Обучение геометрии

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

Ю. М. Колягин. Д. С. Зейналов

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ  (часть 4).
Обучение геометрии

 

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

IV. Методически правильная постановка задач в обучении геометрии
предполагает оптимальную реализацию всех возможных ее
функций (обучающих, развивающих, воспитывающих). Однако в

59 Обучение геометрии

реальном процессе обучения какие-то из этих основных функций
выступают в качестве ведущих. При непосредственном изучении
программного материала в качестве ведущей естественно выступает
некоторая (или некоторые) обучающая функция.
К числу обучающих функций геометрических задач относятся
функции, направленные на: а) мотивацию изучения новой темы,
опорных ее понятий и положений, б) формирование у учащихся
основных геометрических понятий (на уровне представлений,
усвоения, закрепления, систематизации и т. д.), в) подведение
учащихся к самостоятельному изучению свойств геометрических
фигур, г) формирование потребности и умений в обосновании математических
суждений, д) иллюстрацию возможности применения
изученных геометрических понятий и теорем, е) овладение методами
решения геометрических задач.
Понятно, что в ходе эффективного урока математики решение
задач с теми или иными обучающими функциями практически неотделимо
от использования других форм и методов учебной работы
(изложения материала учителем, вопросо-ответной формы, проверки
усвоения изученного и т. д.). Органически вплетаясь в «канву
урока», решение задач способствует формированию у школьников
интереса к изучению математики, сознательному, глубокому и прочному
усвоению содержания обучения геометрии.
Проиллюстрируем на нескольких примерах некоторые аспекты
обучения геометрии в процессе решения задач.
Известно, какое большое значение в процессе активной учебной
работы учащихся придается мотивации (обоснованию целесообразности)
обучения. В конкретном плане, при изучении каждой
темы курса геометрии полезность рассмотрения того или иного
вопроса, разумность определения того или иного геометрического
понятия, преимущество одного способа решения задачи над другим
и т. д. должны вскрываться не только самим учителем, но и
учащимися. Нередко это можно сделать с помощью задач, несущих
в себе мотивационную функцию. Так, например, при изучении
определения параллельности прямых в 6 классе полезна постановка
следующего учебного задания: «Как мотивировать разумность этого
определения, объединяющего в одном понятии «параллельность»,
два внешне не схожие друг с другом случая взаимного расположения
прямых на плоскости: полное совпадение прямых и отсутствие
у них даже одной общей точки?» В книге для учителя «Геометрия в
6-м классе» указано, что такое определение отношения параллельности
включает его в более общий класс отношений эквивалентности
и тем самым облегчается доказательство некоторых теорем. Однако
для большинства учащихся такая мотивировка неубедительна.
Опыт показывает, что более убедительным для них является обнаружение
общности в случаях расположения прямых на плоскости.
В самом деле, и в случае совпадения, и в случае отсутствия .общих
точек расстояние от точек одной прямой до другой постоянно
(численное значение расстояния равно или не равно нулю); в случае

60 Обучение геометрии

пересекающихся прямых это расстояние является переменной.
Важно здесь то, что подобного рода мотивировку определения
понятия могут отыскать сами школьники при постановке перед
ними соответствующей задачи (конечно, если учитель соответственным
образом направит их поиск).
Рассмотрим теперь, как с помощью системы задач можно сформировать
у учащихся новое геометрическое понятие на примере
понятия «направления на прямой и на плоскости» (6 класс).
Организация этого фрагмента урока может быть представлена
следующей последовательностью заданий и вопросов к учащимся:
1. Проведите прямую АВ. Отметьте на ней произвольную точку
О.. На какие подмножества разбивает точка О множество точек
прямой А В, отличных от нее?
2. Сколько пар открытых лучей можно выделить на прямой некоторой
точкой? Сколько в каждом случае образуется направлений
на данной прямой?
3. Отметьте точки С и D и проведите (CD). Отметьте на ней некоторые
точки О, М и N, а также К и L так, чтобы точки М и N
принадлежали лучам разных направлений, точки К и L — лучам
одного направления. Запишите множество лучей так, чтобы каждый
из предыдущих был подмножеством последующего.
Полученные лучи на прямой называются сонаправленными и
обозначаются так: [MD) ff 10D) и т. д.
4. Укажите лучи, сонаправленные с лучом ND, LM. Запишите
это символически.
5. Прочитайте запись: [ОС) ff [NC), так как [ОС) a [NC).
6. Укажите на прямой CD два луча, которые’ не содержатся
один в другом.
Такие лучи на прямой называются противоположно направленными
и обозначаются INC) f\ [0D).
7. Укажите лучи, противоположно направленные с лучом LC;
MD. Запишите это символически.
8. Прочитайте запись:
[ОС) f j [MD), так как [ОС) qt [MD) и [MD) qt [ОС).
9. Решите устно задачу № 1 (вариант № 4) С-13 из книги
«Дидактические материалы по геометрии».
Следующая серия задач определяет последовательность изучения
понятия «направления на плоскости».
1. Решите устно задачу № 3 п. 31 учебника.
2. Сколько направлений определяет луч?
3. На сколько частей делит плоскость некоторая прямая?
4. Постройте два луча АВ и CD так, чтобы они не принадлежали
одной прямой, но были параллельны. Проведите прямую через их
начала. Какие два различных случая здесь возможны?
5. Какие лучи на плоскости следует назвать сонаправленными,
противоположно направленными? По каким признакам можно их
различать?

61 Обучение геометрии

6. Постройте на плоскости пару сонаправленных лучей МА и
NB. Постройте луч KL, сонаправленный с лучом МА. Будет ли
он сонаправлен с лучом NB? Постройте луч CD, противоположно
направленный с лучом МА. Будет ли он противоположно направленным
с лучом NB?
7. Луч А В противоположно направлен с лучом CD, а луч CD
противоположно направлен с лучом КЕ.Какое из предложений верно:
а) [АВ) ff [КЕ)\ б)[АВ) ft [КЕ)?
8. Величина угла САВ равна 60°. Через его вершину проведена
прямая, не совпадающая ни с одной из его сторон.
Будут ли лучи АС и АВ сонаправлены, противоположно направлены?
t
9. Что означает следующая запись
[ОА) Ф [СВ)
‘ [ОА)\\[СВ)
\ОА)аа1
[СВ) аа2
10. Выполните аналогичную запись для случая
№)\\1СВ).
11. Решите задачу № 2 (вариант № 3) С-13 из книги «Дидактические
материалы по геометрии».
12. Верно ли утверждение: «Отношение сонаправленноети лучей
является отношением эквивалентности?».
13. Как определить направление на прямой, на плоскости?
Сколько лучей достаточно для задания направления на прямой,
на плоскости?
Задачи являются весьма эффективным средством, с помощью
которого учащиеся могут быть подведены к самостоятельной формулировке
теорем и проведению их доказательств. Конкретизируем
это положение на примере о необходимом и достаточном условии
того, чтобы перемещение было параллельным переносом. (Этот
пример отнесен теперь к необязательному материалу.)
Предварительно учащимся напоминается, что параллельный
перенос (вектор) является перемещением, так как он удовлетворяет
определению перемещения. Ставится задача отыскания такого свойства
параллельного переноса, которое отличало бы его от других
видов перемещений.
Изучение этого вопроса проводится посредством следующей
серии учебных задач, органически вплетающихся в процесс изучения
нового материала.
Для того чтобы учащиеся смогли самостоятельно сформулировать
данную теорему, полезно поставить перед ними последовательно
следующую серию парных задач:
1. а) На рисунке изображаются две параллельные прямые
АВ и CD. Какими перемещениями можно отобразить прямую АВ
на прямую CD?

62 Обучение геометрии

б) Укажите, какими перемещениями можно отобразить любую
прямую плоскости на прямую, ей параллельную.
2. а) На рисунке изображены два луча АВ и CD, причем [АВ) ff
ff[CD). Какими перемещениями можно отобразить луч А В на луч CD?
б) Укажите, какими перемещениями можно отобразить каждый
луч на луч, с ним сбнаправленный.
3. а) На рисунке изображены два луча А В и CD, причем
[А В) jf [CD). Какими перемещениями можно отобразить луч А В
на луч CD?
б) Укажите, какими перемещениями можно отобразить каждый
луч на противоположно направленный с ним луч.
В ходе решения этих задач выясняется, что только параллельный
перенос отображает любой луч на сонаправленный с ним луч.
Тем самым устанавливается характеристическое свойство параллельного
переноса, выражающее сущность изучаемой теоремы.
Для того чтобы учащиеся смогли осознанно сформулировать
эту теорему в терминах «необходимо и достаточно», полезно предложить
им решить следующие задали:
4. Постройте луч АВ. Задайте произвольный параллельный
перенос и найдите образ этого луча — луч Аг Вг при заданном параллельном
переносе. Убедитесь, что lA^) ff [ЛВ). После решения
этой задачи подчеркивается, что, если перемещение является
параллельным переносом, каждый луч переходит в сонаправленный
с ним.
Учащимся предлагается записать это утверждение символически
:
F = Т, Т ([АВ)) = [AM [АВМА^). (1)
5. Постройте два сонаправленных луча АВ и Л1В1. Задайте
параллельный перенос Г, отображающий луч А В на луч А1 В1 .
После решения этой задачи подчеркивается, что, если перемещение
F отображает каждый луч на сонаправленный с ним, оно
является параллельным переносом.
Учащимся предлагается записать это утверждение символически:
[АВЕНАМ F([AB)) = [AM F = T. (2)
Запись (1) выражает необходимое условие, а запись (2)—достаточное
условие того, чтобы перемещение было параллельным переносом.
Теперь можно переходить к словесной формулировке теоремы и
ее доказательству.
Доказательство теоремы полезно предварить решением нескольких
задач, представляющих определенные шаги доказательства.
Опыт показывает, что изложенная выше последовательность
задач обеспечивает сознательное усвоение школьниками этой теоремы.
Задачи, направленные на систематизацию имеющихся у уча

63 Обучение геометрии

щихся знаний, могут быть использованы
также и для того, чтобы
показать школьникам роль знаний
в успешной работе творческого характера.
Такова, например, следующая
задача; ее постановка полезна
в 6 классе при изучении темы
«Виды четырехугольников».
Рис, 3
З а д а ч а . Дан произвольный
треугольник ABC. Найти множество
точек D, таких, что:
а) фигура A BCD — четырехугольник;
б) фигура A BCD — выпуклый четырехугольник.
Приступая к решению данной задачи учащиеся должны вспомнить:
определение ломаной;
разбиение плоскости прямой;
определение замкнутой ломаной;
простые и непростые ломаные;
определение многоугольника;
определение выпуклой фигуры;
разбиение многоугольников на выпуклые и невыпуклые.
Вышеуказанным перечнем определены основные обучающие
функции данной задачи: формирование понятий ломаной, многоугольника
(выпуклого и невыпуклого) и т. д.
При решении данной задачи рисунок играет эвристическую
роль (рис. 3): используя его, учащиеся посредством выбора точек
в каждой, из плоских областей, которые образованы прямыми
АВ, ВС и ЛС, устанавливают вид четырехугольника ABCDf а
следовательно, находят предварительные ответы на вопрос задачи.
Однако окончательное решение может быть получено лишь путем
логических рассуждений, делающих правдоподобные выводы
достоверными.
Так, беря точку D в области I, учащиеся усматривают, что четырехугольник
ABCD не существует; подтверждая данный вывод
рассуждением, они указывают на то, что при любом положении
точки D из обл асти V5 отрезки CD и А В пересекаются и ломаная
A BCD не является простой.
Если точка D принадлежит, например, области И2,то возникает
невыпуклый четырехугольник A BCD. Обоснованием этого вывода
служит определение выпуклой фигуры, распространенное на выпуклые
четырехугольники; в данном случае точки А и D принадлежат
разным полуплоскостям с границей СВ.
Наконец, усмотрев, что для точек D, принадлежащих Ш3, четырехугольник
A BCD выпуклый, учащиеся ссылаются при обосновании
на определение выпуклой фигуры.
Исследуя случаи, когда точка D принадлежит границам семи

64 Обучение геометрии

данных областей, учащиеся усматривают тот факт, что четырехугольник
ABCD не существует (фигура ABCD либо не является ломаной,
например если D £ (ВС), либо ломаная ABCD не является
простой).
Рассуждая аналогично, учащиеся устанавливают, что:
а) искомое множество точек D есть объединение областей I,
И, III, IV, VI;
б) искомое множество — область III.

65 Обучение геометрии

Обучение геометрии