дома » Алгебра в школе » Квадратичная функция

Квадратичная функция

§ 7. Квадратичная функция

ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Функция у, значения которой выражаются через значения независимой
переменной х в виде квадратного трехчлена
ах* —j— bx -j— су

называется квадратичной функцией.
График квадратичной функции у = ах* — \ — Ь х с мы изучим в
несколько этапов, постепенно усложняя вид функции.
График функции j/ = .*r2. График этот носит название параболы
и имеет вид, изображенный на рис. 53. Этот график рассматривался
в первой части книги (гл. II, § 17, пример 2 и гл. IX, § 4).
Парабола у = х 2 представляет собой кривую линию, состоящую
из двух симметричных быстро поднимающихся бесконечных ветвей,
плавно соединяющихся в начале координат. Ось ординат является
осью симметрии параболы у = х*. Точка пересечения параболы с ее
осью симметрии называется вершиной параболы. Для параболы у = х*
вершиной является начало координат.
Гр афик функции у — а х2 при а 0. Дадим несколько
примеров графиков функции у — ах* при а = 2, 1, (рис. 54).
Из этих примеров видно, что графиком функции у — ах* является
тоже парабола более «широкая», чем парабола у = х* при а<^1,
и более «узкая» при а^>1.

312 Квадратичная функция. Математика оформление кабинета.

Докажем теперь, что график функции у = ах2 есть действительно парабола,
т. е. что этот график совпадает с графиком у — х 2, но построенным в
другом масштабе. С этой целью, выбрав на плоскости основную единицу
масштаба, в котором будем строить график, возьмем на той же плоскости
другую вспомогательную единицу масштаба, величина которой равна —
основной единицы. Координаты какой-либо точки, измеренные в основном

масштабе, мы будем называть основными координатами, измеренные во вспомогательном
масштабе — вспомогательными.
Если (.х , у) — основные координаты какой-либо точки М, а вспомогательные
координаты той же точки суть (х\ у’), то х’ = ах; у 1 = ау. Действительно,
длина любого отрезка при измерении во вспомогательном масштабе
получается из длины того же отрезка, измеренной в основном масштабе,
умножением на а.
Представим себе, что мы построили график, функции у = ах2 в основном
масштабе. Умножив обе части уравнения у = ах2 на а, получим ау=(ах)*,
т. е. У = (лг’)2. Таким образом, вспомогательные координаты (х \ у’) любой
точки, лежащей на графике функции у — ах2, связаны соотношением у’ = (лг’)а.
Обратно, если вспомогательные координаты некоторой точки связаны соотношением
у = (л : ‘) 2, то основные координаты связаны соотношением а у=(а х )2 ,
т. е. у = ах2, и следовательно, точка лежит на графике функции у = ах2.
Таким образом, графиком функции у = ах2 является парабола у’ = л:’3,
но только построенная во вспомогательном масштабе, единицей которого
является ~ единицы основного а масштаба.
Иными словами, графиком функции у = ах2 является парабола у = л:’2,
равномерно сжатая в а раз (при а > 1) или равномерно растянутая в раз
(при а < 1).

313 Квадратичная функция. Математика оформление кабинета.

График функции у —
отрицательно. Положим а =
а х* при а 0. Пусть у — ах* и а
Тогда у — — ахх*. Сравнивая
точки графиков у — ахх* и
у = — ахх*, имеющих одинаковые
абсциссы, мы видим, что их ординаты равны по абсолютной величине,
но противоположны по знаку. Следовательно, график функции
у = — ахх 2 симметричен графику функции у ^= а хх* относительно
оси абсцисс. Таким образом, график функции у = ах2 при отрицательном
а тоже является параболой. Но ее бесконечные ветви направлены
не вверх, а вниз.
На рис. 54 изображены графики функций у = ах* при нескольких
значениях а, положительных и отрицательных.
График функции у = ах*-j- d. Для построения графика
функции y = ax*-\-d сравним эту функцию с функцией у — ах*.
При каждом х значения
функции y = ax*-\-d получаются
из соответствующих
значений функции у — ах*
добавлением одного и того
же числа d для всех 1 х .
Геометрически это означает,
что каждая точка графика
функции y = ax*-\-d получается
из соответствующей
точки графика у = а х 3
сдвигом на j d | единиц вверх
или вниз в зависимости от
знака d. Следовательно, и
весь график у = ах* -j- d
получается из параболы
у = а х “ таким же сдвигом,
т. е. график y = a x*-\-d
представляет собою такую же
параболу, как и у = а х 2, но
сдвинутую в направлении
оси ординат. Осью симметрии
параболы y = a x * — \ — d
снова является ось ординат.
Вершиной является точка с
абсциссой лг = 0, ордината
вершины равна d, так как
при лг = 0 у = d.
На рис. 55 изображено
несколько парабол рассматриваемого
вида.
а { х — т)2. Сравнивая функции
видим, что значения функции

314 Квадратичная функция. Математика оформление кабинета.

у = а (х — mf при х — х^-\~ т совпадают со значениями функции
у = ах2 при x = x Q. Геометрически это означает, что точка на
графике функции у = а { х — т)2 с абсциссой х = x§-\- т имеет
одинаковую ординату с точкой на графике у = а х имеющей
абсциссу х = х 0. Иными словами, каждая точка графика функции
у = а (х — m f получается из некоторой точки графика функции
у = ах% сдвигом на | т | единиц в направлении оси абсцисс вправо

или влево в зависимости от знака т. Поэтому ‘и весь график функции
у — а (х — m f получается из параболы у = а х * сдвигом на | т |
единиц вправо или влево в зависимости от знака т. Следовательно,
график функции у = а ( х — mf есть такая же парабола, как и график
функции у = а х 1, но сдвинутая в направлении оси абсцисс. В частности,
вершина параболы у — а (х — rrif находится в точке (т, 0),
а ось симметрии есть прямая, проходящая через эту точку и параллельная
оси ординат. На рис. 56 изображается несколько парабол
рассматриваемого вида.
График фу нкции у = а { х — rrif-\-d. Из соображений, приведенных
при выводе графика линейной функции и при выводе
графика функции y = ax*~\-d> следует, что график функции
у — а (х — irif -f- d получается из графика функции у — а (х — rrif
сдвигом в направлении оси ординат на | d | единиц вверх или вниз
в зависимости от знака d.
Поэтому график функции у = а (х — mf — \ — d есть такая же парабола,
как у = а х2, но сдвинутая на т единиц в направлении оси абсцисс
и на d единиц в направлении оси ординат. Поэтому вершина

315 Квадратичная функция. Математика оформление кабинета.

параболы у — а (х — m)2-\-d находится в точке (т, d \ а ось симметрии
есть прямая, параллельная оси ординат и проходящая через эту точку.

На рис. 57 изображена парабола у = — -т?{х-
параболы у
2)2-f-2 и для сравнения
2 ( x — 2 f
1 2
График общей квадра
тичной функции.
Общую квадратичную функцию
у = ах1 -j- bx -j- с легко
привести к виду, рассмотренному
в предыдущем
пункте. Для этого
прежде всего вынесем за
скобки старший коэффициент
а:
а затем к приведенному квадратному
трехчлену, находящемуся
в скобках, применим неоднократно применявшийся выше прием выделения
полного квадрата суммы, рассматривая х 1 как квадрат первого

316 Квадратичная функция. Математика оформление кабинета.

слагаемого, — как удвоенное произведение первого на второе.
В результате получим
Аас — b2
4 а
Таким образом, общая квадратичная функция приводится к виду
у — а ( х — mf -f- d при 2 а ’ ” 4а
Следовательно, графиком функции у = а х2 -f-b x — \- c является
такая же парабола, как у = ах*, но сдвинутая так, что ее вершина
находится в точке (/ — Ъ 4ас^ —— Ь* \).
На рис. 58 изображена парабола у — х 2 — 4х-\-Ъ и, для’ сравнения,
парабола у = х \
Упражнения
Построить графики зависимостей:
1. У: 3. у==~-лг2 — л: + ~ .
4. х = у ш+ у + 1.
5. у 2 = х + у .
§ 8. Исследование графика квадратичной функции
При построении графика квадратичной функции
у — а х 2 — \-b x -\-c
могут представиться следующие случаи.
Сл у ч а й ! . а > 0; Ь% — 4 ас > 0. В этом случае бесконечные
ветви параболы направлены вверх, ордината вершины
4 ас — Ъ% Ь2 — 4 ас
4 а 4 а
вер-
абс-
отри цате льна, и следовательно,
шина расположена ниже оси
цисс (рис. 59). В силу этого парабола
должна пересекать ось абс^
цисс в двух точках. Абсциссы этих
точек являются корнями трехчлена
a x l -\-b x -\-c или, что то же самое,
корнями уравнения а х 2 -f* bx -f- с = 0,
ибо ордината любой точки оси абсцисс
есть 0.
Таким образом, мы убеждаемся из геометрических соображений,
что в этом случае трехчлен имеет два действительных корня.

317 Квадратичная функция. Математика оформление кабинета.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика