ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

А. Б. Василевский
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
9—11 КЛАССЫ КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Задание 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ

Скачать бесплатно в формате PDF с хорошим качеством: А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ «Задание 1,2».

Смотреть онлайн:

Текст для быстрого ознакомления . Возможны неточности по формулам. Рекомендуем скачать книгу выше.

Задание 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ

З а д а ч а 1. Что больше. 754797 или 764804
П е р в о е р е ш е н и е . Обозначим: 368972 = /г,
764797 = к. Исследуем разность
п п + 3 7п — 3k
Т~ k + 7 ~ k{k 7) *
Очевидно, 7ոՀ>1 • 360 ООО = 252 • 10 ООО и 3k <Հ 3 X
X 770 000 = 231 • 10 000.
Теперь ясно, что первая дробь больше второй.
В т о р о е р е ш е н и е . Числитель второй дроби больше
числителя первой дроби на 3, знаменатель второй
дроби больше знаменателя первой дроби на 7. Но
■ ■ i L ֊< ■■■?—. 368 972 764 804
Поэтому первая из данных дробей больше второй
дроби.
Т р е т ь е р е ш е н и е . Разделим первое число на второе
и преобразуем полученную дробь следующим
образом:
368 972 • 764 804 К 368 975 • 764 797
т , , , 3 ^ 1 7 ^ 1
ак как 368 975 ^ 120 000’ 2 764 797 ^ 120 000’ Т°
/г > 1, и первая из данных дробей больше второй дроби.
Ч е т в е р т о е р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора
получаем
376684 977927 ~ ’0 ,48244437;6 ^4 8 ^0 »4 0,482448.
З а д а ч а 2. Извлечь корень пятой степени
Հ1682 +305V5
19

———-

Р е ш е н и е . Ьудем искать рациональные числа п и
k такие, что
д/682 + 305^/5 = п + kф.
Для этого при помощи микрокалькулятора последовательно
находим:
sjb « 2,2360679; (1)
д/5-305 «682,0007; (2)
682 + 682,0007 да 1364,0007; (3)
д/б82 + 305д/5 « 4,2360679. (4)
Проделанная работа помогает найти путь к решению
задачи. Сравнив равенства (1) и ( 4 ) , приходим к
предположению, что k= 1 и /1 = 2, т. е. наверное,
д/б82 + 305-V5 = 2 + -у/Е. (5)
В справедливости равенства (5) легко убедиться
возведя его обе части в пятую степень.
З а д а ч а 3. Найдите х и у, если
-\/119 287 — 48 682д/б = л; + ipj 6.
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора получаем:
д/119 287 — 48 682д/б ж 2,101121; д/б«2,44949;
х + 2,44949у « 2,101112. (\)
Естественно попытаться поискать сначала х и у среди
целых чисел. Из равенства (1) ясно, что х и у натуральными
быть не могут, ибо даже если х = 1 и у — 1,
то левая часть равенства (1) больше правой его части.
Поэтому х и у — числа различных знаков.
При помощи микрокалькулятора получаем:
2.44949 • 1 « 2,44949,
2.44949 • 2 ж 4,898978,
2.44949 • 3 ж 7,34870, (2)
2.44949 • 4 « 9,79796,
2,44949-5 ж 12,247445,
2.44949 • 6 ж 14,69694,
2.44949 • 7 ж 17,14643,
2.44949 • 8 « 19,59592,
2.44949 • 9 « 22,04541.
20

———

с десятичной частью ч-исла 2,101121 Приходим к
выводу, что у не может быть натуральным числом
Значит, у — целое отрицательное число, х — натуральное
число.
Замечаем, что 4,898978 + 2,10112 ж 7. А это приводит
к гипотезе, что 2,101121 « 7 — 2д/б.
Вычисляем (7 — 2д/б)5, После упрощения получаем
(7 — 2д/б)5 = 119 287 — 48 682л/б.
О т в е т , х = 7, у = — 2 .
З а д а ч а 4. Упростите выражение
М= ^ (1
У4 -3-^5 + 2-\/25 — Vl25
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора найдем
приближенное значение выражения М Для упрощения
вычислений преобразуем выражение
К = 4-3^5+ 2^25-д/725
следующим образом:
К = 4 — д/405 + д/400 — д/Т25 = 4 + д/400 —
-(д/^+д/тк).
На микрокалькуляторе получаем:
К ~ 0,6423887 и М ж 2,4953477
Так как в выражении М содержатся л[2Ъ =
= (д/5)2 И дА*25 = (д/5)3, то и в преобразованном виде
будет д/б. Но 1,4953487 (результат получен на
микрокалькуляторе).
Таким образом, в результате выполненного математического
эксперимента приходим к предположению,
что М = -л/Е + 1.
Попытаемся доказать, что
____________ 2 = д/5+1. (2)
д/4 -3-^5″+ 2-^25 -д/125
или ___
4 2 -=У4 -Зд/5 + 2^25 -д/125. (3)
д/5 + 1
21

————

Если равенство (3) верно, то после возведения его
обеих частей в квадрат получаем;
или
4 = (725 + 2 V 5 + 1 ) X
X (4-Зд/б +2^25-^125);
4 = (-^25 — Зд/125 + 2д/б25 — -^25 • 125 +
+ 8д/5 — 6^25 + 4д/125 — 2д/б25 + 4 —
— 3 д/5+ 2 д/25-д/125!
Последнее равенство верно. Таким образом, М =
З а д а ч а 5 Пятая степень натурального числа п
состоит из цифр 1, 2, 3, 3, 7, 9. Найти это число.
Р е ш е н и е . Составим несколько шестизначных чи
сел (включая наименьшее и наибольшее) из данных
цифр и при помощи микрокалькулятора извлечем из
них корни пятой степени: -^j 123379 ж 10,42914;
д/173923 да 11,17047; л/213379 да 11,63672; л/337912 да
да 12,75735; У733921 да 14,89807; д/973321 да 15,76345.
Отсюда ясно, что 11 15. Но искомое число п не
может быть равно 15, потому что число 155 оканчивается
цифрой 5, которой нет среди данных цифр. Итак,
11 14.
Число 145 оканчивается цифрой 4, которой тоже нет
среди данных цифр. Поэтому 11 13.
Число II5 начинается и оканчивается цифрой 1,
а среди данных цифр только одна единица. Поэтому
п = 12 или п = 13.
Вычислив, получаем:
125 = 248832, 135 = 371293.
Итак, /г = 13.
З а д а ч а 6. Найти сумму
= д/5+ 1
—J. 1
п\ ’ (1)
1 /г! = 1 • 2 • 3 •• 2/г
22

———-

Найдем решение задачи для нескольких значений п:
S(2)= ± 5(3)= S<4)= g,S(5)= Jf,S(6)=
Нетрудно заметить, что для всех полученных значений
S(n) числитель на 1 меньше знаменателя. Во-вторых,
каждый последующий знаменатель получается из
предыдущего следующим образом: 6 = 2 *3 = 3!, 24 =
= 6 • 4 = 2 • 3 • 4 = 4!, 120 = 24 . 5 = 2 • 3 • 4 • 5 = 5!,
720= 120 *6 = 2 — 3 — 4 — 5 — 6 = 6!
Итак, вырисовывается гипотеза
s^ = !4r- W
Докажем (или опровергнем) эту гипотезу методом
математической индукции:
1) Для п = 2 формула (2) верна.
2) Допустим, что
= (3)
3) Находим:
S(6+ 1)=J-+A +…+±=±4- * = ; 2! 3! k\ (fe + 1)!
ft! — 1 _|_ k _ (k\ — l)(fe+ l)+k _ (k + !)!•- 1
(ft + 1)! (ft + 1)! (ft + 1)! ‘
О т в е т . S(n) = — ~ 1 . 7 n \
Заметим, что limS(n) = 1. П —*■ + oo
З а д а ч а 7. Как составить из цифр 0, 1,2, …, 9 пять
таких двузначных чисел, чтобы их произведение было
наибольшим? (Каждая цифра должна быть использована
один раз.)
Р е ш е н и е . Допустим, что искомое произведение
есть 10 • 23 • 45 • 67 • 89. Можно ли как-то увеличить
это произведение? Можно, если 10 заменим на 19
(увеличение почти в два раза) и 89 заменим на 80
(уменьшение примерно только на 9 % ) : 1 9 * 2 3 Х
X 45 . 67 • 80.
Последнее произведение можно еще увеличить, если
заменить 19 на 91, 23 — на 32, 45 — на 54, 67 — на 76:
91 *32 — 5 4 — 76 -80.
Если у множителей 32 и 76 цифры 2 и 6 поменять
23

———

местами, то получим 36 и 72. При такой замене первый
множитель увеличился более чем на 10 %, а второй —
уменьшился менее чем на 4 %. Итак, получаем еще
одно приближение к ответу 91 • 36 • 54 • 72 • 80.
После замены множителя 36 на 63 получаем
91 -63 -54 — 7 2 — 80.
Замечаем, что если поменять местами цифры 1 и 0,
то вместо множителей 91 и 80 получаем 90 и 81. Но
9 0 * 8 1 > 9 1 *80. Поэтому получаем еще одно приближение
к ответу: 90 • 63 • 54 • 72 • 81.
Замечаем, что сумма цифр каждого из множителей
в последнем произведении равна 9. Наверное, это
произведение и будет ответом на вопрос задачи. В самом
деле, 90 • 63 • 54 • 72 • 81 = 95(6 • 7 • 8 • 9 • 10). Ни
один из полученных в скобках сомножителей нельзя
больше увеличить, так как все они- должны быть
различными.
О т в е т . 90 • 63 • 54 • 72 • 81 = 1785641760.
З а д а ч а 8. Найдите целую часть числа
Ып + У я + 1 + Уга + 2 )2,
если п — натуральное число.
Р е ш е н и е . Обозначим
(Уга + У га + 1 + Уга 4~ 2 )2 = /(«), (1) —
[(Уга + У« + 1 + Уга + 2 )2] = ф (п).
Для получения гипотезы выполним математическое
моделирование, т. е. составим таблицу некоторых значений
функций f(n) и ф(п):
п f ( n ) <р(я) п f ( n ) ф ( п )
1 17,191508 17 11 107,87477 107
2 26,484036 26 12 116,88442 116
3 35,618441 35 13 125,89270 125
4 44,696680 44 14 134,89999 134
5 53,748090 53 15 143,90615 143
6 62,784516 62 16 152,91167 152
7 71,811721 71 17 161,91659 161
8 80,832771 80 18 170,92097 170
9 89,849589 89 19 179,92493 179
10 98,863327 98 20 188,92851 188
24

—————

Таблица подсказывает, что
[(д/я + д/я + 1 + д/я + 2 )2] = 9я -f 8. (2)
Таблица приводит также к предположению, что
9я -f- 8 <С (д/я -f“ д/я“Ь 1 Н- д/я 4″ 2) <С (9я —f~ 8) —(— 1. (3)
Для обоснования полученных гипотез преобразуем
функцию /(я) следующим образом:
/(я) = (д/я + д/я~+ 1 + д/я + 2 )2 = я + (я -f- 1) + (я -f-
—2) —|— 2д/я • д/я -f- Т -f- 2 д/я • д/я -f- 2 -f- 2 д/я -)- 1 X
X д/я + 2 = 3/t —|— 3 —|— 2 (д/я • д/я + 1 -f- д/я • д/я -f- 2 -f-
+ д/я + 1 • д/я + 2 ).
На основании теоремы о средних величинах
0,5(а + й)>д/а& (а, Ь > 0) получаем:
2д/я • д/я + 1 < 2я + 1,
2дГп • д/я + 2 < 2я + 2,
2д/я+ 1 • д/я + 2 < 2я + 3.
Таким образом, /(я) С 9я + 9.
Теперь докажем неравенство
( У ^ + У « + 1 + У « + 2)2>9« + 8. (4)
Исследуем при помощи производной функцию
/(*) = (д/х + л]х + 1 + -yjx + 2)2 — 9* — 8
для х ^ 1. Находим:
/'(х) = 2д/х -J- д[х + 1 + д1х + 2 )/—!_ -f- . —
‘ 2д/л: 2дх +1
+Т^г)-9=-6+(л/^+л/^)+
+(лШ+лЯг)+(лШ+лШ>
Так как каждое значение выражения в круглой скобке
не меньше 2, то /'(*)> 0. Отсюда ясно, что /(я) —
25

———-

неравенства
(4) достаточно проверить его справедливость
при п = 1.
Таким образом, доказано, что
(Ы» + + 1 + л/п + 2)2) = 9п + 8.
З а д а ч а 9. Найдите целую часть выражения
если число 1981 входит в него п раз (п ^ 2).
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора получаем:
а, = -л/1981 да 44,508426;
а 2 = д/1981 + д/1981 да 45,005648;
а3 = д/1981 + д/1981 + л/1981 да 45,011173;
а4 =AJ 1981 + д/1981 + д/1981 + -у/1981 да
да 45,011234;
а5 да 45,011234.
Отсюда появляется предположение, что целая часть
числа а равна 45, т. е. [а] =45.
Проверим это предположение следующим образом:
Допустим, что
у 1981 + д/1981 +-+У1981 + д/1981 >46.
Тогда д/1981 + … + д/1981 + д/1981 > 135 и
1981 + … + д/1981 + д/1981 > 1352.
Продолжая этот процесс, приходим к очевидному
неверному неравенству. Поэтому [а] =45.
З а д а ч а 10.
Найдите все натуральные числа п такие, что сумма
S(n) цифр десятичной записи числа 2 п равна 5.
Р е ш е н и е . Для поиска решения составим таблицу
значений выражения 2/г:
26

———

п 2« S { n ) п 2 ‘ 1 S ( n )
1 2 2 16 65 536 25
2 4 4 17 131 072 14
3 8 8 18 262 144 19
4 16 7 19 524 288 29
5 32 5 20 1 048 576 31
6 64 10 21 2 097 152 26
7 128 11 22 4 194 304 25
8 256 13 23 8 388 608 41
9 512 8 24 16 777 216 37
10 1024 7 25 33 554 432 29
1 1 2048 14 26 67 108 864 40
12 4096 19 27 134 217 728 35
13 8192 20 28 268 435 456 43
14 16 384 22 29 536 870 912 41
15 32 768 26
Внимательное изучение этой таблицы приводит к
предположению, что
5(/г + 6я) = 5(£) + 9т, (1)
где п, к — натуральные числа; т — натуральное число
или нуль.
Но почему именно при умножении числа 2 п на
2б получаем число, сумма цифр которого или равна сумме
цифр числа 2!\ или отличается от него на 9т? Каким
свойством обладает число 26 и его сумма цифр?
Замечаем, что 5(6)= 10 и 26 = 64 = 63 + 1 =
= 9 — 7 + 1
Но что из этого следует? Рассмотрим пример:
214 • 26 = 16384(9-7 + 1) = 9*7 • 16384 + 16384.
Число 9 — 7 — 16384 делится на 9. Поэтому и сумма его
цифр делится на 9. Теперь понятно, почему верно
равенство (1)
Итак, 5 (5) =5. Но почему нет других решений?
В силу равенства (1) их следует искать среди
5(11), 5(17), 5(23), 5(29), … . Но 5(11), 5(23), 5(35), …
оканчиваются восьмеркой. Поэтому нас могут интересовать
только 5(17), 5(29), 5(41), т. е. 5(5+ \2k) y где
k — натуральное число.
Легко показать, что все 5(5 + (2k + 1) 12) оканчиваются
цифрами 7 и 2, т. е. 5(5 + (2k + 1)12) ^ 9.
Поэтому нас интересуют только 5(5 + 24&), которые
оканчиваются цифрами 1 и 2 пр-и k^\. Но числа вида
2° + 2Ak (k ^ 1, k — натуральное число) больше
1000 000 012. Число 2 000 000 012 (его сумма цифр
27

————

S = 5) после деления на 22 становится нечетным, но
2 3 + 2 4 к — четное.
Числа 1 100 ООО 012, 1 010 000 012, 1 001 000 012,
1000 100 012, 1000 010 012, 1000 001012 также при
делении на 22 дают нечетное число. Число 1 000 000 112
не делится на 25.
Итак, получаем о т в е т : п = 5 .
З а д а ч а 11. Известно, что последними цифрами
квадратов натуральных чисел могут быть цифры 0, 1,4, Л
5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них
может встретиться любая группа цифр, т. е., что для
любого набора из п цифр а\, а 2, а п можно найти
натуральное число, квадрат которого оканчивается
группой цифр а {а 2а 3…а пЬ (Ь — одна из перечисленных
выше цифр)?
Р е ш е н и е . Для того чтобы получить дополнительные
сведения о свойствах квадратов натуральных
чисел, составим следующую таблицу:
12 = 1, 332 = 1089, 652 — 4 225, 972= 9 409,
22 = 4, 342 — 1156, 662 — 4 356, 982= 9 604,
32 = 9, 352 = 1 225, 672 = 4 489, 992 = 9 801,
42 = 16, 362 = 1 296, 682 = 4 624, 1002= 10 000,
52 = 25, 372 = 1 369, 692 = 4 761, 1012 = 10 201,
62= 36, 382 = 1 444, 702= 4 900, Ю22= 10 404,
72 ==’49, 392 = 1 521, 712 = 5 041, 1032 = 10 609,
82 = 64, 402 = 1 600, 722 = 5 184, 1042= 10 816,
92 = 81, 412 — 1 681, 732 = 5 329, 1052 = 11 025,
102 = 100, 422 = 1 764, 742 == 5 476, 1 Об2 = 11 236,
112= 121, 432 = 1 849, 752 = 5 625, 1072= 11 449,
122 = 144, 442 = 1 936, 762 = 5 776, 1082 = 11 664,
132= 169, 452 = 2 025, 772 = 5 929, Ю92 = 11 881,
142 = 196, 462 = 2 1 16, 782 = 5 984, 1102= 12 100,
152 = 225, 472 = 2 209, 792 = 6 241, 1112= 12 321,
162= 256, 482 = 2 304, 802 = 6 400, 1122 = 12 544,
172 = 289, 492 = 2 401, 812 = 6 561, 1132= 12 769,
18“ = 324, 502 = 2 500, 822 = 6 724, 1142= 12 996,
192= 361, 512 = 2601, 832 = 6 889, 1152 = 13 225,
202 = 400, 522 = 2 704 842 = 7 056, 1162= 13 456,
212 = 441, 532 = 2 809 852= 7,225, 1172 = 13 689,
222— 484, 542 = 2916 862 = 7 396, 1182 = 13 924,
232 = 529, 552 = 3 025 872 = 7 569, 1192 = 14 161,
242= 576, 562 = 3 L36 882 = 7 744, 1202= 14 400,
252 = 625, 572 = 3 249 892 = 7 921, 1212 = 14 641,
262= 676, 582 = 3 364 902 = 8 100, 1222= 14 884,
272 = 729, 592 = 3 481, 912 = 8 281, 1232= 15 129,
282= 784, 602 = 3 600, 922 = 8 464, 1242 = 15 376,
292 = 841, 612 = 3 721, 932■= 8 649, 1252= 15 625.
302 = 900, 622 = 3 844, 942 = 8 836,
312 = 961, 632 = 3 969, 952 sss: 9 025,
322 = 1024, 642 = 4 096, 962= 9 216,
28

———

Выводы из рассмотрения этой таблицы:
1) Если последняя цифра квадрата натурального
числа 0, то и перед ней всегда стоит цифра 0.
2) Если последней цифрой квадрата является 1, то
перед ней встречаются только 0, 2, 4, 6 или 8, т. е. только
четные цифры.
3) Если последней цифрой квадрата является 4, то
перед ней встречаются только четные цифры.
4) Если последняя цифра квадрата 5, то перед ней
стоит только цифра 2.
5) Если квадрат натурального числа оканчивается
цифрой 6, то перед ней стоит нечетная цифра.
6) Если квадрат натурального числа оканчивается
цифрой 9, то перед ней стоит четная цифра.
Эти шесть свойств квадратов натуральных чисел
легко доказываются, так как последние две цифры
квадрата определяются только двумя последними
цифрами числа, возводимого в квадрат.
Получаем общий вывод:
Для любого набора из п цифр а\, а, 2, …, а п нельзя
найти целое число, квадрат которого оканчивается
цифрами a\CL 2’..a nb (цифра b равна 0, 1, 4, 5, 6 или 9).