Прикладная направленность геометрических знаний

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

B. А. Гусев , C. С. Варданян

Методика преподавания геометрии  §6. Прикладная направленность геометрических знаний. .
Геометрические знания

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

§6. Прикладная направленность геометрических знаний. .
Геометрические знания.

Остановимся на взаимосвязях школьной геометрии с другими

Наиболее сложным и малоисследованным вопросом является
проблема межпредметных связей геометрии с дисциплинами естественнонаучного
цикла, такими, как география, астрономия, физика,
биология, ботаника и т. д. Нет сомнений в том, что велико значение
математических знаний при изучении этих дисциплин. Однако
если просмотреть материал указанных дисциплин и заданный
материал курса математики, то станет ясно, что вопрос о прикладной
направленности геометрии остается открытым и ждет своего
решения.
Проблема связей курса геометрии с дисциплинами естественнонаучного
цикла многопланова. Выделим некоторые пути установления
этих связей. При этом следует отметить, что под связями геометрии
с дисциплинами естественнонаучного цикла понимается
и связь геометрии с жизнью, с практикой.
Остановимся на некоторых взаимосвязях при изучении теоретического,
материала курсов геометрии и физики. При изучении
курса физики постоянно используется математический аппарат, а
на уроках математики мы часто пользуемся примерами из физики,
поэтому проблемы согласования терминологии, содержания приводимых
примеров и иллюстраций должны быть постоянно в поле зрения
учителя.
Острота этого вопроса связана и с новым содержанием математического
образования, вводимого в данный момент в наших
школах.
К 6 классу учащиеся уже готовы к восприятию фигуры как
произвольного множества точек. Само понятие точки для них неопределяемое
понятие, они знают, что в случае точки мы абстрагируемся
от каких бы то ни было размеров. Вот здесь-то и необходимо
подкрепить это обстоятельство реальной практикой, и у физики
здесь неограниченные возможности, так как рассмотрение материальной
точки, ее поведения — связей ее поведения и самого тела,
понятие траектории как множества точек и т. д. — все это совершенно
необходимо для изучения самой физики и в то же время это
бесценная помощь математикам, так как именно здесь учащимся
требуется подкрепление абстракции практической применимостью.
Выше было сказано, что особенностью аксиоматики школьного

29 Геометрические знания.

качестве неопределяемого и введение аксиом расстояния. Понятие
«расстояние» широко используется и в курсе физики. При этом в
пособиях по физике для обсуждения одних и тех же вопросов используются
как понятие «расстояние», так и понятия «путь», «длина
пути», «траектория», «длина траектории». Теоретико-множественный
подход к изложению курса геометрии сразу резко разграничивает
понятия пути и длины пути, траектории и длины траектории,
кроме этого, отождествление понятий расстояния и длины пути
(длины траектории) возможно только при прямолинейном движении
тела, и об этом ученику должно быть четко сказано как на уроках
математики, так и на уроках физики.
Особое место в вопросах межпредметных связей курсов математики
и физики занимает векторный аппарат. Изучение векторов
в 7 классе курса геометрии вызвано прежде всего потребностями
курса физики, где векторы начинают активно работать с
первых уроков в 8 классе. G другой стороны, появление векторов
в середине 7 класса в курсе геометрии позволило активно их использовать
и при изучении различных разделов курса геометрии. Так,
определение гомотетии дается через операцию умножения вектора
на число, свойства гомотетии также получают, пользуясь векторами.
В 8 классе вводятся координаты вектора, которые позволяют
получить соотношение между элементами в прямоугольном треугольнике
и т. д.
Однако активное введение векторного аппарата в курсе математики
и физики требует согласования его использования. Прежде
всего это связано с определением вектора. Традиционно вектор
определялся как направленный отрезок. Теоретико-множественный
подход, распространенный сейчас в школьном курсе математики,
не позволяет принимать такое определение вектора. На эту невозможность
указывают в последнее время и в вузовской литературе.
Естественно, что разные авторы могут давать различные определения
вектора, однако было бы чрезвычайно вредно, чтобы эти
определения расходились в школьных курсах математики и физики.
В настоящее время мы исходим из определения вектора — параллельного
переноса, принятого в учебном пособии по геометрии
под редакцией академика А. Н. Колмогорова.
Традиционно сложилась терминология, отождествляющая понятия
вектора и векторных величин, которые занимают важное
место в курсе физики. Трудно утверждать, что такая «вольность
речи» не может иметь места, но во всяком случае об этом должно
быть явнб сказано. Учащиеся должны понимать, что, несмотря на
то что в учебниках физики написано: сила — вектор, скорость —
вектор, однако ни физик, ни математик такие векторы не складывает.
Вектор в математике вводится как свободный вектор, т. е.
он может быть отложен от любой точки плоскости. Важно понимать,
что математический векторный аппарат может быть с успехом

30 Геометрические знания.

применен при изучении векторных физических величин и что математику
совершенно не интересует конкретный вид этой величины*
Выбрав определенный масштаб и зная направление действия величин,
к ним можно применить векторный аппарат.
Самым тесным образом примыкает сюда и вопрос употребления
понятия «перемещение», которое в данный момент в курсах физики
и математики используется в разных смыслах. Весь курс геометрии
строится на основе понятия перемещения как отображения плоскости
на себя с сохранением расстояний между соответствующими
точками, а курс физики нельзя себе представить без понятия перемещения
как «направленного отрезка прямой, соединяющего начальное
положение тела с его последующим положением».
Вряд ли здесь можно было бы предложить совершенно иные
определения и другие названия этим понятиям.
Вместе с тем учитель должен объяснить ученику отличие трактовок
понятия перемещения в курсе математики и физики, так
как в противном .случае вряд ли можно рассчитывать на усвоение
этих понятий учащимися. В качестве возможных пояснений можно
указать на то, что перемещение в физике характеризуется лишь
парой точек, а перемещение в математике — это отображение всей
плоскости, т. е. множество соответственных пар точек.
Говоря о политехнизме при обучении геометрии, следует в
первую очередь остановиться на правильном подборе задач, отражающих
приложения геометрических фактов, а также над возможностями
иллюстрации теоретического материала различными примерами
из практики.
Одной из причин «трудности» геометрии для учащихся и быстрого
забывания изученного материала является отсутствие на многих
уроках живого интереса учащихся к предмету, а также недостаточное
внимание учителя к формированию прочных и разнородных
ассоциаций изучаемого материала с отдельными элементами
их умственной деятельности.
Добиться успешного овладения учащимися курсом геометрии
со всеми нюансами его логики и идей можно лишь при условии,
когда учащийся убеждается, что знание свойств геометрических
понятий с успехом применимо
к разрешению многочисленных
и разнообразных задач, возникающих
в повседневной жизни,
в технике, в естествознании.
Рассмотрим теорему, которая
имеет интересную трактовку,—
теорему о том, что биссектриса
угла треугольника делит
противоположную сторону в таком
же отношении, в котором
находится отношение сторон,
образующих этот угол.

31 Геометрические знания.

Рассмотрим такую ситуацию.
Два корабля (рис. 11) выходят из точки О в 8 ч и плывут в разных
направлениях О А и О А’ со скоростями 20 м/с и 12 м/с. Положения
пароходов Л, А/ в 8.30 и В, В’ в 9.00 показаны на рисунке II,
так как скорости постоянные, то точки А и А’ — середины отрезков
О В и OB’. Что можно утверждать о [Л Л’]. Он параллелен [ВВ’\
по теореме о средней линии треугольника. Другими словами, человек,
стоящий на первом корабле и видящий второй корабль в
направлении северо-запада в 8.30, увидит, что в 9.00 второй корабль
будет также на северо-западе. То же самое можно наблюдать
в 8.15, в 8.43 [СС] также параллелен [ A A f ] и [ВВ’\. Таким образом,
положение одного корабля, если на него смотреть с другого, постоянно
в течение движения двух кораблей, начатого из точки О.
Здесь необходимо заметить, что этого не будет в случае, когда они
выходят из разных точек (рис. 12), и не будет в том случае, если
корабль меняет либо скорость, либо курс.
Теперь повернем корабли в 9,00 и проследим их пути. Они достигнут
точек С и С’ в 9.17, и ясно, что условные линии, соединяющие
два корабля, остаются параллельными в течение их движения
до встречи в точке О. Мы замечаем такой факт, что если человек,
находящийся на одном корабле, наблюдая за другим кораблем,
видит его все время в одном и том же постоянном направлении, то
кораблям грозит столкновение.
Теперь мы можем решить, такую задачу о столкновении: «В
11.30 корабль Р видит корабль Q в указанном на рисунке 13 положении,
и известно, что Q плывет по курсу 75° со скоростью 15 м/с.
В каком направлении должен плыть корабль Р, чтобы пересечься
с кораблем Q, если его скорость 15 м/с?»
Задача решается путем отметки положения корабля Q, например,
через час (или в любой подходящий интервал времени) в точке
R. Тогда точка R в то же время должна лежать на прямой, проходящей
через R и параллельной (QR) (см. текст вначале).

32 Геометрические знания.

Таким образом, в 12,30 наш корабль
должен находиться на этой
прямой, а также на окружности с центром
в точке Р и радиусом 25 единиц
(в выбранном масштабе). Поэтому направление
нужного движения задается
лучом PS и столкновение, очевидно,
случится в точке О, если ни один корабль
не предпримет соответствующих
действий, чтобы избежать его.
Конечно, если бы корабль Р заменить
торпедой, нацеленной на корабль
Q, то наша задача была бы предметом
военных учений на море.
Теперь мы подходим к теореме
о биссектрисе угла. Флагманский корабль
выходит из точки А (рис. 14)
в 10.40 в направлении 80° к северо-
востоку со скоростью 20 м/с. Два
эскадренных миноносца в этот же момент
выходят из точки А и идут в направлении
АС со скоростью 30 м/с.
В 11.44 позиции флагманского корабля и миноносцев — точки
В и £ и линия, а соединяющая флашанский корабль и миноносец
всегда в фиксированном положении, параллельна (BE). Так,
например, в 11.30 позиции кораблей — Р и Q, а (Р0) || (BE).
Теперь предположим, что одному из миноносцев приказано
вернуться к флагманскому кораблю к 11.4,4, он сделал это в 11.20,
изменив курс без изменения скорости, и наконец присоединился к
кораблю в отмеченной точке в 11.44. Тогда \СВ\ = |С£| и если
точка D — положение флагманского корабля в 11.20, мы можем
легко показать, что [CD) — биссектриса угла АС В. Расстояния
\АС\ и \СВ \ находятся в том же соотношении, что и | AD\ и \DB-b
а именно 5 : 3, т. е. соотношение интервалов времени.
Итак, мы показали возможный вариант интересного прикладного
подхода к доказательству одной из теорем планиметрии. В процессе
подхода к ее доказательству многие геометрические факты
получили прикладное толкование: понятия направления, параллельности,
средней линии треугольника, пропорциональность
отрезков и т. д. Главное заключается в том, что ученика будет связывать
с этой теоремой стратегия поведения миноносца, которая
наверняка его заинтересует. Кроме этого, учащиеся получат первоначальные
представления о морском деле, о навигации.
Приведем другие примеры прикладных геометрических задач
по некоторым темам курса.

33 Геометрические знания.

 

Геометрические знания