ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ
СБОРНИК СТАТЕЙ
B. А. Гусев , C. С. Варданян
Методика преподавания геометрии.§ 3. Понятия, теоремы и аксиомы планиметрии.
Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Текст для быстрого ознакомления:
§ 3. Понятия, теоремы и аксиомы планиметрии.
Систематический курс планиметрии построен таким образом,
что его разделы, изучаемые в разных классах, имеют весьма ясные
связи. Это означает, что каждый следующий раздел базируется на
предыдущем материале и развивает его. Часто эти взаимосвязи внешне
малозаметны, что затрудняет работу учителя по новым программам.
На протяжении всего курса планиметрии учащиеся знакомятся
с элементами аксиоматического построения геометрии: неопределяемыми
понятиями, аксиомами, теоремами и т. д. Учащиеся постепенно
знакомятся с системой аксиом геометрии: им сообщается 9
из 12 аксиом, а полный список аксиом появляется лишь в 8 классе.
И здесь, по-видимому, возникает одна из самых трудных задач —
научить учащихся умению видеть необходимость появления той
или иной аксиомы и ее дальнейшего использования. В учебных
пособиях ознакомление учащихся с элементами аксиоматического
построения курса планиметрии проводится постепенно. Аксиомы
не перечисляются в начале курса, как это делается при строгом
аксиоматическом построении курса, а вводятся постепенно, по мере
их необходимости.
В качестве общего методического принципа знакомства учащихся
с аксиоматическим методом в курсе геометрии принимается
следующий путь: из интуитивных знаний выделяется система основных
понятий, указываются взаимосвязи этих основных понятий,
14 Преподавание геометрии в школе. Понятия, теоремы и аксиомы планиметрии.
задаваемых в виде системы аксиом; далее после составления списка
основных понятий всякое новое понятие, исходя из интуитивных
представлений, определяется формально, а после установления
системы аксиом всякое новое сконструированное предложение доказывается
на базе введенных определений и сформулированных аксиом.
Остановимся на формировании общих представлений о логическом
строении курса геометрии. Это прежде всего знакомство учащихся
с элементами аксиоматического построения геометрии, как и
любой математической теории.
Нельзя считать, что указанный выше методический принцип
знакомства учащихся с элементами логического строения геометрии
полностью реализуются в курсе геометрии 6—8 классов средней
школы. Так, в планиметрии затрагиваются лишь его отдельные
стороны, в курсе стереометрии они проводятся более последовательно.
Эта работа не может быть проведена на одном уроке или
на нескольких. Для успешного усвоения этого сложного момента
нужна целенаправленная работа в процессе всею преподавания
курса геометрии. Заметим, что эта работа не является самоцелью.
Она обеспечивает понимание и усвоение понятий, позволяет приучить
учащихся к обоснованности вводимых фактов, к возможности
и необходимости проведения доказательств.
Формирование понятий
Анализируя вновь формулируемые понятия, учащиеся должны
уметь вычленять входящие в них понятия, которые в свою очередь
также должны быть подвергнуты анализу. В процессе изучения
систематического курса учащимся необходимо усвоить, что мы имеем
дело с неопределяемыми понятиями, а также с понятиями, которым
даются строгие определения, и наконец с понятиями, вводимыми
описательно без строгого математического определения.
Работа по введению и формированию этих понятий является
сложным процессом, пронизывающим весь курс школьной математики,
и в частности планиметрии. Существует много понятий,
о которых в учебнике явно не сказано, к какому виду они относятся.
Так, говоря о неопределяемых понятиях, следует иметь в виду,
что мы пользуемся не только четырьмя неопределяемыми геометрическими
понятиями: «точка», «прямая», «расстояние», «плоскость»,
но и другими общематематическими неопределяемыми понятиями, к
которым в первую очередь относится понятие «множество». Вторая
группа понятий, определения которых даны явно в учебном пособии,
является более простой для усвоения, хотя, как уже указывалось,
учащиеся должны уметь проанализировать эти определения,
выделив при этом входящие в него понятия.
Особенно четко необходимо разобраться в понятиях третьей
группы. К ним можно отнести довольно широкий круг понятий:
«соответствие», «отношение», «число», «величина», «площадь»,
«объем», «величина угла», «длина окружности» и т, д. Ни одному из
15 Преподавание геометрии в школе. Понятия, теоремы и аксиомы планиметрии.
перечисленных понятий в курсе планиметрии определений не дается.
Вместе с тем подавляющее число тем курса планиметрии тесно
связано с ними.
Условно эти понятия можно классифицировать так:
а) понятия, относящиеся к обязательному курсу и определения
которым будет дано в старших классах;
б) понятия, определения которых можно рассмотреть на факультативных
и внеклассных занятиях;
в) понятия, определения которых не входят в содержание классных
и внеклассных занятий.
Из определений первой группы особую важность представляют
понятия площади и объема. Этот вопрос тем более важен, что данные
понятия используются при изучении всех смежных дисциплин
(физики, химии, биологии и т. д.).
В курсе планиметрии понятие площади впервые встречается
в 7 классе. В теме «Общие сведения о площадях фигур» говорится
о площадях многоугольников. Внимание учащихся обращается на
то, что площадь многоугольника — это неотрицательная величина,
а следовательно, для нее выполняются все свойства величин, рассмотренные
в п. 3 учебного пособия для 6 класса под редакцией
А. Н. Колмогорова.
-При получении формул для площадей многоугольников в 6—8
классах используются свойства площадей, которые принимаются
без доказательства:
L Конгруэнтные многоугольники имеют равные площади.
2. Если многоугольник составляется из непёрекрывающихся.
многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
(Многоугольник составлен из неперекрывающихся
многоугольников, если он является объединением этих многоугольников
и никакие два из этих многоугольников не имеют общих
внутренних точек.)
Кроме этого, без полного доказательства принимается тот
факт, что площадь прямоугольника со сторонами а и b вычисляется
по формуле S = а • Ь.
В учебнике геометрии 7 класса дан вывод этой формулы в случае,
если а и b — натуральные числа.
Таким образом, в курсе планиметрии дается довольно полное
аксиоматическое определение понятия площади многоугольника.
При этом мы получаем достаточно широкий набор формул для вычисления
площадей многоугольников, правда опираясь на недоказанную
формулу вычисления площади прямоугольника.
В курсе геометрии средней школы не рассматриваются площади
произвольных фигур. Этот вопрос рассматривается лишь в частных
случаях. Так, в п. 119 «Площадь круга» дается интуитивный
вывод формулы для вычисления площади круга, а в § 65 учебного
пособия «Геометрия» для 10 классов под редакцией 3. А. Скопеца
«Обобщение задачи измерения объемов, объем цилиндра» рассматривается
достаточный для уровня средней школы вывод этой фор-
16 Преподавание геометрии в школе. Понятия, теоремы и аксиомы планиметрии.
мулы. О теории площадей произвольных фигур говорится в курсе
«Алгебра и начала анализа».
Отметим еще, что учителю следует исключить из обихода такие
неудачные выражения, как: «Отрезок примем за единицу длины»
или «Квадрат примем за единицу площади». Все это противоречит
общему представлению о площади как о величине, поставленной
в соответствие некоторой фигуре.
Понятие объема фигуры детально изучается в курсе геометрии
старших классов. Однако первое и довольно обстоятельное знакомство
с этим понятием происходит в 8 классе. Так, в теме «Общие свойства
объема» закладываются представления о самом понятии объема
и о способах его вычисления. Приведем основные факты.
Задача состоит в том, чтобы всем многогранникам (а по возможности
и другим фигурам) поставить в соответствие определенное
число V (Ф) ^ 0, обладающее такими свойствами:
1. Если фигуры Фх и Ф2 конгруэнтны, то
1/(Ф1)=^(Ф2).
многогранник Ф является объединением многогранни-
Ф/Г^е имеющих общих внутренних точек, то
1/(ф) = 1/!(ф1) + У(ф3).
ели фигура Ф есть часть фигуры Фг (т. е. Ф — подмноже-
^тв& Ф^, то
У = (ф)<У(ф1).
4. Для куба Е с длиной ребра е V (Е) = e3
t
Можно доказать, что при заданной единице длины е эта задача
для многогранников имеет одно-единственное решение. Только
одним-единственным образом можно каждому многограннику Ф
поставить в соответствие число V (Ф) с соблюдением требований 1—4.
В учебном пособии приводится вывод формулы объема прямоугольного
параллелепипеда для случая, когда численные значения
длин его ребер являются рациональными числами.
В этой трактовке понятие объема истолковывается как число.
Такой подход типичен для математической литературы, однако
вся работа по изучению чисел и величин, начатая с 6 класса, заставляет
нас считать объем неотрицательной скалярной величиной,
а число, фигурирующее в приведенном выше тексте, есть численное
значение этой величины при выбранной единице измерения.
В старших классах .(§ 55 учебного пособия для 10 класса), говоря
об объемах многогранников, формулируются три свойства,
указанные выше, исключая свойство 3, про которое говорится,
что его можно вывести из свойства 2. Здесь же дается доказательство
теоремы об объеме прямоугольного параллелепипеда и развитие
этого понятия (§ 65 учебного пособия для 10 класса): класс
фигур, для которых определяется и вычисляется объем, расширяется,
17 Преподавание геометрии в школе. Понятия, теоремы и аксиомы планиметрии.
т. е. рассматриваются круглые тела — цилиндр, конус, шар,
фигуры вращения. При определении объемов указанных фигур формулируются
только два свойства:
а) конгруэнтные фигуры имеют равные объемы;
б) если фигура Фх содержится в фигуре Ф2, то объем фигуры Фх
не больше объема фигуры Ф2.
Учителю следует понимать: полной теории площадей и объемов
в классе рассмотреть не удается и делать этого нет необходимости.
Вместе с тем учащиеся получают довольно обстоятельные сведения
по этим вопросам уже в восьмилетней школе, где рассмотрены
многие вопросы о площадях многоугольников и объемах многогранников.
Говоря о понятиях, отнесенных к группе б), следует прежде
всего сказать о понятиях площади и объеме произвольных фигур,
которые могут быть полностью раскрыты на факультативных занятиях.
Для иллюстрации понятий третьей группы можно рассмотреть,
например, определение понятия «величины угла». Прежде чем рассмотреть
это понятие, надо заметить, что само понятие угла очень
многопланово и пронизывает практически весь курс геометрии.
Определение угла можно трактовать по-разному: как объединение
двух лучей, как аргумент тригонометрических функций, как объединение
двух лучей с общим началом и ограниченной ими части
плоскости. В учебном пособии по геометрии угол как геометрическая
фигура определяется в последнем смысле. Однако мы имеем
дело и с понятиями угла в иных смыслах — угол между лучами,
угол между направлениями, угол поворота, двугранный угол,
линейный угол двугранного угла, плоский угол, трехгранный
угол и т. д. Отметим основное различие, которое всегда следует
иметь в виду: угол — геометрическая фигура и угол — величина.
Так, в частности, угол между лучами, угол между направлениями,
угол поворота — величины. Отдельно следует сказать об углах
треугольников и четырехугольников, где, говоря «угол треугольника
» или «угол четырехугольника», мы подразумеваем и его величину,
и соответствующую фигуру. Но не только это надо понимать,
оперируя с углами. То определение угла, которое дано в учебном
пособии для 6 класса под редакцией А. Н. Колмогорова, базируется
на понятиях «область» или «часть плоскости, ограниченной двумя
лучами», введение которых само по себе не просто (см. статью
А. М. Абрамова).
18 Преподавание геометрии в школе. Понятия, теоремы и аксиомы планиметрии.
Околоadmin
