§ 9. Примеры и приложения.
Ч А С Т Ь II. Г Л А В А II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
День специалиста в библиотеке для учителей
Рассмотрим несколько примеров на применение результатов § 6—8.
Пример. Составить приведенное квадратное уравнение, корнями
которого являются квадраты корней уравнения
лг4 — 7лг + 5 = 0.
Мы дадим два решения этого примера.
§ 8. Составление квадратного уравнения по данным корням
Пусть даны два числа x it лга, различные или равные. Требуется
построить приведенное квадратное уравнение, имеющее своими корнями
х х и лга.
Очевидно, что в качестве такого уравнения можно взять
(лг — х х) (лг — лг2) = 0
или, после раскрытия скобок,
ЛГ4 — (Л^ + лга) лг лг1лга = 0.
Действительно, если вместо лг подставить х х или лга, левая часть
уравнения обратится в нуль, ибо один из сомножителей окажется
равным нулю.
Из формулы Виета следует, что составленное уравнение является
единственным решением поставленной задачи. Действительно, если
уравнение лг4-{-р л г ^ = 0 имеет корни х х и лга, то его коэффициенты
р и q выражаются через х х и лг* по формулам
р — — (х 1 + лга), q = х хх г,
т. е. оно совпадает с составленным выше.
Итак, существует единственное приведенное квадратное уравнение,
имеющее своими корнями данные числа х х и jca. Коэффициенты
этого уравнения выражаются через х х и лга по формулам Виета,
Упражнения
Составить приведенные квадратные уравнения по данным корням:
1» Xi = 3| х$ — —1. 3.Xj = 3; — j ,
« r _ i Лl + ^ T ‘s 9. Лr 8 _ i — I2/ s ‘ *
275 Примеры и приложения, День специалиста в библиотеке для учителей.
Пе р в о е решен и е . Уравнение х * — 7лг —f— 5 = 0 имеет корни
^1 _ 7_+_у^2£ и ЛГа_ 7 — 1^29 ^ j^ x квадр аты х } = ,39+ ^ ^ 2Э и
3Q j 1^29* х \ = —————- . Согласно формулам Виета искомое уравнение имеет
коэффициенты
р = — W + J f D = — 39,
Вт о р о е решение. Пусть х г и лга — корни данного уравнения.
Тогда искомое уравнение имеет коэффициенты р = — +
и q = x \ x \ . Преобразуем их так, чтобы их было легко выразить
непосредственно через коэффициенты данного уравнения, мйнуя вычисление
Xi и jc2. Именно,
р = — (х\ + xl) — — (х\ + 2х\Хъ + *1 — 2*!**) =
• = — ( * i+ ■*«)*+ 2*1**
q = x \ jc| = (jCiJCa)8.
Но
Х\ -j— х% = 7 f х^Хъ = 5,
Следовательно,
р = — 49 + 10 = — 39; ^ = 52 = 25.
Мы пришли к тому же ответу, но при значительно меньших вычислениях.
Ответ, х 8 — 39л:-4-25 = 0.
Пример . Решить систему уравнений
Х + У = 12,
х у = 35.
Решение . Составим вспомогательное квадратное уравнение,
корнями которого являются х и у . Так как сумма и произведение
чисел х и у нам известны, это уравнение составляется по формулам
Виета, именно, оно есть
г*— 122 + 35 = 0.
Решая его, получим z t = 7; z2 = 5. Один из его корней мы
должны принять за х , другой за у . Так как это можно сде^^гь
двумя способами, мы получим два решения системы ‘
х х — 7 , \ лга = 5, |
276 Примеры и приложения, День специалиста в библиотеке для учителей.
Рассмотренный в последнем примере прием применяется к любой
системе уравнений вида
х + у = а, \
х у = Ъ. }
Пример. Решить систему уравнений
х —у — 1, 1
х у = 44. J
Решение . Составим вспомогательное квадратное уравнение,
корнями которого являются х и —у . Так как сумма этих двух
чисел равна 7, а произведение х {—у ) равно — х у — — 44, вспомогательное
уравнение есть
z* — 7z — 44 = 0.
Решив его, получим ^ = 11; za = — 4. Один из этих корней мы
должны принять за х , другой за — у . Сделав это двумя возможными
способами, получим два решения системы
*1 = 11, 1 *а = — 4, )
Л = 4, J у% = — 11.)
Ответ. j c j= 11, ^ = 4; лг2 = — 4, _у2 = — 11.
Рассмотренный в последнем примере прием может быть применен
к любой системе уравнений вида
х —у = а , |
х у = Ь. }
В случае, если вспомогательное уравнение при решении системы
х ± у — а, 1
х у — Ъ J
не имеет действительных корней, то и сама система действительных
решений не имеет.
Упражнения
1. Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются
л:? и х\у где хх и х2—^корни уравнения х2 — 9л:— 1 1 = 0 .
2. Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются
Злг!— л:а и Зл:2 —x Xi где хх и х% — корни уравнения — 9 = 0 .
277 Примеры и приложения, День специалиста в библиотеке для учителей.
Околоadmin
