§14 . Возведение в степень и извлечение корня
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Степень действительного числа а с натуральным показателем п
есть произведение п сомножителей, равных а.
247 Алгебра Возведение в степень и извлечение корня, Библиотека учителя скачать
есть произведение п сомножителей, равных а.
Возведение в степень становится особенно наглядным, если ввести
в рассмотрение график зависимости у = х п (рис. 41). Если представить
себе, что
ЧП в семье Порошенко — сын попал в ДТП
этот график построен
идеально точно, то задача возведения
числа а в степень сводится
к измерению ординаты точки
на графике, абсцисса которой
равна а. 1 ‘
Зная бесконечную десятичную
дробь для числа а, мы можем найти
его степень а!1 с любой степенью
точности. Для этого нужно возвысить
в п-ю степень достаточно точное
десятичное приближение (с недостатком
или’ с избытком) к числу а. Рис. 41.
Для того чтобы это строго доказать, докажем предварительно следующие
две теоремы.
Т е о р е м а 1. Если а и b два положительных действительных числа
и а > Ь , то ап >> Ьп при любом натуральном п.
Эта теорема для рациональных чисел а и Ъ была доказана в § 3 (теорема
1). Доказательство дословно переносится и на случай произвольных действительных
положительных чисел а и ft, так как используемые в доказательстве
леммы были }гстановлены в § 13 при изучении действия умножения
действительных чисел.
Т е о р е м а 2. Если а ^ О, Л > 0 и й >Л, то ат — {а — h)m < mam~lh
при любом натуральном т.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для т = 2 теорема верна, ибо
а% — (а — h f = а* — (а9 — 2ah + Л8) = 2ah — А8 < 2аК
Построим дальнейшее доказательство, воспользовавшись- методом математической
индукции.
Пусть теорема уже доказана для показателя т— 1, т. е. уже установлено
что
ат- 1 _ ( а _ h)m <( /n — \)am~*h.
В этом предположении докажем теорему для показателя т. С этой целью в
разность ат — (a — h)m вставим выражение am~l (a — h) со знаками минус и
248 Алгебра Возведение в степень и извлечение корня, Библиотека учителя скачать
Во втором слагаемом оба множителя положительны.
Далее, я — h]C а и ат ~ 1 — (я — /г)7”’ 1, в силу «индукционного» предположения,
меньше (т— 1)ят ~3Л. Следовательно,
<я — h) [я* * — 1 — (я — < я (m — 1 ) я* » 3 Л = (/я— 1) я ^ Л ,
я « _ ( я — Л)ет < я™ » 1 Л + О — I)*»1″1 h = h.
Теорема доказана пока условно: если теорема верна для показателя m — 1,
то она верна и для показателя т. Но для /л = 2 она верна. Следовательно,
она верна и яця т = 3, а раз она верна для т = 3, то верна для /л = 4 и т. д.
Теорема верна для всех натуральных показателей /л, что и требовалось доказать.
Далее поступаем так. Зная бесконечную десятичную дробь для числа я,
составляем десятичные приближения рт и р т для числа я с недостатком и
с избытком с т цифрами после запятой. Тогдарт^ а < р ‘т. В силу теоремы 1
будут верны и неравенства р » ^ я» < р ^ , т. е. мы смогли заключить ап
между двумя границами р » и р которые можно вычислить. Можно доказать,
что эти границы р® и р* становятся все более тесными, если брать
число цифр т все больше и больше. Таким образом, мы можем определить ап
с любой степенью точности.
Строгое доказательство того, что границы р* и р£ действительно неограниченно
сближаются, основывается на теореме 2 . Обозначим через А наименьшее
целое число, большее я. Тогда при любом т
р’т ^ А .
Рассмотрим разность
Рт Рт ^ Рт [Рт \Qrhj •
В силу теоремы 2
т п _ ,n-i 1 ^ .я-‘t 1
Р т — рт<пргт * ~1от^пЛ ‘ ]Qm>
откуда следует, что разность р * р* действительно беспредельно уменьшается
при увеличении числа цифр т.
Обратимся теперь к действию извлечения корня.
Опр е д е л ение . Корнем степени из действительного
числа Ъ называется такое число х , что х п = Ь.
Положительное значение корня п-й степени из положительного
числа называется арифметическим значением корня.
Таким образом, определения степени, корня и арифметического
значения корня для действительных чисел остаются совершенно такими
же, как для рациональных чисел. Однако в области действительных
чисел верна следующая теорема*
Те о р ема 3. Арифметическое значение корня любой степени из
любого положительного числа всегда существует.
В области рациональных чисел такое утверждение было неверным
— не существует, например, рационального значения j/jT * Смысл
этой теоремы ясен: извлечь корень п-й степени из данного ч и с л а—
значит измерить абсциссу точки на графике зависимости у = х ^ у ордината
которой равна b, а существование такой точки геометрически
очевидно.
Однако для того, чтобы это геометрически наглядное рассуждение сделать
строгим, нужно было бы доказать, что при непрерывном возрастании числа х
число у = хп возрастает тоже непрерывно, т. е. проходит через все действительные
числа. Это же в свою очередь равносильно доказательству теоремы
о существовании корня.
Теорема о существовании корня более строго доказывается так:
Пусть дано число £ > 0 и показатель я. Найдем две соседние десятичные
дроби рт и р’т с т цифрами после запятой такие, что
Р т ^ Ь < р ’пт-
Такие дроби существуют в силу возрастания степени с возрастанием
основания (теорема 1, § 14). Числа рт и рт представляют собой «приближенные
значения» для п/Ъ с точностью до J L — с недостатком и с избытком.
10
Для того чтобы перейти от приближенных значений рт и р’т к следующим,
мы должны разбить промежуток (рту р т ) на 10 равных частей. Так как
Р т ^ Ь> Рт>
то найдутся такие соседние точки деления рт+1 и р’т+1 ^ что
Р%+1 ^ Pm+i ^ ^
Эти точки и дают приближенные значения n/ b с т + I цифрой после
запятой.
Таким образом, отрезок (pm+iy рт+ 1) вложен в отрезок (рт p j .
Совокупность отрезков (ри р*) t(pst />2)> {рг>Ръ)>*“ есть стягивающаяся последовательность,
ибо каждый последующий отрезок вложен в предыдущий, а их
длины J 1 L безгранично приближаются к нулю. Согласно аксиоме
10 400» 1000 F
непрерывности, найдется одно и только одно число а, принадлежащее всем
этим промежуткам, т. е. удовлетворяющее неравенствам
рт^ а < р’т
при всех т.
Рассмотрим промежутки с конгами р^ и р Они тоже образуют систему
вложенных промежутков, и их длины беспредельно убывают с возрастанием
ту что было установлено выше. Следовательно, существует одно и только одно
число, принадлежащее всем этим промежуткам. Но перед нами имеются два
таких числа — во-первых, b, ибо
249 Алгебра Возведение в степень и извлечение корня, Библиотека учителя скачать
Следовательно,
ап = Ь,
т. е. а есть арифметическое значение
Замечание. Определения основных действий — сложения, вычитания,
умножения я деления — можно дать, не опираясь на геометрические представления,
используя лишь свойство непрерывности совокупности действительных
чисел. Рассмотрим, например, сложение. Пусть рт , рт , qmy qm-десятичные
приближения с недостатком и. с избытком к числам х и у. Тогда рт~\-Ят и
PmJr Ят ПРИ т= = 1» 2» 3, …образуют концы вложенных промежутков, длины
которых безгранично убывают при неограниченном возрастании т. В силу
свойства непрерывности существует одно и только одно число z, лежащее во
всех этих промежутках, т. е. удовлетворяющее неравенствам
Рт + Ят ^ 2 + Ят.
Его и следует, по определению, считать суммой чисел х и у.
Аналогичным образом можно дать чисто алгебраические определения
для остальных действий.
250 Алгебра Возведение в степень и извлечение корня, Библиотека учителя скачать
Околоadmin
Comments