Функции arcsin х, arccos х, arctg х
| ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Обратная функция
Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.
Скачать только ГЛАВА 2: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.
§ 2.11. Функции arcsin х, arccos х, arctg х
Функция
// = s inx ( — ~ у )
непрерывна и, если х возрастает от — — Д° ■§■ » то 1/ возрастает
от —1 до 1. Поэтому, как мы знаем, существует
обратная к этой функции функция, т. е. каждому у из
54 ГЛ. 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
отрезка [—1 , 1] соответствует единственное значение л: на
отрезке | — у , y j , для которого у = sin л;. Но тогда
* = arcsint/ (—1 ^ г / < 1).
Таким образом, функция arcsin у есть обратная функция
к функции i/= s in х, рассматриваемой на отрезке — у > у •
54
Чтобы получить в системе координат хОу график
функции
= arcsin л: (—l s ^ x ^ l ) ,
строим график функции: (рис. 59)
х — sm у —
Одновременно он является также графиком функции у —
— a rc sin e (—l s ^ x ^ l ) . Функция
у = COS X (0 ^ х ^ я)
непрерывна, и если х возрастает от 0 до я , то у убывает
от 1 до —1. Но тогда, рассуждая как выше, получаем,
что существует обратная ей функция, определяемая формулой
х — arccos у (—1 ^ г / ^ 1).
График функции
у — arccos х (— 1 ^ х ^ 1)
в системе координат хОу совпадает с графиком функции
(рис. 60)
x = cosy (O^ Z y ^ n ) .
Функция
г [ зх . > л
у = t gX \ — Y < X <‘ 2
непрерывна на интервале ^ — у , y j , и при этом, если х
возрастает от — —■ до + у > она возрастает от — оо д о + оо.
Следовательно, существует обратная к ней функция
х — arctg у (— оо < у < + оо).
График функции у—arctgx (— оо < х < оо) (см. рис. 61)
совпадает с графиком х = tg у ( — у < # (и симметричен
графику функции у — tg х относительно биссектрисы
первого координатного угла).
Справедливо равенство
arcsin a-f- arccos а = у , (16)
верное для. любого а, удовлетворяющего неравенствам
— 1 1.
55
В самом деле, равенство (16) проверяется непосредственно
при а = О, 1, —1. Если же 0 < а < 1, то обратимся
к числовой окружности (рис. 62), на которой отметим
в I четверти точку В , имеющую ординату, равную а.
Опустим из В на оси координат перпендикуляры. Отметим,
что а = BF = OD = sin ^А В = cos ^ВС. Поэтому
Пусть теперь —1 < а < 0. Отмечаем (рис. 63) на числовой
окружности в IV четверти точку В, имеющую ординату,
равную а — — |а| , и опускаем из В на ось х перпендикуляр
BD. Отмечаем также на числовой окружности
точку Е, имеющую абсциссу, равную а = — | а |, и опускаем
из Е на оси координат перпендикуляры EL и EF. Очевидно,
‘-‘ЕС = ^ А В , поэтому wАЕ— АВ = 4г- Так как
arccos а — ^ А Е , arcsin а = — WAB, то arccos а + arcsin а —
= WA E— = что и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЯ
1 . Что такое
a) a rc sin х? б) arccosх? в) a rctg x ?
2. Какой функции обратна функция
a) a rc sin х? б) arccosх? в) arctgx?
3. Как можно получить графики этих функций, если
воспользоваться соответственно графиками функций sinx,
cos х, tg х?
56
#arcsin х #функция #математика #анализ #математический_анализ
Тригонометрические функции
Школьная математика
Математика в школе
Околоadmin
