак, мы установили, что вершины
нашей ломаной должны располагаться на границе четырехугольника
PQRS.
Заметим теперь, jjto при каждом переливании содержимое
одного бочонка остается неизменным, ведь каждое переливание
затрагивает только два бочонка. Если не изменяется содержимое
первого бочонка (х постоянно), то отрезок, соединяющий
точки, соответствующие распределениям до и после переливания,
параллелен оси У (у начала и конца отрезка координата х имеет
одно и то же значение). Если при переливании не меняется содержимое
второго бочонка, то соответствующее звено ломаной
параллельно оси X (у постоянно). Наконец, если в переливании
не участвует третий бочонок, то сохраняется общее количество
жидкости в первых двух бочонках. Иными словами, в концах
отрезка сумма х + у принимает одно и то же значение Это
означает, что звено ломаной параллельно отрезку PQ. Итак,
каждое звено ломаной перпендикулярно оси О А», или оси О У,
или биссектрисе угла между этими осями.
Чтобы проверить себя, представим, что некоторое звено ломаной
расположено на границе многоугольника PQRS, например
на отрезке PQ. Что это означает? Звено образует равные углы с
осями X, У, поэтому в переливании не участвует третий бочонок.
Кроме того, этот бочонок полон. В. первых двух бочонках вместе
содержится х + у = 3 ведра жидкости, так что переливание

138 Школьная математика онлайн.

закончится, если станет пустым первый бочонок (х = 0, точка-QJ
или второй бочонок (у = 0, точка Р). Точно так же можно рассуждать
и для других сторон многоугольника PQRS. Мы выяснили,
что если некоторое звено ломаной лежит на границе PQPS,
то его конец обязательно совпадает с одной из точек Р, Q, R
или 5.
Наша задача на геометрическом языке выглядит теперь так:
соединить точку Л с точкой В ломаной, все вершины которой
лежат на границе многоугольника, а звенья параллельны осям ,Х,
У или образуют равные углы с осями. При этом, если звено лежит
на стороне многоугольника, то его конец должен совпадать
с одной из вершин.
В таком виде задача становится нагляднее, и требуемые ломаные
без труда находятся (рис. 131, 132).

Школьная математика онлайн.

Школьная математика онлайн.

На клетчатой бумаге проведение ломаных не составляет никакого
труда, так как все звенья проходят через узлы решетки,
а вершины совпадают с узлами. Ломаные, представленные на
рис. 131, 132, соответствуют первому и второму решениям, в чем
легко убедиться.
В других задачах роль четырехугольника PQRS могут играть
другие многоугольники: параллелограмм (задача 56), пятиугольник
(задача’57). Могут встретиться шестиугольники, причем 6—
это максимальное возможное число сторон. Формулировка задачи
при этом остается той же самой, изменяется многоугольник
и положения точек А, В
Геометрическое представление задачи и ее решения наглядно,
однако выполнение , всех построений отнимает лишнее время,
требует бумаги и карандаша. Попробуем на основе геометрических
соображений дать рекомендации, как в любой подобной
задаче найти требуемый способ (если он существует), не прибегая
к построениям.
Вершины многоугольника соответствуют распределениям
жидкости, при которых сразу два бочонка находятся в граничном
состоянии (оба пусты; оба полны; один пуст, другой полон).
I. Прежде всего нужно добиться с помощью переливаний,
чтобы по крайней мере два бочонка находились в граничном
состоянии.
Геометрически это соответствует тому, что мы строим ломаную,
начинающуюся в точке А и кончающуюся в какой-либо
вершине многоугольника.
II. Следует обойти все вершины многоугольника, переливая
на каждом шаге жидкость из бочонка, который не участвовал

139 Школьная математика онлайн.

в предыдущем переливании, и не изменяя содержимого одного
из бочонков, находящихся в граничном состоянии.
Геометрически последовательное применение правила II означает
переход от вершины многоугольника к соседней с ним вершине
и так далее. Вершин не более шести, поэтому, применяя
правило II не более шести раз, мы вернемся к распределению,
которое нам ранее уже встречалось.
Если, применяя J, мы не попали в Б и если В отлично от
вершин многоугольника (применение II не дает нам В), то далее
нужно поступать следующим-образом.
III. Отправляясь от точки А, а также от распределений, соответствующих
каждой вершине многоугольника, совершать переливания,
не приводящие к ранее встречавшимся распределениям,
пока это будет возможно сделать или встретится распределение
В. При этом, как легко видеть, в переливании должны участвовать
бочонок, находящийся в граничном состоянии, и бочонок,
не участвовавший в предыдущем переливании.
Из геометрических соображений следует, что если это можно
сделать, то единственным способом (из точки А иногда можно
провести две ломаные, как в рассмотренной задаче). Если применение
правила III не приведет к распределению В, то, значит,
переливаниями из Л в В перейти невозможно.

140 Школьная математика онлайн.

На главную страницу Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.

About

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Статистика


Яндекс.Метрика