дома » Алгебра в школе » Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

§ 17. Иррациональные уравнения

ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Всякое иррациональное уравнение, т. е. уравнение, в котором
некоторые выражения, зависящие от неизвестного, находятся под знаком
корня, может быть преобразовано в целое алгебраическое уравнение,
являющееся следствием исходного.

 

 

Доказательство этого утверждения в общем виде сложно, и мы
ограничимся рассмотрением некоторых частных случаев.
Пример. Решить уравнение
У х * — \ -Ъ х — \ — \= Злг.
Решение . В рассматриваемое уравнение входит только один
радикал. Преобразуем уравнение, оставив радикал в одной его части,
а все остальные члены перенесем в другую часть. Получим
У х 1 -|-Злг = Злг— 1.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, что приведет нас
к новому уравнению, являющемуся следствием исходного. Это обусловлено
теоремой 4 § 15 или обычным рассуждением при преобразовании
уравнения:
«Если ( лг такое, что) ]/лг2-|-Злг = Злг— 1, то
лг2 -f- Злг = (Злг — I)2».
Решая преобразованное уравнение, получим ^ = 1 ; лг2= у . Эти
корни не обязаны быть корнями исходного уравнения, так как из
выполнения равенства лт2 4 ~ З х = (Злг— I)2 еще не следует, что

293 Иррациональные уравнения. Проект библиотека учителю

j / x 2- f 3х = 3 х— 1. Может быть одно из двух: или ] /x 2-f-3x =
— З х— 1, или — х 2 Зх = З х— 1, и следовательно, удовлетворяется
либо исходное уравнение, либо уравнение — |/»х2-)- Зх =
— З х— 1. И, в самом деле, корень Хх— l удовлетворяет исходному
уравнению, а корень х = -g1- исходному уравнению не удовлетворяет,
но удовлетворяет уравнению — х 2 — J — Зх 1 = 3х.
Указанный прием применяется во всех случаях, когда в уравнение
входит только один радикал.
Ответ. х = \ .
Пример. Решить уравнение
х — Ух-1 — 4х — 7 = 1.
Решение . Уединив радикал, получим 3j /x 3 — 4х — 7 = х — 1,
откуда следует х 3— 4х — 7 = ( х — I)3. Раскрывая скобки и перенося
все члены в одну часть, получим Зх’2 — 7х — 6 = 0, откуда
2 х 1 — 3; х 2==— . Проверяя, убеждаемся, что оба корня удовлетворяют
исходному уравнению.
Ответ. х х = 3; х 2 = — .
Пример. Решить уравнение
У х — у ъ + У 22 — х = 7.
Решение . Здесь имеются два радикала, и избавиться от них
одновременно посредством однократного возведения в квадрат не
представляется возможным. Мы решим этот пример тремя способами.
Способ 1. Уединим один из радикалов, а затем возведем уравнение
в квадрат
Ух -\-Ъ = 7 — У 22 — х; х -{ — 3 = 49 — 1 4 ] /2 2 — х — \ — 22 — лг.
Полученное уравнение содержит уже один радикал. Уединив его,
получим
14]/22 — х = 68 — 2х или 7 ]/2 2 — х = 34 — х.
Возведя в квадрат еще раз, получим
1078 — 49х = 1156 — 68х — f х 2; х 2 — 19х — f 78 = 0,
откуда
х 1 = 13; х 2 = 6.
Посредством подстановки в исходное уравнение убеждаемся, что
оба корня ему удовлетворяют.
Способ 2. Возведем в квадрат обе части исходного уравнения.
Получим
Jc + 3 + 2VrC H — 3 ) ( 2 2 — _^ + 2 2 — Jc = 49.

294 Иррациональные уравнения. Проект библиотека учителю.

Это уравнение содержит уже один радикал. Уединим радикал:
2 > V + 3 ) ( 2 2 — х ) = 24; V ( x + 3 )(2 2 — х ) = 12.
Теперь снова возведем в квадрат обе части уравнения. Получим
( х — } — 3 ) ( 2 2— лег) = 144 и после очевидных преобразований приходим
к уравнению
jc*— 19х + 78 = 0
к такому же, какое было получено при освобождении от радикалов
по первому способу.
Способ 3. Введем новую неизвестную у — У х — f- 3 . Тогда
у* = х — \ — 3 и х — у *— 3. Относительно новой неизвестной уравнение
у — \ -У 2 Ь —у* = 7
содержит только один радикал.
Далее,
§ 1 7] и р ра ц и о н а л ьные уравн ен и я 2 9 5
у 2 5— У2 = 7 — у; 25 —у 9 = 49 — 14у -\-у*и, у 2 — 7у + 12 = 0
и, наконец, у х — 4; у 2 = 3. Теперь вспомним, что х = у * — 3 и, следовательно,
х 1= 1 3 ; х 2 = 6.
Таким образом, иногда при решении иррациональных уравнений
следует комбинировать способ возведения в степень со способом
введения новой неизвестной.
Ответ. = 13; х 2 = б.
П р и м е р . Решить уравнение
У х ^ — 43j / х —{— 3 = 0.
Р е ш е н и е .
Способ 1. Представим уравнение в виде
4 зУ х — Ух*» — 3
и возведем об е его части в куб. При этом формулу куба разности
двух чисел возьмем в следующем виде:
(А — B f = А3 — Въ — 3 А В (Л — В).
Получим
64х — х 2— 12 У х | / х а (4 У х — |/х * ) = 27.
Далее,
У ^ { у ^ = Vx*~ = x.
Кроме того, если х удовлетворяет исходному уравнению (а именно,
в этом предположении мы и ведем преобразования, так как мы х о тим
построить уравнение, являющееся следствием исходного), то
4 У х — Ух* = 3.

295 Иррациональные уравнения. Проект библиотека учителю.

Итак, преобразованное уравнение есть
64дг — л:2— 1 2 * . 3 = 27; л;2 — 2 8 л г + 27 = 0.
Решая его, получим л;1 = 27; лг2= 1 . Подставляя в исходное уравнение,
убеждаемся, что оба корня ему удовлетворяют.
Способ 2. Положим — \Г х— у . Тогда У х 2 — у* и относительно
нового неизвестного уравнение превращается в у 2 — 4 у — |- 3 = 0,
откуда у 1 = 3; у% = 1* Но х — у ъ. Следовательно, jct = 27; jc2 = 1 .
Отв ет. х х — 27; х% — 1.
П р и м е р . Решить уравнение
2 У х 2 — Зх + 11 — ] / * 2 — З л ;+ 3 = 5.
Р еш е н и е . Решение этого примера по образцу второго примера затруднительно,
так как в результате последовательного уединения радикалов и
возведения в степень получится уравнение четвертой степени, которое
можно решить способом введения нового неизвестного, но не очень просто.
Лучше сразу ввести новое неизвестное, положив У х 2— 3х + П = у . Тогда
х 2 — З х + Н = у 2 и х 2 — 3jc -f- 3 = у 2 — 8.
Таким образом, относительно новой неизвестной уравнение имеет вид
2у— -j/yZT8 = 5.
Освободившись от радикала, получим
Зу2 — 20у -f- 33 = 0, откуда у 1 = ~ ; у 2 = 3.
Оба корня удовлетворяют уравнению.
Далее, вспоминая, что л:2 — З х + П = = у 2, получим относительно х два
уравнения
22 л:2 — Зл: -)- 2 = 0 и х 2 — Зх — — 0.
Первое уравнение имеет корни x t — 2\ лг2 = 1. Корнями второго являются
__11 2^
x s — , Хщ g .
Все четыре корня удовлетворяют исходному уравнению, в чем легко
убедиться посредством их подстановки в него.
О^ т вет. х 1 = 2; л:2 = 1; x z — у11 ; лг4 = — 2
Из рассмотренных примеров мы видим, что при решении иррациональных
уравнений следует пользоваться методом уничтожения радикалов
посредством возведения в степень или комбинацией его со
способом введения нового неизвестного. В каждом частном случае
следует, раньше чем приступить к выкладке, вдуматься в строение
уравнения и составить план решения.
В заключение приводим еще один прием, который, несмотря на
его искусственность, иногда оказывается полезным.

296 Иррациональные уравнения. Проект библиотека учителю.

Однако подстановка в исходное уравнение дает, что х = 8-^1
не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение
не имеет решений.
Ответ. Уравнение не имеет решений.
Упражнения

 

298 Иррациональные уравненияПроект библиотека учителю.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика