дома » Алгебра в школе » Исследование корней квадратного уравнения по коэффициенту и дискриминанту

Исследование корней квадратного уравнения по коэффициенту и дискриминанту

§ 10. Исследование корней квадратного уравнения
по коэффициенту и дискриминанту

Ч А С Т Ь II. Г Л А В А II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

При выводе формулы для решения квадратного уравнения мы
выяснили, что значение дискриминанта D — b3 — 4 ас уравнения
а х% -f- bx -f- с — 0 определяет число корней уравнения. Именно, если

дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных
корня, если дискриминант равен нулю, то корни совпадают,
и, наконец, если дискриминант отрицателен, то уравнение не
имеет действительных корней.
Формулы Виета дают дополнительные сведения о корнях квадратного
уравнения. Мы ограничимся рассмотрением приведенного квадратного
уравнения.
Начнем исследование с рассмотрения уравнения, свободный член
которого q отрицателен. В этом случае дискриминант — 4q =
— 4 (— q) наверное положителен, так что уравнение имеет два
различных действительных корня х% и х а. Далее, произведение корней
равно отрицательному числу q. Следовательно, один из корней положителен,
другой отрицателен. Наконец, x t — \- x ^— —р. Отсюда следует,
что при р ^> 0 сумма корней отрицательна, и следовательно,
отрицательный корень имеет ббльшую абсолютную величину. Если
р 0, то ббльшую абсолютную величину имеет положительный
корень. Если же р — 0, то корни равны по абсолютной величине.
Теперь предположим, что свободный член q положителен. В этом
случае прежде всего необходимо посмотреть на дискриминант,, он
может быть положительным, равным нулю или отрицательным. В по-,
следнем случае исследование закончено, так как уравнение не имеет
действительных корней. В первых двух случаях уравнение имеет действительные
корни х \ и х<ь — различные или равные. Так как их
произведение равно положительному числу q, знаки корней одинаковые
и сумма корней Х х -\-х%= — р имеет тот же знак. Поэтому при
р^> 0 оба корня отрицательны, при р<^ 0 оба корня положительны.
Случай р = 0 здесь невозможен, так как при /? = 0; дискриминант
D — p2 — 4 q = — 4^<^0.
Результаты проведенного исследования можно объединить в следующую
таблицу, в которую мы включаем для полноты и очевидные
результаты при ^ = 0.
Случай U Два различных корня, имеющих противоположные
знаки.
a) р^> 0. Отрицательный корень по абсолютной величине больше
положительного.
b) р — 0. Корни равны по абсолютной величине.
c) р<^ 0. Положительный корень больше абсолютной величины
отрицательного.
Случай 2. q — 0.
а) р ^> 0. Один корень равен нулю, другой отрицателен.

278 Исследование корней квадратного уравнения
по коэффициенту и дискриминанту.

b) р — 0. Оба корня равны нулю.
c) р<^ 0. Один корень равен нулю, другой положителен.
Случай 3. q^>0.
a) р 2 — 4q^> 0. Два различных корня одного знака, противоположного
знаку р.
b) р* — 4^ = 0. Два равных корня, их знак противоположен знаку р.
c) р* — 4 ^< [0. Действительных корней нет.
Упражнения
Не решая уравнений, выяснить, сколько они имеют положительных и
сколько отрицательных корней:
1,л:8 — 373л: — 1 1 1 = 0 . 2 ,3 л:8 — 11лг + 435== 0. 3. л:8 + 100л: + 2 500 = 0.
4. Исследовать при различных значениях числа а корни квадратного
уравнения х 8 — 2 (а — 3 ) х — \-а *— 7а + 6 = 0 .

279 Исследование корней квадратного уравнения
по коэффициенту и дискриминанту.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика