Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ

Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.
Математика для младших классов.
XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
С КВАДРАТАМИ
Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ «В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ» в формате PDF в хорошем качестве. Вся книга.

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Математика для младших классов. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
С КВАДРАТАМИ (стр. 82-123)

Текст для быстрого ознакомления:

XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
С КВАДРАТАМИ

В следующих четырех задачах мы будем заниматься
составлением «волшебных квадратов». Так
называются квадратные таблицы чисел, в которых
суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и в
каждой из двух диагоналей квадрата все равны между
собой.

95 Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ

159. Расставить три числа
В каждой из 9 клеток квадрата (рис. 80) поставить
одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы сумма чисел,
стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном
ряду, а также по любой диагонали
равнялась 6. Найти все расстановки.
160. Расставить 9 чисел
В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить
числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы суммы чисел,
стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом
горизонтальном ряду, а также на любой диагонали
были равны.
161. Расставить 25 чисел
Расположить 25 чисел, от 1 до 25, в квадрате из
25 клеток так, чтобы в каждой строке, в каждом
столбце, а также по обеим диагоналям квадрата получились
одинаковые суммы.
162. Расставить 16 чисел
В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставить
целые числа от 1 до 16 так, чтобы суммы чисел, стоящих
в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном
ряду, а также на любой диагонали были
равны.

96 Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ

163. Расставить четыре буквы
В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставить
четыре буквы так, чтобы в каждом горизонтальном
ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой диагонали
встречалась только, одна буква. Как велико
число решений этой задачи при одинаковых и разных
буквах?
164. Расставить 16 букв
В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставить
16 букв (четыре буквы а, четыре &, четыре с, четыре
d ) так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и в
каждом вертикальном ряду любая буква встречалась
только один раз.
Аналогичный вопрос можно поставить для квадрата,
состоящего из 25, 36 и в общем случае п2 клеток.
Квадратная таблица, в которой каждый ряд является
перестановкой некоторого числа различных
букв или цифр, причем в каждом столбце буквы или
цифры различны, называется латинским квадратом.
Такие квадраты впервые изучал Эйлер в 1782 году.
Термин «латинские» связан с тем, что элементы
квадрата обозначались латинскими буквами а, Ь, с, …
Количество различных латинских квадратов из п2.
клеток очень быстро растет с увеличением числа п.
Условимся обозначать через k\ произведение всех целых
чисел от 1 до k, k\ = 1-2-3* … •k. Известно,
что существует не менее чем п \ — ( п — 1 ) ! . . . • 2!*1!
латинских квадратов размером пУ^п. Точное значение
этого количества известно только при маленьких
п.
165. Разместить 16 офицеров
В каждом из четырех полков выбрано по четыре
офицера разных званий (полковник, майор, капитан,
лейтенант). Требуется разместить этих шестнадцать
офицеров в виде квадрата так, чтобы в каждом горизонтальном
ряду и в каждом вертикальном ряду
был офицер каждого звания и представитель каждого
полка.
97 Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ

166. Шахматный матч
В шахматном матче встречаются две команды, состоящие
из четырех человек. Каждый участник должен
сыграть по одной партии с каждым игроком противной
команды. Требуется составить расписание турнира
так, чтобы:
1) каждый шахматист сыграл две партии белыми
и две партии черными фигурами;
2) в каждом туре обе команды играли две партии
белыми и две черными фигурами.
Можно предлагать задачи, подобные двум последним,
для любого числа, п офицеров и полков и для
команд с любым числом участников. Легко видеть,
что при п — 2 первая задача неразрешима. Невозможно
разместить четырех офицеров двух званий из
двух полков так, как требуется в условии этой задачи.
В 1782 году Эйлер предположил, что задача неразрешима
при п — 2, 6, 10, 14, . . . , т. е. при всех п, которые
при делении на 4 дают в остатке 2. Это было
подтверждено в 1900 году для п — 6. И, наконец, в
1959 году было установлено, что при всех п Ф 2, б
задачу решить можно. Оказалось, что при п > 6
предположение Эйлера неверно. Он ошибся.