Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Математика и шахматы. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. XIII. ШАХМАТЫ.

Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.
Математика для младших классов.
РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ.
XIII. ШАХМАТЫ

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ «В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ» в формате PDF в хорошем качестве. Вся книга.

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Математика для младших классов. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. XIII. ШАХМАТЫ.(стр. 171-173)

Текст для быстрого ознакомления:

РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. Математика и шахматы.

XIII. ШАХМАТЫ

146. Решение приведено на рис. 177.
147. Для того чтобы конь обошел все свободные 63 клетки,
он должен сделать 63 хода. Заметим, что при каждом ходе конь
меняет цвет поля, на котором он находился. Так что после хода
с номером 63 он будет находиться
на поле, цвет которого
отличен от цвета исходного
поля. Но по условию
после этого хода конь
должен вернуться на исход-

Математика и шахматы.

ную клетку. Полученное противоречие доказывает, что конь не
может совершить требуемое путешествие.

Математика и шахматы.

Точно так же можно рассуждать, если на доске стоит любое
нечетное число фигур.
148. Предположим, что маршрут коня, отвечающий условию
задачи, существует. Перенумеруем все 62 свободных поля шахматной
доски следующим образом. Исходному полю присвоим
номер 1. А все оставшиеся поля будем нумеровать 2, 3, . . . , 62
в том порядке, как их проходит конь. Ввиду того, что конь при
каждом ходе меняет цвет поля, все поля с нечетными номерами
будут иметь один цвет и* точно так же одного цвета будут все
поля с четными номерами. Следовательно, свободная часть доски
состоит из 31 черного и 31 белого поля. Но это неверно, так как
поля, занятые пешками, имеют один цвет. Требуемый маршрут
не существует.
149. Расставим в клетках центрального квадрата буквы а , Ь 9
с , d y е , f и цифру 0 так, как это показано на рис. 178. Выпишем
теперь их последовательно в порядке прохождения полей кояем.
Получим цепочку из 16 знаков. С любого из полей, обозначенных
буквами, конь может перейти на поле* обозначенное другой

171 Математика и шахматы.

буквой, только через поле, где стоит 0. Поэтому в последовав
тельности между любыми двумя буквами разного наименования
обязательно встретится 0. Заменим теперь каждую группу рядом
стоящих одинаковых букв одной буквой того же наименования.
После этого в последовательности останется по крайней мере
6 букв и эти буквы должны быть отделены друг от друга нулями.
Ясно, что имеющихся у нас четырех нулей для этого недостаточно.
Следовательно, обход невозможен.
150. Как бы жуки ни переползали, всегда останется пустая
клетка. Действительно, назовем черными тех жуков, которые
сначала сидели на черных клетках, а остальных назовем белыми.
После того, как каждый жук переполз на соседнюю клетку, все
черные жуки оказались на белых клетках. Мы имеем 13 черных
жуков и только 12 белых клеток. Значит, на некоторой белой
клетке встретятся по крайней мере два жука. Но тогда одна
клетка доски останется пустой (ведь число клеток равно числу
жуков).
Точно такой же ответ будет в случае любой квадратной доски,
с нечетным числом клеток. Подтвердить это можно аналогичным
рассуждением.
151. Жуки могут переползти на соседние лоля так, что все
клетки останутся занятыми. Чтобы показать это, давайте разрежем
шахматную доску на кольца (рис. 179). И пусть каждый
жук переползет по своему кольцу на соседнюю клетку, двигаясь
по направлению движения часовой стрелки. Очевидно, при этом
каждая клетка останется занятой.

Математика и шахматы.

152. На рис. 180 показана замкнутая линия, проходящая через
каждую клетку доски. Если жук будет ползти по этой линии
в одном направлении, то он обойдет доску так, как это требуется
условием задачи.
153. Если бы это можно было сделать, то покрытым оказалось
бы четное число клеток: ведь каждая кость домино покрывает
в точности две клетки. Но свободная часть доски состоит из
63 клеток. Ответ: невозможно.
154. Каждая положенная на доску кость домино покрывает
одно черное и одно белое поле. Поэтому, если какя-то часть

172 Математика и шахматы.

доски покрыта костями домино, то она состоит из одинакового
числа черных и белых полей. Но пешки, поставленные на доску,
заняли два поля одного цвета; значит, в оставшейся части доски
будет разное число черных и белых клеток (по всей доске 32
черных и 32 белых поля). Значит, ее нельзя покрыть костями
домино.
Из приведенного рассуждения видно, что если мы поставим
две пешки на любые поля одного цвета, то оставшаяся часть
доски не может быть покрыта костями домино.
155. Рассмотрим замкнутую линию на рис. 180. Если пешки
стоят на соседних полях, то разорванная линия будет состоять
из одного куска, проходящего через 62 поля, при этом цвета
полей чередуются. Легко видеть, что если мы начнем класть кости
домино вдоль этой линии, то закроем всю оставшуюся часть
доски. Если пешки не стоят на соседних полях, то линия разорвется
на два непересекающихся куска. Каждый при этом будет
проходить через четное число клеток (пешки стоят на полях разных
цветов). Значит, каждый кусок линии может быть закрыт
костями домино. Ответ: как бы мы ни расставляли две пешки
на полях разных цветов, оставшуюся часть доски всегда можно
покрыть костями домино.
156. Если мы разместим 32 шахматные фигуры на белых полях,
то все белые поля будут заняты и кость домино положить
будет негде (как мы уже условились, кость домино покрывает
два соседних поля, одно из них белое, другое черное). Покажем,
что, как бы мы ни размещали на доске 31 фигуру, всегда найдется
место для домино. Покроем шахматную доску 32 костями
домино (например, вдоль линии на рис. 180). Как бы мы ни
расставляли теперь на доске 31 фигуру, по крайней мере на одной
кости фигур стоять не будет. Этим все и доказано.