Home » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ.

Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ.


Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.
Математика для младших классов.
РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ.
XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ.

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ «В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ» в формате PDF в хорошем качестве. Вся книга.

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Математика для младших классов. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ.  XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ.(стр. 173-179)

Текст для быстрого ознакомления:

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ.

159. Конечно, можно во всех клетках квадрата поставить
число 2. Получившийся числовой квадрат будет удовлетворять
условиям задачи. Но, если потребовать, чтобы среди чисел было
по крайней мере одно нечетное, задача становится не такой простой.
Прежде всего, сделав несколько проб, легко убедиться, что
в центре квадрата не могут стоять ни 1, ни 3. Этому факту
можно дать и строгое доказательство.
Предположим, что числа расставлены так, как требуется.
Прибавим друг к другу числа, стоящие на диагоналях и во втором
столбце (при этом число, стоящее в центре квадрата, будет
взято трижды), и вычтем из результата числа, стоящие в первой
и третьей строках. Разность, как легко видеть, будет равна
утроенному числу из центра квадрата. С другой стороны, сумма
чисел на диагоналях, в каждом столбце и в каждой строке равняется
6; значит, разность должна равняться 6. Следовательно,
в центре квадрата стоит число 2.
Далее, легко видеть, что сумма чисел равняется 6 только
в том случае, если все они различны или все равны 2. Поэтому
по крайней мере в одной из вершин квадрата должно стоять
число 2. Искомые расстановки теперь легко находятся (рис. 181).

173 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

Все они получаются из первой с помощью симметрий относительно
диагонали (2, 2, 2), относительно второй строки и относительно
второго столбца.
Для построения нужного размещения чисел можно воспользоваться
одним легко запоминающимся приемом. Расположим

 

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

сначала числа так, как на рис. 182, а. Затем числа, лежащие вне
квадрата ABCD, сдвигаем соответственно вниз, вверх, влево или
вправо на 3 клетки так, чтобы они попали на свободные места
в квадрате. Получаем в результате требуемое размещение
(рис. 182,6),

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

160. Поступим так же, как в конце решения предыдущей
задачи. Расставим числа, как показано на рис. 183, а, а затем
сдвинем стоящие вне квадрата числа соответственно на 3 клетки
влево, вправо, вниз и вверх так, чтобы они попали на свободные
места в квадрате. Получим нужное размещение (рис. 183,6).
Можно также для решения этой задачи взять соответствующие
кости домино (рис. 184).
161. Использованный нами прием поможет и в этом случае.
Пристроим на всех сторонах квадрата из 25 клеток еще по четыре
клетки (рис. 185), а затем в полученной фигуре расположим
косыми рядами последовательно числа от 1 до 25.
Затем, сдвинув все числа, стоящие вне квадрата ABCD, на
б клеток соответственно вниз, вверх, влево и вправо, получим
требуемое расположение (рис. 186).
162. Прием, изложенный в решениях предыдущих задач, не
позволяет, как легко видеть, строить волшебные квадраты с
16 клетками, и тем не менее существует большое число расположений,
удовлетворяющих условиям задачи*

174 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

 

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

175 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

Не рассматривая общего приема решения таких задач, приведем
лишь два ответа к этой задаче (рис. 187).
Простой способ, использованный нами в решениях задач 160,
161, пригоден для построения волшебных квадратов с любым нечетным
количеством клеток. К сожалению, приемы построения
волшебных квадратов с четным числом клеток намного более
сложны.
163. Прежде всего предположим, что буквы одинаковы. Поставим
одну букву в какой-нибудь клетке первой диагонали*
При этом на второй диагонали окажутся запрещенными две
клетки, стоящие в одном горизонтальном и вертикальном ряду
с уже занятой клеткой. В одной из остальных двух клеток второй
диагонали можно поставить вторую букву. Далее легко заметить,
что две буквы, поставленные на диагоналях, однозначно
определяют расстановку в соответствии с условиями задачи двух
оставшихся букв (рис. 188). Итак, если фиксировать место буквы

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

на первой диагонали, то задача имеет два решения. Но так как
первую букву можно поставить в любой клетке первой диагонали,
то задача имеет 2X4 = 8 решений. Так как четыре различных
буквы можно перемещать 24 способами, то в этом случае
задача имеет 8 X 24 = 192 решения

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

164. Предположим, что мы расставим буквы так, как это
требуется в задаче. Поменяем местами какие-либо два столбца
или две строки. При этом получится новое расположение букв,
также удовлетворяющее условию задачи. Очевидно, столбцы и
строки можно переставить так, что в верхней строке и крайнем
левом столбце буквы разместятся в таком порядке, как показано
на рис. 189.
Подобные расположения букв будем называть основными.
Найдем теперь все основные расстановки букв. Легко видеть, что

176 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

во второй строке буквы а, с, d можно разместить только тремя
способами: (с, d} а), (d, а, с), (а, с). Первым двум соответствуют
единственные расположения букв в третьей и четвертой
строках, третьему соответствуют два расположения. Итак, имеется
всего четыре основных размещения букв, представленных
на рис. 190.
Из каждого основного перестановкой столбцов можно получить
24 новых размещения. А при каждом расположении столбцов
перестановкой второй, третьей и четвертой строк — еще 6 новых.
Очевидно, все эти расположения различны. Итак, существует
4-26*6 = 576 различных расстановок букв, удовлетворяющих
условию задачи.
165. Обозначим для краткости звания офицеров буквами Я,
М, К, Л, а номера полков цифрами 1, 2, 3, 4. Очевидно, каждый
офицер полностью характеризуется парой: (буква, цифра).
Например (К, 3) — капитан из третьего полка. Задача, следовательно,
сводится к тому, чтобы в 16 клетках квадрата разместить
по четыре буквы /7, М, КУ Л и по четыре цифры 1, 2, 3, 4
так, чтобы в каждом горизонтальном и вертикальном ряду не
было одинаковых букв и цифр. Кроме того, все пары (буква,
цифра) должны быть различны.
Расположим сначала буквы (см. предыдущую задачу) так,
как показано на рис. 191:

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

Чтобы разместить цифры, мы сначала приставим к каждой
букве соответствующую ей по порядку цифру (т. е, ко всем Я
приставим 1, ко всем М приставим 2, ко всем К приставим 3,
ко всем Л приставим 4), а затем переставим каждую цифру в
клетку, симметричную относительно диагонали (Я, /(, Л,1М),
В результате получим рис. 192. Это расположение и является ответом
к задаче.
166. Рассмотрим квадрат из 16 клеток. Пусть его строки отвечают
участникам первой команды, а столбцы — участникам второй
команды.
Разместим в клетках квадрата пары цифр следующим образом.
Возьмем размещение букв и цифр предыдущей задачи и заменим
каждую букву соответствующей ей цифрой М-*-2,
К-+3, Л 4 ) . В результате получим рис. 193.
Положим теперь, что первая цифра в каждой клетке указывает
номер тура, в котором встречаются игроки, соответствующие
строке и столбцу, содержащим данную клетку. И если вторая
цифра нечетная, то игрок первой команды играет белыми,

177 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

а в противном случае черными фигурами. Поскольку любая
цифра, стоящая на первом месте, встречается в каждой строке и
в каждом столбце по одному разу, то в любом туре будут заняты
все шахматисты, при этом у каждого будет определен
единственный партнер.
Покажем, что такое расписание удовлетворяет условиям задачи.
Так как в каждой строке и в каждом столбце на втором
месте . расположены числа 1, 2, 3, 4 в некотором порядке, то
каждый шахматист сыграет по две партии белыми и по две
партии черными фигурами. Далее, так как все пары различны,
то, выбрав любые четыре пары чисел, отвечающие одному туру,
т. е. имеющие на первом месте одну и ту же цифру — номер тура,
мы получим на вторых местах расположенные в некотором порядке
числа 1, 2, 3, 4. Это означает, что в данном туре игроки

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

первой команды будут играть две партии белыми и две партии
черными фигурами. Нагляднее это расписание игр представлено
на рис. 194. Здесь цвет клетки означает цвет фигур, которыми
должен играть представитель первой команды, а цифра — номер
тура, в котором встречаются соперники.
Опишем некоторые способы построения латинских квадратов
произвольного размера. Элементы такого квадрата размером
п X п будем обозначать целыми числами.
I. Пусть р — простое число и п = р—1. Перенумеруем
строки квадрата сверху вниз и столбцы слева направо числами
от 1 до п. На пересечении строки с номером а и столбца с номером
b поместим остаток от деления на р числа ab. Так как
номера строк и столбцов есть положительные целые числа, не
делящиеся на р, то в каждой клетке квадрата будет стоять одно
из чисел 1, 2, . . . , п. Докажем, что в каждой строке стоят различные
числа. Если в строке с номером а стоят два равных
числа, скажем в столбцах с номерами 6, с, то это означает, что
числа ab, ас имеют одинаковые остатки при делении на р и, значит,
их разность а(Ь — с) делится на р. Но оба сомножителя а
и b — с отличны от нуля и по абсолютной величине меньше р.
Следовательно, делимость не может иметь места, числа ab и ас
имеют разные остатки при делении на р. Точно так же доказывается,
что и в любом столбце квадрата стоят различные числа,
Так как строки и столбцы содержат по п клеток, а всевозмож*.

178 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

ных ненулевых остатков от деления на р тоже имеется п, то
каждая строка и каждый столбец будут представлять собой некоторую
перестановку чисел 1, 2, у .., п.
Если построить таким способом латинский квадрат при
р = 5, а затем заменить цифры 1, 2, 3, 4 буквами а, 6, с, d
соответственно, то получится второй из квадратов на рис. 190.
II. Пусть п — произвольное целое по^жительное число и
k — целое число, не имеющее общих с п делителей. Поместим
на пересечении строки с номером а и столбца с номером b остаток
от деления на п числа ak + b. Если на пересечении столбцов
с номерами Ь, с и строки с номером а стоят равные числа, то
разность ak + b —(a k — \ — c ) = b — с должна делиться на п . Но
это невозможно, так как Ь у с — различные целые числа, лежащие
в пределах от 1 до п . Предположим, что в некотором столбце,
скажем с номером Ь , будут стоять одинаковые числа. Если соответствующие
строки имеют номера и , v , то разность
u k -}- b — ( v k + b ) = ( и — v ) k должна делиться на п . Ввиду
того, что числа k и п не имеют общих делителей, на п должно
делиться число и — v . Но это невозможно.
Итак, в каждой строке и в каждом столбце будут стоять
разные числа. Это означает, как и ранее, что столбцы и строки
квадрата будут некоторыми перестановками чисел 0, 1, 2,
* * • > п 1 •
При /г = 4 и k = 1 построенный таким способом квадрат
совпадает с первым на рис. 190, если заменить цифры 0, 1, 2, 3,
соответственно буквами с , d , а , Ь .
Выбирая по-разному число k , можно таким способом строить
различные латинские квадраты.
Предположим, что п — простое нечетное число, k , I — различные
числа из промежутка 0, 1, . . . , п — 1 и для каждого
из них указанным выше способом построен латинский квадрат.
Давайте проверим, что эти пары квадратов решают задачу, подобную
задаче 165, где участвуют представители п полков, имеющие
п различных званий. Предположим, что при наложении квадратов
в двух различных клетках окажутся одинаковые пары чисел.
Если эти клетки расположены в строках с номерами а , и я
столбцах с номерами 6, v соответственно, то обе разности
a k + b —• ( u k + v ) = (а — и ) k + Ь —
a l + b — ( u l + v ) — ( а — и ) I + b — ®
должны делиться на п . Отсюда следует, что на п делится разность
( а — и ) k — ( а — и ) I — ( а — и ) ( k — I ) .
Но это возможно только в случае а — и , а тогда на п должна
делиться разность Ъ — v . Следовательно, b — v , и получается,
что клетки должны совпадать.
Пары латинских квадратов, решающие задачу 165 при некотором
п , дают возможность составить расписание турнира с
п участниками подобно тому, как это делалось в решении задачи
166. Интересно, что при п = 6 расписание турнира может
быть составлена, хотя задача 165 неразрешима.

180 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Учебники по математике школьные.

Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ

На главную страницу Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.

About

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Статистика


Яндекс.Метрика