Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.
Математика для младших классов.
РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ.
IX. УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ «В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ» в формате PDF в хорошем качестве. Вся книга.
Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Математика для младших классов. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. IX. УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ(стр. 155-162)
Текст для быстрого ознакомления:
РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ
IX. УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
101. «Фокуса» здесь, конечно, нет, а есть только правильный’
математический расчет.
Чтобы от 5 прийти к 9, нужно считать так: 5, 6, 7, 8, 9,
Значит, от 9 до 5 нужно пройти через те же числа 9, 8, 7, 6, 5,
только считая их в обратном порядке. Если, указав на 9, мы
скажем «пять», затем, указывая на 8, скажем «шесть» и т. д., то,
придя к задуманному числу 5, скажем «девять». Если затем идти
по кругу в том же направлении и присчитать к «девяти» еще
12 последовательных чисел круга, то опять приходим к тому же
155 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
числу 5. Дело сводится, следовательно, к счету по кругу в обратном
направлении от указанного числа 9 до 9 + 1 2 , т. е. до 21.
Если, наоборот, задумано 9, а указано 5, то от 9 до 5, считая
в прямом направлении по кругу (по порядку возрастания
чисел), получаем: 9, 10, И, 12, 1 2 + 1 , 12 + 2, 12 + 3, 12 + 4,
12 + 5, т. ё. 17. Следовательно, начиная с 5, можно прийти к задуманному
числу 9, идя в обратном направлении и отсчитывая
те же 5 + 12 = 17 чисел.
102. Пусть у партнера в руках по п спичек (причем п ^ Ь)
и вы предлагаете ему переложить из правой руки в левую а спичек
(причем a < C t i ) . Тогда до перекладывания в обеих руках
у него по п предметов (причем п > с ) , после первого перекладывания
— в левой п + а, в правой п — а предметов, после второго
перекладывания — в левой ( п + а ) — ( п — а ) = 2а^в правой
п — а предметов и, наконец, в левой 2а предметов, а правая рука
пуста.
103. Двузначное число представимо в виде 10а + Ь, где
0 < а ^ 9 — число десятков, 0 ^ Ъ ^ 9 — число единиц. Разность
имеет вид 10а + b— ( 1 0 6 + а ) = 9 ( а — 6), т. е. делится
на 9. Если эта разность равна 10 & + / ( 6 ^ 9 , / ^ 9 ) , то
Ю/г + / == 9/г +(k + /) и, значит, k + / = 9. Итак, первую цифру
разности можно найти, вычитая из 9 цифру, названную вам.
Например, если задумано число 37, то- имеем: 73 — 37 = 36.
Вам сообщают цифру 6, и вы находите первую цифру: 9 — 6 = 3.
Еще один пример: 54 — 45 = 9. Последняя цифра 9, значит, первая
равна 9 — 9 = 0, т. е. разность равна 9.
104. Частное равняется указанной вами разности между
крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если
взять сначала число 845, то 845 — 548 = 279, 279 : 9 = 33 =
= (8 — 5) • 11.
Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное
число можно представить в виде, 100а+10Ь + с, где
0 < а ^ 9 — число сотен, b ^ 9 — число десятков и с ^ 9 —
число единиц во взятом числе. Тогда число с переставленными
цифрами будет равно 100с + \0Ь + а. Вычитая второе из первого
и деля на 9, имеем
100а + 106 + с — (IQQg + 10Ь + а) 99 (а — с) . .
105. Из решения предыдущей задачи мы знаем, что разность
между любым трехзначным числом и числом, полученным из него
перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. Так как
крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность
обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее
1Q0& + 10/ + т (0 < k’^. 9, I ^ 9, т ^ 9). Имеем,
Ю0& + 10/ + т = 99k + (10/ + т + k).
Так как разность делится на 99, то это равенство показывает,
что обязательно 10/ + т + & = 99, откуда вытекает, что /=*9,
т + k — 9. Число4 с переставленными крайними цифрами имеет
вид 100 ш + 10/ + k, и сумма равняется
1006 + 10/ + т + 100т + 10/ + k =
= 100 (k + in) + 20 • / + (т + k) = 100 • 9 + 20 • 9 + 9 = 1089 <
156 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
106. Над задуманным числом п совершаются следующие действия:
п • 2 + 5 = 2п + 5, (2п + 5) • 5 = 10/г + 25,
10п + 25 + 10 = 10п + 35, (Юл + 35) • 10 = 100/г + 350,
100п + 350 — 350 = 100/г, 100/г : 100 = п.
То есть всегда получится задуманное число.
Рассматривая решение этой задачи, нетрудно понять, что ей
можно придать любое число различных видоизменений. Так, например,
если пожелать, чтобы всегда в результате число сотен
выражало задуманное число и чтобы приходилось умножать всегда
на 2, 6 и 10, ко вычитать приходилась бы не 350, как в приведенной
задаче, а другое число, то нужно принять во внимание,
как получилось в вышеприведенной задаче 350. Это число произошло
так: прибавлено 5, да умножено на 5, итого 25; к этому
числу прибавлено 10, получилось 35; умножив же это число на
10, получаем 350. Следовательно, если захотеть вместо 350 вычитать
из окончательного результата другое число, то и задавать
нужно прибавлять не 5 и 10, а другие числа. Зададим, например,
вместо 5 прибавить 4, а вместо 10 прибавить 12. Ясно, что из
последнего полученного числа придется вычесть 320(4*5 = 20;
20 + 12 = 32; 32-10 = 320), и тогда’ получим остаток, число сотен
которого и даст нам задуманное число.
Таким образом, задачу можно видоизменять до бесконечности.
Точно так же легко заметить, что, умножая задуманное число
на 2, на 5 и на 10, мы умножаем его, в сущности, на 100
(2-5-10 = 100).
Поэтому, если мы опять-таки хотим, чтобы число сотен окончательного
результата показывало задуманное число, — все равно,
какие множители выбрать, лишь бы умножение на них давало
в окончательном результате умножение на 100. Отсюда следует,
что оставляя те же множители -2, 5, 10, можно изменить
их порядок, т, е. сначала умножить, например, на 5, потом на 10,
а затем на 2 и т. д.
. Точно так же вместо множителей 2, 5, 10 можно брать другие,
дающие в произведении 100, например: 5, 4, 5 или 2, 2, 25
и т. д. Нужно помнить только при этом, конечно, что всем этим
изменениям множителей и прибавляемых чисел соответствует изменение
числа, которое в конце нужно вычесть. Так, например,
будем умножать на 5, 4, 5, а прибавлять числа б и 9, и пусть
задуманное число будет 8.
Умножив на 5, получим 40; прибавив 6, получим 40 + 6 = 46;
умножив на 4, получим 160 + 24 = 184; прибавив 9, получим
160 + 33 = 193; умножив это число на 5, получим 800 + 165 =
= 965, т. е. для получения числа сотен, показывающего задуманное
число, нужно отнять в данном случае 165 (6-4 = 24;
24 + 9 = 33; 33 X 5 = 165).
Можно также взять не 100, а любое иное число и сделать
так, чтобы оно заключалось в остатке от последнего вычитания
столько раз, сколько единиц заключается в задуманном числе.
Так, .например, возьмем число 24, которое можно представить
состоящим из множителей 2, 3, 4 ( 2 X 3 X 4 = 24), а числа, которые
будем прибавлять, пусть будут 7 и 8.
157 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
Пусть задуманное число есть 5. Удваивая его, находим 10,
прибавляя 7, находим 10 + 7 = 17; утраивая, находим
(10 + 7) *3 = 30 + 21 =51; прибавляя 8, находим 30 + 29 = 59;
беря последнее число 4 раза, получим 120 + 116 = 236. Отнимаем
отсюда 116, остается 120, в котором 24 содержится 5 раз,
т. е. получается задуманное число 5.
Можно также вместо трех множителей брать только два, а
вместо двух чисел прибавлять только одно, и тогда число десятков
числа, полученного после вычисления, подобного предыдущему,
покажет задуманное число.
Можно также брать четыре, пять, шесть и т. д. множителей,
прибавлять соответствующее (три четыре и т. д.) количество
чисел, затем, поступая, как указано выше, угадывать задуманное
кем-либо число.
Можно, наконец, вместо того, чтобы прибавлять числа, вычи*
тать их, а в конце вместо вычитания прибавлять известное число.
Так, например, воспользуемся числами первого примера настоящей
задачи, и пусть задуманное число будет 12. Удвоив его, получим
24; вычитая отсюда 5, получим 24 — 5; умножая на 5,
получим 120 — 25; вычитая 10, получим 120 — 35; умножая на 10,
получим 1200 — 350. Здесь вместо того, чтобы вычесть, нужно
прибавить 350: сумма получится 1200, и число сотен в ней (12)
дает задуманное число.
Словом, читатель может видоизменять и разнообразить эту
задачу как ему угодно.
107. Секрет разгадывания с виду прост: обратите внимание
на цифры, написанные в самой нижней графе. Если вам скажут,
например, что задуманное число находится во 2-м, 3-м и 5-м
столбцах, считая справа (или на 2-й, 3-й, 5-й пластинках веера),
то сложите числа, стоящие в этих столбцах внизу, получите 22
(2 + 4 + 1 6 ) , и будьте уверены, что задумано именно это, а не
иное какое-нибудь число).
Еще пример — число 18. Вы найдете его во 2-м и 5-м столбцах.
Внизу этих столбцов стоят числа 2 и 16; сложенные вместе,
они дают действительно 18.
Как же составляется подобная таблица?
Если написать ряд чисел, начиная с 1, таких, чтобы каждое
было вдвое больше предыдущего, т. е. 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . , то
ряд этот обладает тем замечательным свойством, что каждое целое
положительное число может быть получено, и не более чем
одним способом, как сумма некоторых членов ряда. Например,
27= 16 + 8 + 2 + 1 . Для составления таблицы мы взяли только
начальные члены ряда: 1, 2, 4, 8, 16 (2°, 21, 22, 23, 24), сложением
которых можно получить все числа от 1 до 31 (= 2 5 — 1 ) . За
каждым из них закреплен определенный столбец таблицы (см.
нижнюю строку). Воспользовавшись указанным выше свойством
ряда степеней двойки, мы помещаем каждое целое число в те
столбцы, в основании которых стоят степени двойки, в сумме
составляющие это число. Так 27 попадает в столбцы с основаниями
1, 2, 8, 16. Теперь ясно, почему для угадывания доста-
T©jpro сложить числа, стоящие внизу столбцов. Можно воспользоваться
этим свойством степеней двойки для обозначения чисел.
Напишем для каждого числа последовательность из 0 и 1 такую,
что на первом месте справа стоит 1 или 0 в соответствии с тем,
содержится наше число в первом столбце или нет, на втором 1
158 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
или 0 в зависимости от того, стоит ли число во втором столбце,
и так далее. Например, число 27 обозначается этим способом
так: 110 11, а число 12 — так: 0 1 10 0. Условимся не писать
нули, стоящие слева, тогда для числа 12 получим представление
1100.
Такой способ записи называется двоичной системой изображения
чисел.
Для того чтобы изобразить число с его помощью, совсем не
обязательно иметь перед глазами таблицу. Достаточно представить
целое число в виде суммы степеней двойки и на местах,
номера которых (считая справа налево, начиная с 0) участвуют
в этом представлении, поставить 1, а на остальных местах 0:
Число Двоичное изображение
2 = 21 10
3 = 21 + 2° 11
5 = 22 + 2° 101
19 = 24 + 2 ‘ + 2 ° , 10010
134 = 27 + 22 + 21 и т. д. 10 000 110 и т. д.
Двоичная система очень удобна для представления чисел в
вычислительных мацшнах, так как для записи любого числа достаточно
только двух знаков — 0 и 1. В общеупотребительной же
десятичной системе для этого требуется 10 знаков — 0, 1, 2, …
. . . , 8, 9.
108. Если задумано четное число 2п, то, проделав с ним указанную
последовательность действий, получим
2 п • 3 = 6 п , 6/2:2 = 3 п , 3/2 • 3 = 9 п , 9 п : 9 — п .
Удваивая частное п, получаем задуманное число 2п.
Проверим правило для нахождения задуманного числа в общем
случае. Если задумано число четное, проверка уже сделана.
Пусть теперь задумано нечетное число 2/2+1. Наши действия
принимают вид
(2 /2 + 1 ) — 3 = 6/2 + 3.
Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1, находим
6/2 + 3 + 1 =6/2 + 4. Разделив это число на 2, получим Зп + 2,
Далее, (Зп + 2) -3 = 9п + 6.
Частное от деления 9/2 + 6 на 9 равно п (а остаток равен 6)*
Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное чисю
2/2+1.
109. Всякое число может быть представлено в одной из следующих
форм: 4/2, 4/2+1, 4/2 + 2, 4/2 + 3, где букве п нужно
придавать значения 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.
1) Возьмем сначала число вида Ап и произведем над ним
указанные выше действия. Получается
4/г-3=12/г, 12/г:2 = 6/2, 6/2 X 3 = 18/г,
18/2:2 = 9/2, 9/г: 9 = /2, 4 X п = 4/г.
2) Для числа вида 4п + 1 получим
(4/г+ 1) • 3 = 12/г + З, (12/2 + 3+ 1) : 2 = 6/2 + 2,
(6/г + 2) • 3 = 18/2 + 6, (18/г + 6) : 2 = 9/2 + 3.
159 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
Частное от деления 9л + 3 ка 9 равно л, и, пользуясь правилом,
мы угадываем число 4л + 1.
3) Для числа вида 4л + 2 имеем
(4л + 2) • 3 = 12л 4- 6, (12л + 6): 2 = 6л + 3,
(Jon + 3) • 3 = 18л + 9, (18л + 9 + 1): 2 = 9л + 5.
Частное от деления 9л + 5 на 9 равно л и, прибавляя к 4л
число 2 (деление нацело не выполнялось только во второй раз),
получаем задуманное число.
4) Для числа вида 4л + 3 имеем
(4л -j- 3) • 3 = 12л -f- 9, (12л -j- 9 + 1); 2 = 6л -}- 5,
(6л + 5) • 3 = 18л + 15, (18/г + 15 + 1) : 2.== 9л + 8.
Частное от деления 9л + 8 на 9 равно л и, поступая с ним,
как указано в условии, находим задуманное число 4л + 3.
Таким образом, всегда получается задуманное число.
111. Обращаясь к решению задачи 109, находим, что для
числа вида 4л окончательный результат вычисления дает 9л, т. е.
число, кратное 9. Следовательно, сумма цифр этого числа должна
делиться на 9, а отсюда заключаем, что неизвестная нам цифра
такова, что, сложив ее с остальными известными цифрами, мы
должны получить число, делящееся на 9 (т. е. кратное 9). Если
же сумма известных цифр кратна 9, то значит, неизвестная цифра
сама есть 9, ибо нам дано, что она не нуль.
Для числа вида 4л + 1 результат вычислений есть 9л + 3;
прибавляя сюда 6, получаем число, кратное 9, т. е. кратна 9 и
сумма его цифр.
Для числа вида 4л + 2 результат вычислений дает 9л + 5;
прибавляя 4, получаем число, кратное 9, следовательно, и сумма
его цифр должна быть кратной 9.
Наконец, для числа вида 4л -}-3 окончательный результат
вычислений дает 9л + 8. Прибавляя 1, находим число, кратное 9.
Сумма его цифр также должна быть кратна 9.
Итак, указанные нами выше правила верны.
112. Если над каким-либо числом л производится ряд умио-
abc … „
жении и делении, то получается результат вида • ь°ли
произвести те же действия над числом р,. то получится результат
abc … _^
вида р -—gгr-l-K— -.—.—. .О.ба эти результата, разделенные первый на л,
abc …
а второй на р, дадут, очевидно, одно и то же число —-гт—————-g—t-i-te— -..-..
abc … abc … ,
Итак, зная число ——————- и сумму J- л, достаточно из
последней вычесть первое, чтобы получить число л.
Можно, очевидно, всячески видоизменять настоящую задачу,
так как, во-первых, можно делить и умножать на какие угодно
числа, а во-вторых, вместо того, чтобы умножать и делить поочередно,
можно сначала умножать два, три и т. д. раза подряд,
затем столько же раз делить или наоборот. Можно также, зная
последнее частное, заменять сложение вычитанием, если задуманное
число окажется меньше полученного последнего частного,
и т. д.
160 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
113. I. Пусть задуманы числа а, Ъ, с, d, е. Даны суммы
я ~т Ьу b су с -f- d, d + e, e + а. Складывая суммы, стоящие на
нечетных местах, получим a + b + c + d + e + a и, складывая
суммы, стоящие на четных местах, получим b + с + d + е.
Вычитая из первой суммы вторую, получаем 2а. Половина
этого числа есть первое из задуманных чисел а. Вычитая а из
а by получим b и т. д.
II. Пусть задуманы числа а, Ь, с, d, е} f. Даны суммы а 4- bt
b Су с -f- dy d + ву е + fy f + b. Суммы, стоящие на нечетных
местах, за исключением первой, дают с + d + е + Суммы, стоящие
на четных местах, дают b + c + d + e + f + b. Разность
между этой суммой и предыдущей есть 26; половина этого числа
и есть задуманное второе число Ь. Остальные числа найти уже
легко.
Можно эти задачи решать иными способами, из которых укажем
следующие.
Пусть число задуманных чисел будет нечетное.
Сложив все данные суммы и разделив полученное число пополам,
найдем сумму всех задуманных чисел. Если же задумано
четное число чисел, то сложим все данные суммы, кроме первой,
результат поделим пополам и получим сумму всех задуманных
чисел, кроме первого. Но, зная сумму всех задуманных чисел,
легко найти в данном случае каждое число в отдельности. Пусть,
например, задуманы числа 2, 3, 4, 5, 6. Суммы, которые даются,
будут: 5, 7, 9, 11, 8. Складывая эти числа, получим 40. Половина
этого числа (20) и есть сумма всех задуманных чисел.
Зная теперь, что сумма 2-го и 3-го задуманных чисел есть 7,
а сумма 4-го и 5-го чисел есть 11, вычитаем 7+ И = 18 из 20
и получаем первое задуманное число 2 и т. д.
Подобным же образом надо поступать и в том случае, когда
задумано четное число чисел.
Можно узнавать числа и так. Если кто-либо задумает 3 числа,
предложите ему сказать их суммы по два, как объяснено
выше; если он задумал 4 числа, предложите ему сложить их по
три и сказать вам суммы; если задумана 5 чисел, предложите
сложить их по четыре и сказать вам суммы и т. д. Затем, чтобы
отгадать задуманные числа, нужно руководствоваться следующим
общим правилом.
Все известные суммы сложить и полученный результат разделить
на число, единицей меньшее числа задуманных чисел*
Полученное частное и есть сумма всех задуманных чисел. После
этого уже нетрудно найти каждое число в отдельности. Пусть,
например, задуманы 3, 5, 6, 8. Суммы по три будут 3 + 5 + б =;
= 14, 5 + 6 + 8 = 1 9 , 6 + 8 + . 3 = 1 7 , 8 + 3 + 5 = 1 6 . Складывая
эти суммы, получаем 66. Эту сумму надо разделить на 3
(т. е. на число, единицей меньшее числа задуманных чисел). Получается
22 — сумма всех задуманных чисел. Если теперь из 22
вычесть 14, получим последнее из задуманных чисел (8); вычитая
19, получаем первое (3) и т. д. Понять и доказать все это
нетрудно.
Желающим предоставляем доказать, что в случае четного
числа задуманных чисел нельзя брать попарно суммы так, чтобы
последняя состояла из последнего задуманного числа плюс первое,
а непременно надо так, чтобы складывать последнее и второе
из задуманных чисел.
161 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
114. Действия, которые производятся в данном случае над
па-\-Ь
задуманным числом /г, можно выразить так: —-—, а это выра-
па b
жение молено представить в виде + Ясно, что, вычитая
а b
/г— # получим остаток —.
115. Число, которое умножается на 2, дает всегда четное
произведение. Следовательно, сумма обоих произведений четна
или нечетна, смотря по тому, будет ли четное или нечетное другое
произведение. Но если число множится на нечетный множитель,
то произведение будет четным, если множимое четно, и нечетным,
если нечетно множимое. Итак, по сумме обоих произведений
можно судить, четно или нечетно то число, которое множится
на нечетный множитель.
116. Пусть А и В — взаимно простые числа и два других а
и с — тоже взаимно простые числа, причем А кратно числу а.
После соответствующих умножений может получиться сумма
Ас + Ва или Аа + Вс. Ясно, что первая сумма делима на а, вторая
же — нет. Следовательно, В умножится или не умножится
на а, смотря по тому, делима или неделима на а сумма, полученная
задумавшими после соответствующих умножений и сложения.
117. Пусть задуманные числа будут а, Ь, с, d, … Над ними
производятся, следующие действия:
для первых двух чисел:
(2а + 5) • 5 = 10а + 25, 10а + 25 + 10 = 10а + 35,
10а + 35 + Ь = 10а + b + 35;
для третьего числа:
(10а + b + 35) • 10 + с = 100а +10Ь + с + 350;
для четвертого:
(100а +10Ь + с + 350) • 10 + d = 1000а + 1006 + Юс + d + 3500
и т. д.
Отсюда ясно, что, вычитая из результата 35, 350, 3500, смотря
по количеству задуманных чисел, мы получим все задуманные
числа в виде цифр остатка, считая слева направо.
162 РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
На главную страницу Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.
Околоadmin
