Ուսուցումը 8-րդ դասարանում

Գլուխ 3
Ուսուցումը 8-րդ դասարանում

Գլխավոր էջ Երկրաչափության Ուսուցչի ձեռնարկ

Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինակելի պլանավորում
10. Նման պատկերներ …….. ………………………………………………. 55
11. Եռանկյունների լուծումը ……………………………………………….. 60
12. Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը ………….. 67
13. Վեկտորներ …………………………………………………………….. 71
Տարեվերջյան ստուգողական աշխատանքների տարբերակներ 76
Լրացուցիչ գրականության ցանկ ………… 78

10. ՆՄԱՆ ՊԱՏԿԵՐՆԵՐ

10. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

10-րդ գլխի հիմնական նպատակն է ամրապնդել սովորողների
արդեն ունեցած գիտելիքները երկրաչափական պատկերների նմանության
վերաբերյալ, ընդլայնել ու խորացնել այդ գիտելիքները ապահովելով
դրանց կիրառական ուղղվածությունը: Նման պատկերների հատկությունների
ուսումնասիրության հիմքում ընկած են եռանկյունների
նմանության հասկացությունը և երեք հայտանիշները: Առաջին դասերը
նվիրված են նման եռանկյունների մակերեսների և համապատասխան
նույնանուն գծային տարրերի’ պարագծերի, միջնագծերի, բարձրությունների
և կիսորդների հարաբերություններին: Այդ դասերն ունենալու
են նաև կրկնողական նշանակություն, քանի որ տվյալ թեման, փաստորեն,
յոթերորդ դասարանի վերջին թեմայի անմիջական շարունակությունն
է, որ ծրագրով նախատեսվել է ուսումնական նյութի ծանրաբեռնվածության
հավասարաչափ բաշխման նպատակով: Նմանության
հասկացության հետագա կիրառությունը տվյալ գլխում արտահայտվում
է ուղղանկյուն եռանկյան մեջ համեմատական հատվածների,
եռանկյան կիսորդի հատկության, ինչպես նաև երկու ուղղի’ մի քանի
զուգահեռ ուղիղներով հատումից առաջացած հատվածների համեմա-
տականության դիտարկման ընթացքում: Այդ բոլորի արդյունքում ընդհանրացվում
է, այսպես կոչվող, ՆմԱՆությԱՆ մեթոդի գաղափարը, որը
ցուցադրվում է ինչպես կառուցման խնդիրներ լուծելիս, այնպես էլ տեղանքում
չափողական աշխատանքներում հանդիպող խնդիրներ լուծելիս:
Ցանկալի կլինի ուսումնական տարվա հարմար ժամանակում տեղանքում
կատարել այդպիսի գործնական աշխատանքներ: Նմանության
հասկացության կիրառության ճանաչողական նշանակության կարևոր
հարցերից մեկը ուղիղների’ շրջանագծի հետ հատումից առաջացած
հատվածների համեմատաբանության ուսումնասիրությունն է:
Շրջանագծի հատվող լարերի հատկության և շրջանագծի հատողի և
շոշափողի հատկության դիտարկումները ուշագրավ են հատկապես
նրանով, որ շրջանագծի հատկությունների բացահայտումը կատարվում
է նմանության հասկացության հիման վրա:
Ընդհանրապես պետք է նկատի ունենալ, որ նմանությունը երկրաչափական
պատկերների ուսումնասիրության հիմնարար նշանակության
հասկացություն է, և այն կիրառվում է հետագա, գրեթե, բոլոր թե

53 ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ 

մաների ուսումնասիրության ընթացքում (հիշենք, որ պատկերների հավասարությունը
ևս կարելի է դիտել որպես նմանության մասնավոր
դեպք, երբ նմանության գործակիցը հավասար Է 1-ի):
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները’
ըստ պարագրաֆների, հետնյալներն են.
§1.Դիտարկել նման եռանկյունների մակերեսների և նրանց նույնանուն
գծային տարրերի հարաբերությունը, ընդհանուր պատկերացում
տալ կամայական տեսքի երկրաչափական պատկերների նմանության
մասին, սահմանել կենտրոնային նման պատկերները:
§2.Դիտարկել ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հատվածների համեմատա-
կանությունը, ապացուցել եռանկյան կիսորդի հատկության մասին
թեորեմը, ուսումնասիրել երկու ուղղի’ մի քանի զուգահեռ ուղիղներով
հատումից առաջացած հատվածների հւսմեմւստականու-
թյունը (Թալեսի ընդհանրացված թեորեմը), ձևավորել և զարգացնել
կարողություններ նմանության մեթոդից օգտվելու համար ինչպես
կառուցման խնդիրներ լուծելիս, այնպես Էլ տեղանքում չափողական
աշխատանքներ կատարելիս:
§Յ.Դիտարկելով ուղիղների’ շրջանագծի հետ հատումից առաջացած
հատվածների համեմատականությունը շարունակել ուսումնասիրել
շրջանագիծը’ քննության առնելով հատվող լարերի հատվածների
հատկությունը և շրջանագծի հատողի ու շոշափողի հատվածների
միջև առնչությունը:

54 ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

10.բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները

§1-
Գ ի տ ե ն ա լ ‘ նման եռանկյունների մակերեսների և դրանց նույնանուն
գծային համապատասխան տարրերի (պարագծերի, միջնագծերի,
բարձրությունների, կիսորդների) հարաբերությունների առնչությունները,
պատկերացում ունենալ կենտրոնային նման պատկերների մասին:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ապացուցել նշված հարաբերություններին վերաբերող
պնդումները, գիտելիքները կիրառել 4-12, 15-18 խնդիրների տիպի
խնդիրներ լուծելիս:
§2-
Գ ի տ ե ն ա լ ‘ ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված
բարձրության և ներքնաձիգի վրա առաջացած հատվածների հա-
մեմւստականությունը, եռանկյան կիսորդի հատկության մասին թեորեմը:

55 ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ ապացուցել նշված թեորեմներն ու դրանց հետևանքները,
գիտելիքները կիրառել 22, 25-28, 30-32, 35, 45, 48
խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§3.
Գիտենալ հատվող լարերի հատվածների հատկությունը և շրջանագծի
հատողի ու շոշափողի հատկությունն արտահայտող թեորեմներն ու
հետևանքները:
Կ արուլաՆւս լ ապացուցել հատվող լարերի հատվածների հատկությունն
արտահայտող թեորեմը, գիտելիքները կիրառել 57-59, 61-67, 71
խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

10.գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1-
1-ին տարբերակ
1. Երկու նման եռանկյուններից առաջինի պարագիծը 8 անգամ փոքր
է երկրորդի պարագծից: Որոշեք երկրորդ և առաջին եռանկյունների
ա)նմանակ կողմերի հարաբերությունը, բ)մակերեսների հարաբերությունը:
2. Ապացուցեք, որ նման ուղղանկյուն եռանկյուններին արտագծած
շրջանագծերի շառավիղները հարաբերում են, ինչպես նրանց
ներքնաձիգները:
2-րդ տարբերակ
1. Երկու նման եռանկյուններից առաջինի մակերեսը 36 անգամ մեծ է
երկրորդ եռանկյան մակերեսից: Որոշեք առաջին և երկրորդ եռանկյունների’
ա)նմանակ կողմերի հարաբերությունը, բ)պարագծերի
հարաբերությունը:
2. Ապացուցեք, որ նման ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգները
հարաբերում են, ինչպես այդ ներքնաձիգներին տարված միջնագծերը:
3-րդ տարբերակ
1. Երկու նման ուղղանկյուն եռանկյուններից մեկի ներքնաձիգը 18սմ
է, իսկ մակերեսը 9 անգամ մեծ է մյուսի մակերեսից: Գտեք այդ
եռանկյունների ուղիղ անկյան գագաթներից տարված միջնագծերը:
2. Ապացուցեք, որ երկու նման ուղղանկյուն եռանկյուններին ներգծած
շրջանագծերի շառավիղների հարաբերությունը հավասար է
նմանության գործակցին:

56 ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

§ 2
1-ին տարբերակ
1. С ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան CD բարձրությունը
12սմ է, և այն ներքնաձիգը տրոհում է հատվածների, որոնցից BD-ն
16սմ է: Գտեք АС-ն, ВС-ն, АВ-ն, AD-ն:
2. Գտեք այն հատվածները, որոնց տրոհվում է 4սմ, 6սմ և 7սմ կողմերով
եռանկյան մեծ կողմը նրան տարված կիսորդով:
2-րդ տարբերակ
1. С ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան CD բարձրությունը
л/8 սմ է, իսկ AC էջը Յսմ: Գտեք АВ-ն, ВС-ն, AD-ն, BD-ն:
2. 4սմ, 5սմ, Ցսմ կողմերով եռանկյան փոքր կողմին տարված է եռանկյան
կիսորդ, որով այդ կողմը տրոհվում է երկու հատվածների:
Գտեք այդ հատվածները:
3-րդ տարբերակ:
1. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 25սմ է, իսկ նրան տարված
բարձրությունը 12սմ: Գտեք եռանկյան էջերը:
2. ABC եռանկյան В անկյունը կրկնակի մեծ է А անկյունից: В անկյան
կիսորդը AC կողմը տրոհում է AD=6uմ և ԸՇ=Յսմ հատվածների:
Գտեք ABC եռանկյան անկյունները:
§3
1-ին տարբերակ
1. Շրջանագծի AB և CD լարերը հատվում են К կետում, ընդ որում АВ
լարը К կետով տրոհվում է 10սմ և 6սմ երկարությամբ հատվածների:
Ի՞նչ երկարության հատվածների է տրոհվում CD լարը К կետով,
եթե հայտնի է, որ CD-ն АВ-ից մեծ է Յսմ-ով:
2. Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Հատողի
արտաքին մասը 4սմ է, ներքին մասը’ 12սմ: Գտեք շոշափողի
հատվածը:
2-րդ տարբերակ
1. Շրջանագծի MN և KL լարերը հատվում են А կետում, ընդ որում’
այդ կետով MN-ը տրոհվում է 1սմ և 15սմ երկարությամբ հատ

57 ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

եթե հայտնի է, որ KL-ը երկու անգամ փոքր է MN-ից:
2. Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող ե շոշափող: Հատողը
18սմ է, իսկ շոշափողի հատվածը’ 12սմ: Գտեք հատողի ներքին և
արտաքին մասերը:
3-րդ տարբերակ
1. Շրջանագծի ներսում վերցված А կետով տարված են երեք լարեր:
Հայտնի է, որ А կետը այդ լարերից երկուսը տրոհում է 2:1
հարաբերությամբ: А կետով ի՞նչ հարաբերությամբ է տրոհվում
երրորդ լարը:
2. Շրջանից դուրս տրված կետից տարված են այդ շրջանագծին երկու
հատողներ, որոնց ներքին մասերը հավասար են: Ապացուցեք, որ
այդ հատողների արտաքին մասերը ես հավասար են:

10.դ. Ստուգողական աշխատանք N1

1-ին տարբերակ
1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան BC նեքնաձիգին տարված AD
բարձրությունը 12սմ է, իսկ AB Էջը’20սմ: Գտեք AC Էջը:
2. Շրջանագծի MN լարը К կետում հատվում Է ОА շառավիղին, որն
այդ կետով կիսվում Է, իսկ MN լարը տրոհվում Է հատվածների
հ/11<=1սմ, KN-Ցսմ: Գտեք այդ շրջանագծի շառավիղը:
2-րդ տարբերակ
1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան BD բարձրությունը 24սմ Է և AC
ներքնաձիգից անջատում Է 18սմ-ի հավասար DC հատվածը: Գտեք
AB Էջը:
2. 12սմ շառավիղով շրջանագծի AB լարը С կետում հատվում Է ОМ
շառավիղին, որն այդ կետով կիսվում Է, իսկ АВ լարը տրոհվում Է 6:1
հարաբերությամբ: Գտեք АВ լարը:
3-րդ տարբերակ
1. ABCD հավասարասրուն սեղանի AC անկյունագիծն ուղղահայաց Է
CD սրունքին: Գտեք սեղանի բարձրությունը, եթե նրա հիմքերն են
10սմ և Ցսմ:

58 ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

2. Շրջանից դուրս գտնվող М կետից շրջանագծին տարված են
շոշափողներ և կենտրոնով անցնող հատող, ընդ որում շոշափողի
հատվածը 8սմ է, իսկ հատողի արտաքին մասը 4սմ: Գտեք
շոշափման կետերի հեռավորությունը միմյանցից:

59 ՆՄԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ

11.ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ:

11. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Այս գլխի հիմնական նպատակն է եռանկյունաչափության տարրերի
ներմուծման միջոցով ընդլայնել երկրաչափական պատկերների հետազոտության
շրջանակը: Այդ նպատակով նախ ծանոթություն է տրվում
եռանկյունաչափության այն տարրերին, որոնք անհրաժեշտ են ուղղանկյուն
եռանկյունները լուծելու համար: Այնուհետև, օգտագործելով
կոորդինատային ուղղանկյուն համակարգը, ներմուծվում են 0°-ից 180°
անկյունների սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը, ապացուցվում են սինուսների
և կոսինուսների թեորեմները: Եռանկյունաչափության տարրերը
կիրառվում են ինչպես եռանկյունների լուծման խնդիրների, այնպես
էլ երկրաչափական պատկերների մակերեսների հաշվման բանաձևեր
արտածելու ընթացքում:
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրներն ՜
ըստ պարագրաֆների հետնյալներն են.
§1.Ներմուծել ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի
և տանգենսի հասկացությունները, հաշվել դրանց արժեքները 30°,
45° և 60° անկյունների համար:
§2.Ամփոփել և ընդհանրացնել սովորողների’ հանրահաշվի դասընթացից
արդեն ստացած գիտելիքները կոորդինատների մեթոդի մասին,
զարգացնել երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս հանրահաշվական
ապարատ կիրառելու կարողություններ, այդ թվում կոորդինատների
համակարգը հարմար ձևով ներմուծելու, դիտարկվող խնդրի պայմանները
կոորդինատներով արտահայտելու և խնդիրը հանրահաշվական
հաշվումների միջոցով լուծելու կարողությունը:
§Յ.Ներմուծել 0°-ից 180° անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը, արտածել
բերման բանաձևերը և բանաձևեր կետի կոորդինատները
հաշվելու համար, որոնք անհրաժեշտ են եռանկյան մակերեսի մասին
թեորեմի և կոսինուսների թեորեմի ապացուցման համար:

60 ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ  

§4.Ապացուցել եռանկյան մակերեսի մասին թեորեմը, սինուսների և կոսինուսների
թեորեմները, սովորողներին ծանոթացնել եռանկյունների
լուծման մեթոդներին և չափողական այն աշխատանքներին,
որոնք հիմնված են նշված թեորեմների կիրառության վրա:
§5.Եռանկյունաչափության տարրերի կիրառության միջոցով արտածել
մակերեսների հաշվման բանաձևեր, այդ թվում’ զուգահեռագծի (կից
կողմերով և անկյունով), քառանկյան (անկյունագծերով և դրանց
կազմած անկյունով), եռանկյան (երեք կողմերով’ Հերոնի բանաձևը),
ինչպես նաև բացահայտել եռանկյան մակերեսի, կողմերի և արտսւ-
գծյալ շրջանագծի շառավիղի միջև կապը:

11.բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները

տ ե ն ա լ ‘ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի,
տանգենսի սահմանումները, եռանկյունաչափական հիմնական
նույնությունը, 30°, 45°, 60° անկյունների համար սինուսի, կոսինուսի և
տանգենսի արժեքները:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ ապացուցել եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը,
անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքներից մեկի
միջոցով որոշել մյուսների արժեքները, գիտելիքները կիրառել 101-104,
108-110, 113,114 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§ 2-
Գ ի տ ե ն ա լ ‘ ծայրակետերի կոորդինատներով տրված հատվածի
միջնակետի կոորդինատները հաշվելու բանաձևը, հատվածի երկարությունը
(երկու կետերի հեռավորությունը) հաշվելու բանաձևը:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ ընտրել կոորդինատային ուղղանկյուն համակարգ,
պարզ խնդիրների տվյալները արտահայտել կոորդինատներով, գիտելիքները
կիրառել 117-128 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§3.
Գ ի տ ե ն ա լ ‘ թե ինչպես են ներմուծվում 0°-ից 180° անկյունների
սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը, կետի կոորդինատների հաշվման բանաձևերը,
բերման բանաձևերը 90°±а, 180°-а տեսքի անկյունների համար:
Կ ա յ ւ ո ւ լ ա ն ա լ ապացուցել եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը,
անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքներից մեկի

61 ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ 

գիտելիքները կիրառել 141-149, 156 խնդիրների տիպի խնդիրներ
լուծելիս:
§4.
Գ ի տ ե ն ա լ ‘ եռանկյան մակերեսի մասին թեորեմը’ սինուսների և
կոսինուսների թեորեմները:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ ապացուցել նշված թեորեմները, գիտելիքները
կիրառել 157-161,165-167,169 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§5.
Գ ի տ ե ն ա լ ‘ զուգահեռագծի մակերեսի հաշվման բանաձևը (կից
կողմերով և անկյունով), քառանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևը
(անկյունագծերով և դրանց կազմած անկյունով), Հերոնի բանաձևը:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ գիտելիքները կիրառել 178-184, 186 խնդիրների
տիպի խնդիրներ լուծելիս:

11 .գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§ 1
1-ին տարբերակ
1. Հավասարասրուն սեղանի փոքր հիմքը 4սմ է, սրունքը’ 6սմ, իսկ
անկյուններից մեկը 120°: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը և
բարձրությունը:
2. Գտեք sinA-ն և tgA-ն, եթե cosA=0,8:
2-րդ տարբերակ
1. Ուղղանկյուն սեղանի փոքր հիմքը Յսմ է, մեծ սրունքը’ 4սմ, իսկ
անկյուններից մեկը 150°: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը և փոքր
սրունքը:
2. Գտեք sinA-ն և tgA-ն, եթե cosA=0,6:
3-րդ տարբերակ
1
1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան AB ներքնաձիգը 6սմ է, իսկ cosA= —:
О
Գտեք եռանկյան պարագիծը:

62 ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ 

2. Գտեք sina-ն և cosa-ն, եթե tga= —4
§2-
1-ին տարբերակ
1. Տրված են А(1,2) և В(3,-4) կետերը: Գտեք С կետի կոորդինատները,
եթե հայտնի է, որ В կետը AC հատվածի միջնակետն է:
2. Տրված են եռանկյան գագաթները A(7,5), B(0,4), С(6,0): Գտեք
եռանկյան ВС կողմին տարված միջնագծի երկարությունը:
2-րդ տարբերակ
1. Տրված են А(0,6) և М(2,4) կետերը: Գտեք В կետի կոորդինատները,
եթե հայտնի է, որ М-ը АВ հատվածի միջնակետն է:
2. Տրված են եռանկյան գագաթները’ А(5,10), В(5,0), С(2,1): Գտեք
եռանկյան AB կողմին տարված միջնագծի երկարությունը:
3-րդ տարբերակ
1. Տրված են եռանկյան կողմերի միջնակետերը M(2,4), N(3,2), К(4,5):
Գտեք եռանկյան գագաթները:
2. Ապացուցեք, որ ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե տրված
են նրա գագաթները A(-4,2), B(-3,5), C(0,6), D(-1,3):
§3
Նկատի ունենալով, որ եռանկյունաչափության որոշ տարրեր
սովորողներին արդեն ծանոթ են 1-ին պարագրաֆից, ուսումնական
նյութի իմացությունը նպատակահարմար է ստուգել’ օգտագործելով մ՛աթեմ՛ատիկական թելադրություն.
1. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը հավասար են Յսմ, 4սմ, 5սմ: Գտեք
այդ եռանկյան ամենափոքր անկյան սինուսը:
2. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը հավասար են 26մ, 24մ և 10մ:
Գտեք եռանկյան մեծ սուր անկյան տանգենսը:
3. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 6դմ է, իսկ նրա հանդիպակաց
անկյունը 30°: Գտեք այդ եռանկյան ներքնաձիգը:
4. Հաշվելով ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկի
սինուսը աշակերտն ստացել է 1,5 թիվը: Հաշվումներն արդյոք
ճի՞շտ է կատարել նա:

63 ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ 

5. Գտեք սուր անկյան սինուսը, եթե նրա կոսինուսը — է:
13
6. Գտեք սուր անկյան տանգենսը, եթե նրա սինուսը 0,8 է:
ց
7. Գտեք բութ անկյան տանգենսը, եթե նրա կոսինուսը է:
41
*
1-ին տարբերակ
օ
1. Գտեք tga-ն, եթե sina=— և 90°<a<180°:
5
2. Միավոր կիսաշրջանագծի վրա տրված է A(—,———-1— 2—-J-l—) կետը: Որոշեք
3 3
OA ճառագայթի’ աբսցիսների դրական կիսառանցքի հետ կազմած
անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:
3. Բաղդատեք sina-ն և տտթ-ն, եթե a<p<90°:
2-րդ տարբերակ
1. Գտեք tga-ն, եթե cosa=- — (90°<a< 180°):
5
2. Միավոր կիսաշրջանագծի վրա տրված է А(^՛՜^՜) Կետը: 1 Ո-րуո/зշեք
ОА ճառագայթի՝ աբսցիսների դրական կիսառանցքի հետ կազմած
անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը:
3. Բաղդատեք cosa-ն և օօտթ-ն, եթե a<p<90°:
3-րդ տարբերակ
1
1. Գտեք tga-ն, եթե cosa=- —:
8
2. Հաշվեք 150° անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը:
3. Դասավորեք նվազման կարգով. էց40°, էց95°, 1:

§4 Մաթեմատիկական թելադրություն

1. Գտեք այն եռանկյան մակերեսը, որի կողմերն են Ցսմ, Ցսմ, 1 Օսմ:

64 ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ 

2. Գտեք անկյան կոսինուսը, եթե նրա սինուսը — է:
3. Գտեք անկյան սինուսը, եթե նրան կից անկյան սինուսը 0,4 է:
4. ОА ճառագայթը աբսցիսների դրական կիսառանցքի հետ կազմում է
30° անկյուն: Գտեք А կետի կոորդինատները, եթե ОА=8ф5:
5. Որոշեք, թե սուրանկյու՞ն, ուղղանկյու՞ն, թե՞ բութանկյուն է
1
եռանկյունը, եթե նրա երկու անկյուններն են 35° և 56°:
6. Միավոր կիսաշրջանագծի А կետն ունի Уз չ
2 ‘ 2
կոորդինատները:
Գտեք ОА ճառագայթի Ox դրական կիսառանցքի հետ կազմած
անկյունը:
7. Գտեք 135° անկյան տանգենսը:
8. Որոշեք’ սու՞ր, ուղի՞ղ, թե՞ բութ է a անկյունը, եթե lli)cos(x<0,
p)tga>0, q)sina<1:
1-ին տարբերակ
1. Խնդիր’ 157,ա:
2. Խնդիր’ 165,բ:
3. Խնդիր 169,ա:
2-րդ տարբերակ
1. Խնդիր 157,բ:
2. Խնդիր’ 165,ա:
3. Խնդիր’ 169,գ:
3-րդ տարբերակ
1. Խնդիր 161:
2. Խնդիր 167:
3. Խնդիր 172:
§5
1-ին տարբերակ
1. Խնդիր’ 180:
2. Խնդիր 183:

65 ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ 

2-րդ տարբերակ
1. Խնդիր 181:
2. Խնդիր’ 185:
3-րդ տարբերակ
1. Խնդիր 182:
2. Խնդիր’191:

11.դ. Ստուգողական աշխատանք N 2

1-ին տարբերակ
1. Գտեք ОА ճառագայթի և Ox դրական կիսառանցքի կազմած
անկյան տանգենսը, եթե A(-1,3):
2. Լուծեք ABC եռանկյունը, եթե Հ!3=3ժ, ՀՇ=10!?, BC=3<j2 սմ:
3. Հաշվեք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե նրա անկյունագծերը հավասար
են Ցսմ և 5սմ, իսկ դրանց կազմած անկյուններից մեկը 12Ժ է:
2-րդ տարբերակ
1. Գտեք OA ճառագայթի և Ox դրական կիսառանցքի կազմած
անկյան տանգենսը, եթե A(-3,3):
2. Լուծեք BCD եռանկյունը, եթե ZB=4tf, ՀԾ=6Ժ, ВС=4з մ:
3. 36սմ մակերեսով քառանկյան անկյունագծերից մեկը Ցսմ է: Գտեք
նրա մյուս անկյունագիծը, եթե հայտնի է, որ անկյունագծերի
կազմած անկյունը 4մ Է:
3-րդ տարբերակ
1. Գտեք ОС ճառագայթի և Ox դրական կիսառանցքի կազմած
անկյունը, եթե C(J3,1/՜
2. Լուծեք CDE եռանկյունը, եթե ՀՇ=6Ժ, ՇՕ=8դմ, Շ£-5դմ:
3. Գտեք 13սմ, 14սմ և 15սմ կողմերով եռանկյան մեծ բարձրությունը:

66 ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

12. ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՇՐՋԱՆԻ ՄԱԿԵՐԵՍԸ

12. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Այս գլխի նյութը ավանդական է, քննության են առնվում հարցեր,
որոնք վերաբերում են շրջանագծի երկարության և շրջանի մակերեսի
հաշվմանը: Նախապես դիտարկվում են կանոնավոր բազմանկյունները,
ապացուցվում են կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած և արտագծած
շրջանագծերի մասին թեորեմները:
Շրջանագծի երկարության և շրջանի մակերեսի հաշվման բանաձևերի
արտածման հիմքում ընկած են հաջորդականության սահմանի
ինտուիտիվ պատկերացումը: Շրջանագծին ներգծած (արտագծած) կանոնավոր
բազմանկյան կողմերի թվի անսահմանափակ մեծացման
դեպքում նրա պարագիծը ձգտում Է այդ շրջանագծի երկարությանը,1
իսկ մակերեսը շրջանագծով եզերված շրջանի մակերեսին:
Ուսուցման հիմն ական նպատակներն ու խնդիրները’
ըստ պարագրաֆննրի, հնտեյալննրն սն.
§1.Ներմուծել կանոնավոր բազմանկյան հասկացությունը, ապացուցել
կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած և արտագծած շրջանագծերի
մասին թեորեմները, արտածել բանաձևեր, որոնք արտահայտում Են
կանոնավոր բազմանկյան կողմի և մակերեսի կապերը ներգծած և
արտագծած շրջանագծերի շառավիղների հետ, ինչպես նաև դի-
տարկել կանոնավոր բազմանկյունների կառուցման խնդիրներ:
§2.Դիտարկել շրջանագծի երկարության և շրջանի մակերեսի հաշվման
բանաձևերը, արտածել շրջանային աղեղի երկարության, շրջանային
սեկտորի և սեգմենտի մակերեսների հաշվման բանաձևերը:

12.բ. Սովորողներին ներկայացվող հիմնական պահանջները

§ 1 Գ ի տ ե ն ա լ կանոնավոր բազմանկյան սահմանումը, կանոնավոր
բազմանկյանը ներգծած շրջանագծի և արտագծած շրջանագծի մասին
թեորեմները, կանոնավոր բազմանկյան անկյան, կողմի, մակերեսի և
նրան ներգծած ու արտագծած շրջանագծերի շառավիղների հաշվման
բանաձևերը:
1 Ջգուշսւցում’ տպագրելիս դասագրքի 34-րդ կետում C , R’,Pn
նշանակումների մեջ «’» նշանը չի արտատպվել:

67 ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՇՐՋԱՆԻ ՄԱԿԵՐԵՍԸ 

Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ ապացուցել նշված թեորեմները և արտածել նշված
բանաձևերը, գիտելիքները կիրառել 215, 217, 219, 229, 233, 240
խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§շ.
Գ ի տ ե ն ա լ շրջանագծի և շրջանային աղեղի երկարությունների,
շրջանի, շրջանային սեկտորի և սեգմենտի մակերեսների հաշվման
բանաձևերը:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ գիտելիքները կիրառել 243-246, 265, 269, 270, 271
խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:

12.գ. Ինքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1. Թեմայի լավ յուրացման համար օգտակար է լուծել կրկնողական
բնույթի հետևյալ խնդիրները.
1. Ուռուցիկ հնգանկյան բոլոր անկյուններն իրար հավասար են: Գտեք
այդ անկյուններից յուրաքանչյուրը:
2. Ապացուցեք, որ երկու հավասար բարձրություններ ունեցող եռանկյունը
հ՛ավասարասրուն է:
3. 5սմ շառավիղով շրջանագիծը А անկյան կողմերը շոշափում է В և С
կետերում: Գտեք АВ և AC հատվածների երկարությունները, եթե
շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը անկյան գագաթից 16սմ է:
4. Երկու շրջանագծեր հատվում են A և В կետերում: Ապացուցեք, որ
АВ հատվածն ուղղահայաց է նրանց կենտրոններով անցնող ուղղին:
5. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի
կենտրոնը գտնվում է եռանկյան միջնագծերից մեկի վրա, իսկ
արտագծած շրջանագծի կենտրոնը այդ նույն միջնագծի կամ նրա
շարունակության վրա:
6. Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյանը ներգծած շրջանագծի
շառավիղը կրկնակի փոքր է նրան արտագծած շրջանագծի
շառավիղից:
7. ABCD քառանկյունը ներգծած Է շրջանագծին: Ապացուցեք, որ
ZA+ZC=ZB+ZD:
8. Ապացուցեք, որ г շառավիղով շրջանագծին արտագծած ցանկացած
բազմանկյան Տ մակերեսը հաշվվում Է S=pr բանաձևով, որտեղ
р-ն այդ բազմանկյան կիսապարագիծն է:

68 ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՇՐՋԱՆԻ ՄԱԿԵՐԵՍԸ 

1-ին տարբերակ
1. Խնդիր 215,բ:
2. Խնդիր 217,գ:
3. Խնդիր 218դ:
4. Ապացուցեք, որ կանոնավոր վեցանկյան մեկընդմեջ վերցված երեք
գագաթները կանոնավոր եռանկյան գագաթներ են:
2-րդ տարբերակ
1. Խնդիր’215,դ:
2. Խնդիր’217,ա:
3. Խնդիր 218,գ:
4. Ապացուցեք, որ կանոնավոր ութանկյան մեկընդմեջ վերցված չորս
գագաթները կանոնավոր քառանկյան գագաթներ են:

§2 Մաթեմ՛ատիկական թելադրություն

1. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա կողմը ձգում
է արտագծած շրջանագծի 18°-ի աղեղ:
2. Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրան արտագծած շրջանագծի
շառավիղը 2սմ է:
3. Ավարտեք նախադասությունը. «Շրջան է կոչվում հարթության այն
մասը … »:
4. Գտեք կանոնավոր եռանկյան մակերեսը, եթե նրա կենտրոնի
հեռավորությունը գագաթից 2դմ է:
5. Գտեք քառակուսուն ներգծած շրջանագծի շառավիղը, եթե նրան
արտագծած շրջանագծի շառավիղը 2սմ է:
6. Ինչի է հավասար օօտՕ°-ը:
7. Գտեք կանոնավոր 9-անկյան անկյունը:
8. Կարկինի և քանոնի միջոցով կառուցեք կանոնավոր վեցանկյուն:
1-ին տարբերակ
1. խնդիր 245:
2. խնդիր 255:
3. խնդիր 271,բ:
4. Լրացուցիչ խնդիր 262,ա:

69 ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՇՐՋԱՆԻ ՄԱԿԵՐԵՍԸ 

2-րդ տարբերակ
1. Խնդիր’243,բ:
2. Խնդիր’ 264,ա:
3. խնդիր 271,դ:
4. Լրացուցիչ խնդիր 262,բ:

12.դ. Ստուգողական աշխատանք N3

1-ին տարբերակ
1. Շրջանագծին ներգծած կանոնավոր եռանկյան պարագիծը 45սմ է:
Գտեք այդ շրջանագծին ներգծած կանոնավոր ութանկյան կողմը:
2. Գտեք շրջանի մակերեսը, եթե նրա շրջանագծին ներգծած քառակուսու
մակերեսը 72դԺ Է:
3. Գտեք 8սմ շառավիղով աղեղի երկարությունը, եթե նրա աստիճանային
չափը 15Ժ է:
2-րդ տարբերակ
1. Շրջանագծին ներգծած կանոնավոր եռանկյան պարագիծը 48մ Է:
Գտեք այդ շրջանագծին ներգծած քառակուսու կողմը:
2. Գտեք շրջանագծի երկարությունը, եթե նրան ներգծած կանոնավոր
վեցանկյան մակերեսը 72^3 utf է:
3. Գտեք շրջանային սեկտորի մակերեսը, եթե նրա աղեղի աստիճանային
չափը 12Ժ է, իսկ շրջանագծի շառավիղը’ 12սմ:
3-րդ տարբերակ
1. Շրջանագծին ներգծած քառակուսու պարագիծը 48սմ Է: Գտեք այդ
շրջանագծին ներգծած կանոնավոր հնգանկյան կողմը:
2. Գտեք ընդհանուր կենտրոնով երկու շրջանագծերով սահմանափակված
օղակի մակերեսը, եթե փոքր շրջանագծի շառավիղը Յսմ
Է, իսկ մեծ ինը’ 7սմ:
3. Գտեք սեգմենտի մակերեսը, եթե նրա լարի երկարությունը 4մ է, իսկ
աղեղի աստիճանային չափը 6ժ:

70 ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՇՐՋԱՆԻ ՄԱԿԵՐԵՍԸ

13. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ

13. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Այս գլխով ավարտվում է դասընթացի բովանդակությունը: «Վեկտորներ
» թեմայի ուսուցումը պետք է կատարել երկու տեսանկյունից:
Տեսանկյուններից մեկը վեկտորի իբրև ուղղորդված հատվածի հասկացության
կիրառությունն է երկրաչափական խնդիրների լուծման ընթացքում:
Դրա համար ելակետ են ծառայում ֆիզիկական մի շարք մեծությունների
ընդհանրացումն ու վերացարկումը: Դրա հետ մեկտեղ
ընդհանուր ծանոթություն է տրվում վեկտորական հանրահաշվի տարրերի
մասին, ինչը հնարավորություն է տալիս երկրաչափական տարբեր
իրավիճակներ արտահայտող խնդիրները փոխադրել հանրահաշվական
մի քանի ստանդարտ խնդիրների: Այսպիսով, «Վեկտորներ» թեմայի
միջոցով հաստատվում են միջառւսրկայական էական կապեր ֆիզիկայի,
երկրաչափության և հանրահաշվի միջև: Նկատենք, որ թեմայում
ընդգրկված խնդիրների համակարգն այնպիսին է, որ մասամբ նպաստում
է դասընթացի կրկնողությանը, և միաժամանակ բավարար հիմք է
հանդիսանում սովորողների հետագա կրթության շարունակման համար:
Վեկտորներին վերաբերող գիտելիքների հետագա ընդլայնումն ու
խորացումը նախատեսվում է ավագ դպրոցի դասընթացում:
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները’
ըստ պարագրաֆների հետևյալներն են.
§1.Ներմուծել վեկտորի, նրա երկարության, համագիծ և հավասար վեկտորների
հասկացությունները, սովորեցնել պատկերել և նշանակել
վեկտորները, տեղադրել վեկտորը հարթության ցանկացած կետից:
§2.Ներմուծել երկու վեկտորների գումարի հասկացությունը, հիմնավորել
դրանց գումարման օրենքները և դրանց հիման վրա ներմուծել
երեք և ավելի վեկտորների գումարի հասկացությունը, ներմուծել
տրվածին հակադիր վեկտորի հասկացությունը, սահմանել երկու
վեկտորների տարբերությունը, սովորեցնել եռանկյան, բազմանկյան
և զուգահեռագծի կանոնները:
§Յ.Ներմուծել վեկտորը թվով բազմապատկելու գործողությունը, սովորեցնել
այդ արտադրյալի հատկությունները, մի քանի օրինակով
լուսաբանել վեկտորների կիրառությունը երկրաչափական խնդիրներ
լուծելիս և թեորեմներ ապացուցելիս:

71 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

§4.Ներմուծել վեկտորի կոորդինատների հասկացությունը, հիմնավորել,
կոորդինատներով տրված վեկտորների հետ գործողությունների կանոնները,
ծանոթություն տալ երկու վեկտորների կազմած անկյան և
վեկտորների սկալյար արտադրյալի մասին

13.բ. Սովորողներին ներկայացվող պահանջները.

§ 1
Գ ի տ ե ն ա լ վեկտորի, համագիծ վեկտորների և հավասար վեկտորների
սահմանումները:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ պատկերել և նշանակել վեկտորները, տրված վեկտորը
տեղադրել տրված կետից, գիտելիքները կիրառել 296-298, 300-
307 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§2-
Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ վեկտորն է կոչվում երկու վեկտորների գումար,
երկու վեկտորների տարբերություն, տրվածին հակադիր վեկտոր,
եռանկյան, բազմանկյան և զուգահեռագծի կանոնները:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ գիտելիքները կիրառել 308, 309, 311, 314, 314-320,
325 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§3.
Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ վեկտորն է կոչվում վեկտորի և թվի արտադրյալ:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ձևակերպել վեկտորի և թվի արտադրյալի հատկությունները,
վեկտորների կիրառմամբ ապացուցել սեղանի միջին գծի
մասին թեորեմը, գիտելիքները կիրառել 334, 337-342, 347 խնդիրների
տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§4.
Գ ի տ ե ն ա լ համագիծ վեկտորների մասին լեմմի և վեկտորների
վերածման մասին թեորեմի ձևակերպումները, կոորդինատներով
տրված վեկտորների հետ գործողությունների կանոնները:
Կ ա |1 п ղ ւ ս ն ա լ ‘ բացատրել, թե ինչ է վեկտորների կազմած անկյունը,
գիտելիքները կիրառել 354-356, 359, 363 խնդիրների տիպի
խնդիրներ լուծելիս:

72 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

13.գ. ԻՆքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1-
1-ին տարբերակ
— » — »
1. Պատկերեք որևէ а վեկտոր: Կառուցեք այնպիսի MN և PQ
—> —>
վեկտորներ, որ MN = a , PQ tl а :
— > — >
2. ABCD-ն զուգահեռագիծ է: Ապացուցեք, որ AB = DC:
2-րդ տարբերակ
_ —> —>
1. Պատկերեք որևէ b վեկտոր: Կառուցեք այնպիսի AB և CD
վեկտորներ, որ AB Ti b, CD = b:
— > — >
2. M, К, N, Р կետերը չեն գտնվում մի ուղղի վրա, և KM = PN:
Ապացուցեք, որ KMNP-ն զուգահեռագիծ է:
3-րդ տարբերակ
—) —>
1. M կետը գտնվում է AB հատվածի վրա: Կառուցեք MK և MN
վեկտորներն այնպես, որ MK = AB, MN = BA: Գտեք KN-ը, եթե
AB=a:
— > — »
2. О կետը գտնվում է ABCD քառանկյան ներսում, АО = ОС,
BO = OD: Ապացուցեք, որ AB = DC:
13.գ. ԻՆքնուրույն աշխատանքի նյութեր
1-ին տարբերակ
Տրված է BC ներքնաձիգով ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Կառուցեք
2-րդ տարբերակ
Տրված է AB ներքնաձիգով ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Կառուցեք
§2-
p = /Ш+ АС- ВС վեկտորը և գտեք |р| -ն, եթե АВ = 8 սմ:
— I _ I m = BA+ ВС- СА վեկտորը և գտեք |m| ֊ը, եթե ՑՇ=9սմ:

73 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

3-րդ տարբերկ
Տրված է AD և ВС հիմքերով ABCD սեղանը: Կառուցեք
а = АВ+ CD— ВС վեկտորը և գտեք |а|-0, եթե AD=12֊ud, BC=5ufr
§3
1-ին տարբերակ
1. Գծագրեք a և b երկու տարագիծ վեկտորներ, |<5| = 3սմ, |ծ| = 2սմ:
_ 1 —
Կառուցեք p = 3a-—ծ վեկտորը:
— > — >
2. KMNP-ն զուգահեռագիծ է: m = KM և ո = KP վեկտորների միջոցով
—) — >
արտահայտեք MA և AB վեկտորները, որտեղ А-ն PN հատվածի
կետ է, PA:AN=2:1, В-ն MN հատվածի միջնակետն է:
2-րդ տարբերակ
1. Գծագրեք m և ո երկու տարագիծ վեկտորներ, |m| = 2 սմ, |ո| = 3սմ:
Կառուցեք a = 3m—_ ո1 վ ե_կտորը:
3
2. ABCD զուգահեռագծի մեջ М-ը CD-ի միջնակետն է, N-ը AD կողմի
կետ է, և AN:ND=1:2: CN ե MN վեկտորներն արտահայտեք b = ВС
— >
և а = BA վեկտորների միջոցով:
3-րդ տարբերակ
1. ABC եռանկյան մեջ ZC=90°, AC=3u^ 6Շ=4սմ: Կառուցեք
b = — CA+ 2CB- 0,5AB վեկտորը:
3
2. ABCD սեղանի մեջ AB||CD, AB=3CD: m = DA և ո = DC
— > — >
վեկտորների միջոցով արտահայտեք AM և MN վեկտորները,
որտեղ М-ը BC հատվածի միջնակետն է, իսկ N-ը AB կողմի
այնպիսի կետ է, որ AN:NB=2:3:

74 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

§4
1-ին տարբերակ
Գրառեք х\-2,—( 3
{ 4
կոորդինատային վեկտորների:
Գտեք a + b վեկտորի կոորդինատները, եթե a{2,-4} b{-1,0}:
ABCD քառակուսու անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք
— ) — )
АВ և АО վեկտորների կազմած անկյունը:
2-րդ տարբերակ
Գրառեք у{-4,0} վեկտորի վերածումը’ըստ i և j կոորդինատային
վեկտորների:
Գտեք a-b վեկտորի կոորդինատները, եթե a{0,-4}, b{l,-l}:
ABCD քառակուսու անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք
ВС և ВО վեկտորների կազմած անկյունը:
3-րդ տարբերակ
Գրառեք 2х + у վեկտորի վերածումը ըստ i և j կոորդինատային
վեկտորների, եթե x{-1,0} y{3,4}:
а և b վեկտորները տարագիծ են: Հւսմագի՞ծ, թե՞ տարագիծ են й
և a + b վեկտորները: Պատասխանը հիմնավորեք:
Գտեք а{-1,1} վեկտորի կազմած անկյունը Ox դրական կիսառանցքի
հետ:

1. 3.դ. Ստուգողական աշխատանք N 4

1-ին տարբերակ
E և F կետերը գտնվում են ABCD զուգահեռագծի համապատասխանաբար
AD և BC կողմերի վրա, ընդ որում AE=ED, BF:FC=4:3:
— > — ) — >
ա) EF վեկտորն արտահայտեք m = AB և ո- AD վեկտորներով:

75 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

բ)Կարո’ղ է, արդյոք х-ի ինչ-որ արժեքի դեպքում տեղի ունենալ
— » — »
EF = X • CD հավասարությունը:
2. Որոշեք а{1,3} վեկտորի և կոորդինատային \ վեկտորի գումարի
կոորդինատները:
2-րդ տարբերակ
1. К կետը գտնվում Է ABCD զուգահեռագծի АВ կողմի վրա, իսկ М
կետը’ CD կողմի վրա, ընդ որու մ’ AK=KB, CM:MD=2:5:
) — ) — >
ш)КМ վեկտորն արտահայտեք р = АВ և q = AD վեկտորներով:
բ)Կարո՞ղ է, արդյոք, х-ի ինչ-որ արժեքի դեպքում տեղի ունենալ
KM = X • CB հավասարությունը:
2. Որոշեք Б{2,1} վեկտորի և կոորդինատային j վեկտորի տարբեր ու- (
թյան կոորդինատները:
3-րդ տարբերակ
1. M և N կետերը ABCD զուգահեռագծի BC և CD կողմերի
— > — > — >
միջնակետերն են: AC վեկտորն արտահայտեք m = AM և ո = AN
վեկտորներով:
2. Որոշեք a{v/3,l} վեկտորի կազմած անկյունները կոորդինատային \
և j վեկտորներից յուրաքանչյուրի հետ:

Տ ա ր ե վ ե ր ջ յ ա ն  ս տ ո ւ գ ո ղ ա կ ա ն
ա շ խ ա տ ա ն ք ի  տ ա ր բ ե ր ա կ ն ե ր

1-ին տարբերակ
1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB ներքնաձիգին տարված CD
բարձրությունը 12սմ է, իսկ AD հատվածը 9սմ: Գտեք. ш)ВС-0,
р)АВС եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը, q)ABC և
ADC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:
2. 2սմ և 8սմ հիմքերով հավասարասրուն սեղանին ներգծած Է շրջանագիծ:
Գտեք, ախեղանի սրունքը, բխեղանի մակերեսը, գ)ներ-
գծյալ շրջանագծի երկարությունը:

76 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

2-րդ տարբերակ
1. ABC եռանկյան մեջ AB=14u£ AC=15uմ, ՑՇ=13սմ: Գտեք ABC
եռանկյան ա) ամենափոքր բարձրությունը, բ) արտագծյալ շրջանագծի
շառավիղը, գ) ներգծյալ շրջանագծի երկարությունը:
2. Զուգահեռագծի փոքր անկյունագիծն ուղղահայաց է կողմին, իսկ
բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ կողմը տրոհում
է Ցսմ և 16սմ երկարությամբ հատվածների: Գտեք, ա) զուգահեռագծի
կողմերը, բ) զուգահեռագծի անկյունագծերը, գ) զոպա՝
հեռագծի մակերեսը:
3-րդ տարբերակ
1. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած Է
շրջանագիծ, որը AB և BC կողմերը շոշափում Է համապատասխանաբար
M և H կետերում: ա) Ապացուցեք, որ MBH և ABC եռանկյունները
նման են, բ) գտեք ZBAC-O և այդ շրջանագծի շառավիղը,
եթե AB=2մ, MH=W:
2. AD և ВС հիմքերով հավասարասրուն սեղանի մեջ ՀՕ=6ժ,
ВС= 12սմ, ՀBCA=ЗԺ: ա) Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն
է, բ) գտեք ACD եռանկյանն արտագծած շրջանագծի
երկարությունը, գ) հաշվեք ABCD սեղանի մակերեսը:

77 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՑԱՆԿ

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Փ., Глазков Ю.А. и лр. Изучение геометрии в
7-9 классах: Методические рекомендации к учевиику. Книга для
учителя. — 3-е изд. -М.: Просвещение, 2000.
2. Атанасян JI.C., Бутузов В.Ф. и др. Дополнительные главы к школьному
учевиику. -М.: Просвещение, 1997.
3. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы /Научно-практическое
объединение “Мир и семья”, Санкт-Петервург, 1995.
4. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Снининский В.Я., Луканкин Г.Л.
Методика преподавания математики в средней иисоле / -М.:
Просвещение, 1975.
5. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по
математике! -М., Наука, 1989. Глава 12.
6. Гусев В.А. Справочник школьника по геометрии/ -М.: Аквариум, 1997.
7. Погорелов А.В. Геометрия / -М.: Просвещение. АО “Московские
учевники”, 1995.
8. Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М., Чернишева Л.Ю. Геометрия в 6-ом
классе! -М.: Просвещение, 1986.
9. Карницевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 6-ом классе I -М.*
Просвещение, 1983.
10. Фирсов В.В. Планирование оБязателытых результатов овучения
математике/-М.: Просвещение, 1989. Глава 2(2.3), 3(3.3), 4(4.2).
11. Дудиицын 10.11. Геометрия 7-11 классы: планирование и контрольные
районы. / НПО “Овразоваиие”, I Полугодие, II полугодие. -М., 1998,99.
12. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами
исследования для 8 класса/для 9 класса. — М.: Просвещение, 1999, 2000.
1 3 . Աթանասյան Լ. Ս., Բուտոզով Վ. Ն. և ուրիշ. Մեթոդական ուղեցույց.
երկրաչափությունը 6-8-րդ դասարաններում / «Միտք», Երևան,
1998:
14. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ/«Միտք», Երևան, 1997. Գլուխ 9:
15. Նիկիտին Ն. Ն., Մասլովա Գ. Գ.. երկրաչափական խնդիրների
ժողովածու. VI-VIII դասարանների համար I Հայպետհրատ, Երևան,
1963:

78 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ

13. ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ

13. ա. Թեմայի ուսուցման հիմնական հարցերը

Այս գլխով ավարտվում է դասընթացի բովանդակությունը: «Վեկտորներ
» թեմայի ուսուցումը պետք է կատարել երկու տեսանկյունից:
Տեսանկյուններից մեկը վեկտորի իբրև ուղղորդված հատվածի հասկացության
կիրառությունն է երկրաչափական խնդիրների լուծման ընթացքում:
Դրա համար ելակետ են ծառայում ֆիզիկական մի շարք մեծությունների
ընդհանրացումն ու վերացարկումը: Դրա հետ մեկտեղ
ընդհանուր ծանոթություն է տրվում վեկտորական հանրահաշվի տարրերի
մասին, ինչը հնարավորություն է տալիս երկրաչափական տարբեր
իրավիճակներ արտահայտող խնդիրները փոխադրել հանրահաշվական
մի քանի ստանդարտ խնդիրների: Այսպիսով, «Վեկտորներ» թեմայի
միջոցով հաստատվում են միջառւսրկայական էական կապեր ֆիզիկայի,
երկրաչափության և հանրահաշվի միջև: Նկատենք, որ թեմայում
ընդգրկված խնդիրների համակարգն այնպիսին է, որ մասամբ նպաստում
է դասընթացի կրկնողությանը, և միաժամանակ բավարար հիմք է
հանդիսանում սովորողների հետագա կրթության շարունակման համար:
Վեկտորներին վերաբերող գիտելիքների հետագա ընդլայնումն ու
խորացումը նախատեսվում է ավագ դպրոցի դասընթացում:
Ուսուցման հիմնական նպատակներն ու խնդիրները’
ըստ պարագրաֆների հետևյալներն են.
§1.Ներմուծել վեկտորի, նրա երկարության, համագիծ և հավասար վեկտորների
հասկացությունները, սովորեցնել պատկերել և նշանակել
վեկտորները, տեղադրել վեկտորը հարթության ցանկացած կետից:
§2.Ներմուծել երկու վեկտորների գումարի հասկացությունը, հիմնավորել
դրանց գումարման օրենքները և դրանց հիման վրա ներմուծել
երեք և ավելի վեկտորների գումարի հասկացությունը, ներմուծել
տրվածին հակադիր վեկտորի հասկացությունը, սահմանել երկու
վեկտորների տարբերությունը, սովորեցնել եռանկյան, բազմանկյան
և զուգահեռագծի կանոնները:
§Յ.Ներմուծել վեկտորը թվով բազմապատկելու գործողությունը, սովորեցնել
այդ արտադրյալի հատկությունները, մի քանի օրինակով
լուսաբանել վեկտորների կիրառությունը երկրաչափական խնդիրներ
լուծելիս և թեորեմներ ապացուցելիս:

71 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

§4.Ներմուծել վեկտորի կոորդինատների հասկացությունը, հիմնավորել,
կոորդինատներով տրված վեկտորների հետ գործողությունների կանոնները,
ծանոթություն տալ երկու վեկտորների կազմած անկյան և
վեկտորների սկալյար արտադրյալի մասին

13.բ. Սովորողներին ներկայացվող պահանջները.

§ 1
Գ ի տ ե ն ա լ վեկտորի, համագիծ վեկտորների և հավասար վեկտորների
սահմանումները:
կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ պատկերել և նշանակել վեկտորները, տրված վեկտորը
տեղադրել տրված կետից, գիտելիքները կիրառել 296-298, 300-
307 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§2-
Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ վեկտորն է կոչվում երկու վեկտորների գումար,
երկու վեկտորների տարբերություն, տրվածին հակադիր վեկտոր,
եռանկյան, բազմանկյան և զուգահեռագծի կանոնները:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ‘ գիտելիքները կիրառել 308, 309, 311, 314, 314-320,
325 խնդիրների տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§3.
Գ ի տ ե ն ա լ , թե որ վեկտորն է կոչվում վեկտորի և թվի արտադրյալ:
Կ ա ր ո ղ ա ն ա լ ձևակերպել վեկտորի և թվի արտադրյալի հատկությունները,
վեկտորների կիրառմամբ ապացուցել սեղանի միջին գծի
մասին թեորեմը, գիտելիքները կիրառել 334, 337-342, 347 խնդիրների
տիպի խնդիրներ լուծելիս:
§4.
Գ ի տ ե ն ա լ համագիծ վեկտորների մասին լեմմի և վեկտորների
վերածման մասին թեորեմի ձևակերպումները, կոորդինատներով
տրված վեկտորների հետ գործողությունների կանոնները:
Կ ա |1 п ղ ւ ս ն ա լ ‘ բացատրել, թե ինչ է վեկտորների կազմած անկյունը,
գիտելիքները կիրառել 354-356, 359, 363 խնդիրների տիպի
խնդիրներ լուծելիս:

72 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

13.գ. ԻՆքնուրույն աշխատանքի նյութեր

§1-
1-ին տարբերակ
— » — »
1. Պատկերեք որևէ а վեկտոր: Կառուցեք այնպիսի MN և PQ
—> —>
վեկտորներ, որ MN = a , PQ tl а :
— > — >
2. ABCD-ն զուգահեռագիծ է: Ապացուցեք, որ AB = DC:
2-րդ տարբերակ
_ —> —>
1. Պատկերեք որևէ b վեկտոր: Կառուցեք այնպիսի AB և CD
վեկտորներ, որ AB Ti b, CD = b:
— > — >
2. M, К, N, Р կետերը չեն գտնվում մի ուղղի վրա, և KM = PN:
Ապացուցեք, որ KMNP-ն զուգահեռագիծ է:
3-րդ տարբերակ
—) —>
1. M կետը գտնվում է AB հատվածի վրա: Կառուցեք MK և MN
վեկտորներն այնպես, որ MK = AB, MN = BA: Գտեք KN-ը, եթե
AB=a:
— > — »
2. О կետը գտնվում է ABCD քառանկյան ներսում, АО = ОС,
BO = OD: Ապացուցեք, որ AB = DC:
13.գ. ԻՆքնուրույն աշխատանքի նյութեր
1-ին տարբերակ
Տրված է BC ներքնաձիգով ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Կառուցեք
2-րդ տարբերակ
Տրված է AB ներքնաձիգով ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Կառուցեք
§2-
p = /Ш+ АС- ВС վեկտորը և գտեք |р| -ն, եթե АВ = 8 սմ:
— I _ I m = BA+ ВС- СА վեկտորը և գտեք |m| ֊ը, եթե ՑՇ=9սմ:

73 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

3-րդ տարբերկ
Տրված է AD և ВС հիմքերով ABCD սեղանը: Կառուցեք
а = АВ+ CD— ВС վեկտորը և գտեք |а|-0, եթե AD=12֊ud, BC=5ufr
§3
1-ին տարբերակ
1. Գծագրեք a և b երկու տարագիծ վեկտորներ, |<5| = 3սմ, |ծ| = 2սմ:
_ 1 —
Կառուցեք p = 3a-—ծ վեկտորը:
— > — >
2. KMNP-ն զուգահեռագիծ է: m = KM և ո = KP վեկտորների միջոցով
—) — >
արտահայտեք MA և AB վեկտորները, որտեղ А-ն PN հատվածի
կետ է, PA:AN=2:1, В-ն MN հատվածի միջնակետն է:
2-րդ տարբերակ
1. Գծագրեք m և ո երկու տարագիծ վեկտորներ, |m| = 2 սմ, |ո| = 3սմ:
Կառուցեք a = 3m—_ ո1 վ ե_կտորը:
3
2. ABCD զուգահեռագծի մեջ М-ը CD-ի միջնակետն է, N-ը AD կողմի
կետ է, և AN:ND=1:2: CN ե MN վեկտորներն արտահայտեք b = ВС
— >
և а = BA վեկտորների միջոցով:
3-րդ տարբերակ
1. ABC եռանկյան մեջ ZC=90°, AC=3u^ 6Շ=4սմ: Կառուցեք
b = — CA+ 2CB- 0,5AB վեկտորը:
3
2. ABCD սեղանի մեջ AB||CD, AB=3CD: m = DA և ո = DC
— > — >
վեկտորների միջոցով արտահայտեք AM և MN վեկտորները,
որտեղ М-ը BC հատվածի միջնակետն է, իսկ N-ը AB կողմի
այնպիսի կետ է, որ AN:NB=2:3:

74 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

§4
1-ին տարբերակ
Գրառեք х\-2,—( 3
{ 4
կոորդինատային վեկտորների:
Գտեք a + b վեկտորի կոորդինատները, եթե a{2,-4} b{-1,0}:
ABCD քառակուսու անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք
— ) — )
АВ և АО վեկտորների կազմած անկյունը:
2-րդ տարբերակ
Գրառեք у{-4,0} վեկտորի վերածումը’ըստ i և j կոորդինատային
վեկտորների:
Գտեք a-b վեկտորի կոորդինատները, եթե a{0,-4}, b{l,-l}:
ABCD քառակուսու անկյունագծերը հատվում են О կետում: Գտեք
ВС և ВО վեկտորների կազմած անկյունը:
3-րդ տարբերակ
Գրառեք 2х + у վեկտորի վերածումը ըստ i և j կոորդինատային
վեկտորների, եթե x{-1,0} y{3,4}:
а և b վեկտորները տարագիծ են: Հւսմագի՞ծ, թե՞ տարագիծ են й
և a + b վեկտորները: Պատասխանը հիմնավորեք:
Գտեք а{-1,1} վեկտորի կազմած անկյունը Ox դրական կիսառանցքի
հետ:

1. 3.դ. Ստուգողական աշխատանք N 4

1-ին տարբերակ
E և F կետերը գտնվում են ABCD զուգահեռագծի համապատասխանաբար
AD և BC կողմերի վրա, ընդ որում AE=ED, BF:FC=4:3:
— > — ) — >
ա) EF վեկտորն արտահայտեք m = AB և ո- AD վեկտորներով:

75 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

բ)Կարո’ղ է, արդյոք х-ի ինչ-որ արժեքի դեպքում տեղի ունենալ
— » — »
EF = X • CD հավասարությունը:
2. Որոշեք а{1,3} վեկտորի և կոորդինատային \ վեկտորի գումարի
կոորդինատները:
2-րդ տարբերակ
1. К կետը գտնվում Է ABCD զուգահեռագծի АВ կողմի վրա, իսկ М
կետը’ CD կողմի վրա, ընդ որու մ’ AK=KB, CM:MD=2:5:
) — ) — >
ш)КМ վեկտորն արտահայտեք р = АВ և q = AD վեկտորներով:
բ)Կարո՞ղ է, արդյոք, х-ի ինչ-որ արժեքի դեպքում տեղի ունենալ
KM = X • CB հավասարությունը:
2. Որոշեք Б{2,1} վեկտորի և կոորդինատային j վեկտորի տարբեր ու- (
թյան կոորդինատները:
3-րդ տարբերակ
1. M և N կետերը ABCD զուգահեռագծի BC և CD կողմերի
— > — > — >
միջնակետերն են: AC վեկտորն արտահայտեք m = AM և ո = AN
վեկտորներով:
2. Որոշեք a{v/3,l} վեկտորի կազմած անկյունները կոորդինատային \
և j վեկտորներից յուրաքանչյուրի հետ:

Տ ա ր ե վ ե ր ջ յ ա ն  ս տ ո ւ գ ո ղ ա կ ա ն
ա շ խ ա տ ա ն ք ի  տ ա ր բ ե ր ա կ ն ե ր

1-ին տարբերակ
1. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB ներքնաձիգին տարված CD
բարձրությունը 12սմ է, իսկ AD հատվածը 9սմ: Գտեք. ш)ВС-0,
р)АВС եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը, q)ABC և
ADC եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:
2. 2սմ և 8սմ հիմքերով հավասարասրուն սեղանին ներգծած Է շրջանագիծ:
Գտեք, ախեղանի սրունքը, բխեղանի մակերեսը, գ)ներ-
գծյալ շրջանագծի երկարությունը:

76 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

2-րդ տարբերակ
1. ABC եռանկյան մեջ AB=14u£ AC=15uմ, ՑՇ=13սմ: Գտեք ABC
եռանկյան ա) ամենափոքր բարձրությունը, բ) արտագծյալ շրջանագծի
շառավիղը, գ) ներգծյալ շրջանագծի երկարությունը:
2. Զուգահեռագծի փոքր անկյունագիծն ուղղահայաց է կողմին, իսկ
բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ կողմը տրոհում
է Ցսմ և 16սմ երկարությամբ հատվածների: Գտեք, ա) զուգահեռագծի
կողմերը, բ) զուգահեռագծի անկյունագծերը, գ) զոպա՝
հեռագծի մակերեսը:
3-րդ տարբերակ
1. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած Է
շրջանագիծ, որը AB և BC կողմերը շոշափում Է համապատասխանաբար
M և H կետերում: ա) Ապացուցեք, որ MBH և ABC եռանկյունները
նման են, բ) գտեք ZBAC-O և այդ շրջանագծի շառավիղը,
եթե AB=2մ, MH=W:
2. AD և ВС հիմքերով հավասարասրուն սեղանի մեջ ՀՕ=6ժ,
ВС= 12սմ, ՀBCA=ЗԺ: ա) Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն
է, բ) գտեք ACD եռանկյանն արտագծած շրջանագծի
երկարությունը, գ) հաշվեք ABCD սեղանի մակերեսը:

77 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ 

ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՑԱՆԿ

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Փ., Глазков Ю.А. и лр. Изучение геометрии в
7-9 классах: Методические рекомендации к учевиику. Книга для
учителя. — 3-е изд. -М.: Просвещение, 2000.
2. Атанасян JI.C., Бутузов В.Ф. и др. Дополнительные главы к школьному
учевиику. -М.: Просвещение, 1997.
3. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы /Научно-практическое
объединение “Мир и семья”, Санкт-Петервург, 1995.
4. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Снининский В.Я., Луканкин Г.Л.
Методика преподавания математики в средней иисоле / -М.:
Просвещение, 1975.
5. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по
математике! -М., Наука, 1989. Глава 12.
6. Гусев В.А. Справочник школьника по геометрии/ -М.: Аквариум, 1997.
7. Погорелов А.В. Геометрия / -М.: Просвещение. АО “Московские
учевники”, 1995.
8. Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М., Чернишева Л.Ю. Геометрия в 6-ом
классе! -М.: Просвещение, 1986.
9. Карницевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 6-ом классе I -М.*
Просвещение, 1983.
10. Фирсов В.В. Планирование оБязателытых результатов овучения
математике/-М.: Просвещение, 1989. Глава 2(2.3), 3(3.3), 4(4.2).
11. Дудиицын 10.11. Геометрия 7-11 классы: планирование и контрольные
районы. / НПО “Овразоваиие”, I Полугодие, II полугодие. -М., 1998,99.
12. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами
исследования для 8 класса/для 9 класса. — М.: Просвещение, 1999, 2000.
1 3 . Աթանասյան Լ. Ս., Բուտոզով Վ. Ն. և ուրիշ. Մեթոդական ուղեցույց.
երկրաչափությունը 6-8-րդ դասարաններում / «Միտք», Երևան,
1998:
14. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ/«Միտք», Երևան, 1997. Գլուխ 9:
15. Նիկիտին Ն. Ն., Մասլովա Գ. Գ.. երկրաչափական խնդիրների
ժողովածու. VI-VIII դասարանների համար I Հայպետհրատ, Երևան,
1963:

78 ՎԵԿՏՈՐՆԵՐ

Математика в школе.

Եռանկյունների լուծումը, Նման պատկերներ, Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը, Ուսումնական նյութի դասաժամային օրինակելի պլանավորում, Ուսուցումը 8-րդ դասարանում, Վեկտորներ