дома » Алгебра в школе » Некоторые задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

Некоторые задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

§ 5. Некоторые задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

Ч А С Т Ь II. Г Л А В А II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Квадратные уравнения, так же как уравнения первой степени,
оказываются полезными при решении многих задач. Заметим, что если

задача приводится к решению квадратного уравнения, обычные приемы
и правила арифметики оказываются бессильными для решения такой
задачи, в то время как задачи, приводящиеся к уравнениям первой степени,
по большей части могут быть решены и средствами арифметики.
При решении задачи, сводящейся к квадратному уравнению, необходимо,
после того как уравнение составлено и решено, производить

269 Задачи приводящиеся к квадратным уравнениям, Серия библиотека учителя.

проверку полученных корней по смыслу задачи. При. этом часто
оказывается, что из двух полученных корней отвечает смыслу задачи
лишь один.
Задача . Дети поехали на лодке и поднялись на веслах на
б км от пристани против течения реки. Затем они ловили рыбу,
останавливаясь в разных местах. Через 3 часа они оказались в 2 км
ниже первой остановки и, окончив ловлю, пошли на веслах обратно
к пристани. Всего они пробыли на лодке 5 часов. Какова скорость
лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки
равна 2 км)час.
Решение . Обозначим скорость лодки в стоячей воде (в км/час)
через х. Тогда скорость лодки при. движении против течения реки
равна х — 2 км/час, при движении по течению равна jc — 2 км/час.
Дети гребли против течения реки 6 км, на это они затратили
—Г2 2 часа, затем 3 часа ловили рыбу и затем гребли 4 км по те-
4
чению реки, на что затратили часа. Итак,
Уравнение составлено. Умножим обе его части на общий знаменатель
(х — 2)(jc—{— 2) = х* — 4. (При этом уравнение может приобрести
лишние корни.) Получим
Оба корня удовлетворяют уравнению (1), что легко проверяется
подстановкой их в это уравнение. Однако по смыслу задачи подходит
только первый корень x i = 6.
Задача . Периметр прямоугольника равен 20 см. Площадь этого
прямоугольника равна 25 см*. Определить стороны прямоугольника.
Решение . Обозначим длину основания прямоугольника через
х см. Тогда высота прямоугольника равна 10 — х см, ибо сумма
длин основания и высоты равна полупериметру. Следовательно, пИЬ-
щадь прямоугольника равна
0 )
Ответ. 6 км/час.
* (1 0— х ) см\
По условию задачи
*(10 — *) = 25,

270 Задачи приводящиеся к квадратным уравнениям, Серия библиотека учителя.

отсюда _______
10лг+25 = 0; лг = 5 ± 1^25 — 25 = 5 .
Уравнение имеет единственный корень х = 5, и он подходит по
смыслу задачи.
Ответ. 5 см.
Задача. Сторона квадрата ABCD равна 10 см. От его вершин
в направлении обхода по часовой стрелке
(рис. 42) отложены равные отрезки Аа, ВЬ,
Сс, Dd, и точки а, Ь, с, d соединены прямыми.
Площадь квадрата ttbcd равна 40 см. Определить
длину отрезка Аа.
Решен ие . Обозначим длину отрезка
Аа через лг см. Тогда длина каждого из
отрезков аВ, ЬС, cD, dA равна 10 — лг см.
Треугольники аВЬ, cDd, будучи приложены
по гипотенузам, составляют прямоугольник A d Л
со сторонами лг и 10— х см и, следователь- рис 42
но, сумма их площадей равна лг(10 — х ) см \
Точно так же сумма площадей треугольников a Ad и ЬСс равна
jc (10 — лг) с м \ Но
пл. ABCD — пл. a b e d пл. аВЬ-\-пл. cDd -\-пл. aAd-^r пл. ЬСс.
Следовательно,
100 == 40 -f- 2лг (10 — лг),
откуда
л;*— 10лг + 30 = 0.
Это уравнение действительных решений не имеет. Следовательно,
и задача не имеет решения.
Ответ. Задача не имеет решения.
Проведем теперь исследование последней задачи, выяснив, как
следует изменить условие задачи, чтобы подобная задача имела решение.
При этом будет вскрыта причина, в силу которой данная
задача не имеет решения. С этой целью поставим задачу в общем
виде, заменив все численные данные буквами. Итак, пусть сторона
квадрата ABCD равна I см п площадь квадрата abed равна 5 см\
Рассуждая таким же образом, как при численных данных, мы получим
для х — Аа уравнение
/* = $-}- 2лг(/— лг)
или
2лга — 2/лг + / 2 —5 = 0.
Решая по формуле (4), получим

271 Задачи приводящиеся к квадратным уравнениям, Серия библиотека учителя.

Для того чтобы уравнение, к которому свелось решение задачи,
имело действительные решения, необходимо и достаточно, чтобы
/2
число 2s—/ а было положительным или нулем, т. е. чтобы 5 ^ у . В задаче,
которую мы рассматривали, это условие выполнено не было.
Однако даже если уравнение имеет решение, задача может решений
не иметь, если корни не подходят по смыслу задачи. В нашей
задаче корень х будет подходить по смыслу задачи в том и только
в том случае, если 0<^х<^1, так как точка а должна находиться
между точками А и В.
Очевидно, если корень
Х \ —_— ± tl^ 9E L
удовлетворяет поставленному требованию, то ему удовлетворяет и
второй корень
/ — У 2s — /2
X2 2 »
так как х х-\-Хъ = 1. Геометрический смысл этого обстоятельства
ясен: если отрезок х г — Аа заменить отрезком аВ = АВ — Аа =
— I—х 1=Хъ, получится равный вписанный квадрат.
Таким образом, для выяснения условия существования решения
задачи остается установить, когда 0 < ^х х<^1. Очевидно, х х всегда
положительно.
Для выполнения неравенства х х<^1 необходимо и достаточно
выполнение неравенства j /2 s— которое в свою очередь вытекает
из неравенства 25 — /2< ^ /а или s< ^ /2.
Итак, задача имеет решение в том и только в том случае, если
/2
s ^ y и > т- е- если Данная площадь не меньше половины площади
квадрата ABCD и меньше всей площади этого квадрата.

272 Задачи приводящиеся к квадратным уравнениям, Серия библиотека учителя.

,

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика