Аксиоматика пространства. Аксиоматика плоскости

ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

B. А. Гусев , C. С. Варданян

Методика преподавания геометрии.§ 4. Согласование изучения планиметрического и стереометрического материала.
Аксиоматика пространства. Аксиоматика плоскости.

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

Текст для быстрого ознакомления:

§ 4. Согласование изучения планиметрического и стереометрического материала.
Аксиоматика пространства. Аксиоматика плоскости.

Взаимосвязи в изучении планиметрии и стереометрии включают
в себя многочисленные вопросы. Частично они перечислены в
§ 1 настоящей статьи. Рассмотрим подробнее вопросы согласования
новых для средней школы разделов: аксиомы геометрии и
преобразования плоскости и пространства.
В проблеме согласования системы аксиом курса планиметрии
и стереохметрии сложность заключается вовсе не в том, что аксиомы
иногда внешне отличаются или развивают одна другую. Основной
проблемой является воспитание у учащихся чувства единой логической
системы, начатой в восьмилетней школе и продолжающейся
в старших классах. Как уже указывалось, в курсе планиметрии
не рассматривается полный список аксиом, правда, не известными
для учащихся являются только три аксиомы, из которых аксиома
подвижности со своими применениями не очень проста. Вместе с
тем в 9 классе аксиомы планиметрии считаются известными. Это
и заставляет задуматься над методической стороной стыковки этого
материала.
Первой основной идеей, которую должны усвоить учащиеся,
является включение аксиоматики плоскости в аксиоматику пространства.
При этом каждая группа аксиом (их в пространстве также
пять, хотя внешне это не так) устроена по-своему. Иногда это просто
те же аксиомы, иногда несколько видоизмененные, а иногда и
совершенно новые, каких в планиметрии не было.
Проанализируем систему аксиом стереометрии.
Первая группа аксиом пространства — аксиомы принадлежности.
Их в пространстве 5. Последние 3 из них (аксиомы 3—5,
см. учебное пособие «Геометрия, 9» под редакцией 3. А. Скопеца)
можно считать’новыми, они не входят в аксиоматику плоскости,
хотя первое представление о них имеется в стереометрическом материале
учебного пособия «Геометрия, 8» под редакцией А. Н. Колмогорова.
Уже чисто внешнее сравнение остальных аксиом принадлежности
позволяет увидеть их большое сходство. Во-первых, они

21 Аксиоматика пространства. Аксиоматика плоскости.

утверждают, что прямая и плоскость (неопределяемые понятия)
существуют и являются фигурами, содержащими по крайней мере
по одной точке, а во-вторых, что они являются подмножествами
пространства. Кроме этого, из этих аксиом следует, что вне любой
плоскости в пространстве есть не принадлежащая ей точка.
Аналогично и для каждой прямой есть не принадлежащая
ей точка.
Из сформулированных аксиом стереометрии в учебном пособии
«Геометрия 9» под редакцией 3. А. Скопеца следующие три аксиомы
(6—8) являются аксиомами расстояния. Внешне они полностью
совпадают с аксиомами расстояния планиметрии. Может сложиться
впечатление, что эти аксиомы можно и не формулировать, а просто
сослаться на соответствующий материал курса планиметрии и,
кроме того, что эти аксиомы можно доказать, используя все другие
аксиомы стереометрии. . —
В книге для учителя «Геометрия в 9 классе» под редакцией
Г. Г. Масловой показано, что эти аксиомы для пространства необходимо
сформулировать отдельно.
Особое место в системе аксиом стереометрии занимает последняя
аксиома — 9: «Для каждой плоскости выполняются известные
из планиметрии аксиомы порядка, подвижности плоскости и параллельных
прямых». Как видно, содержание этой аксиомы чрезвычайно
широко. Во-первых, следствием ее и других аксиом является
полное перенесение всех фактов планиметрии на любую плоскость
пространства. Во-вторых, из этой аксиомы следует, что прямые и
плоскости в пространстве содержат бесконечное множество точек,
а следовательно, и пространство содержит бесконечное множество
точек.
Знакомя учащихся с аксиомой 9, следует иметь в виду, что
они не знают аксиому подвижности. В силу ограниченности времени
на изучение системы аксиом следует отнести знакомство с
аксиомой подвижности к моменту изучения преобразований пространства.
Очень коротко остановимся на преемственности в изучении
преобразований плоскости и пространства, которые составляют
идейную основу построения всего курса.
Мы ^уже указывали выше на те виды преобразований, которые
изучаются на каждом этапе обучения геометрии. Уже сам этот список
показывает на значительное пересечение определений в изучении
преобразований. Так, например, многие свойства перемещений
плоскости и пространства формулируются одинаково, одними и
теми же являются определения центральной симметрии, вектора,
гомотетии и т. д. Однако не следует забывать и о существенных
различиях. Так, свойства осевой симметрии в пространстве существенно
отличаются от свойств осевой симметрии плоскости, а
поворот в пространстве вокруг точки рассматривать бессмысленно
и т. д. Особенно существенные трудности появляются при решении
задач с использованием преобразований пространства.

22 Аксиоматика пространства. Аксиоматика плоскости.

Сформулируем то общее, что есть в преобразованиях плоскости
и пространства.
Перемещение на плоскости и в пространстве обладает следую*
щими свойствами: • ,
, а) тождественное преобразование есть перемещение,
б) композиция двух перемещений есть перемещение,
в) при композиции трех перемещений выполняется ассоциа*
тивный закон,
г) преобразование, обратное перемещению, есть перемещение.
Следовательно, множество перемещений на плоскости, а также
множество перемещений в пространстве образуют группу. Разумеется,
что этот факт и нижеследующие обобщения доводить до
сведения учащихся не обязательно.
При перемещении на плоскости и в пространстве выполняются
также следующие свойства:
а) три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, отображаются
на три точки А, В, С, также лежащие на одной прямой с сохранением
порядка,
б) луч отображается на луч,
в) прямая отображается на прямую,
г) полуплоскость отображается на полуплоскость,
д) фигура отображается на конгруэнтную фигуру.
Кроме этого, при перемещении в пространстве:
а) плоскость отображается на плоскость,
б) две параллельные плоскости отображаются на две параллельные
плоскости,
в) параллельные плоскость и прямая отображаются соответственно
на параллельные плоскость и прямую,
г) полупространство отображается на полупространство.
Преобразование подобия на плоскости и в пространстве обладает
следующими свойствами:
а) тождественное преобразование есть преобразование подобия,
б) композиция двух преобразований подобия есть преобразование
подобия,
в) при композиций трех преобразований подобия выполняется
ассоциативный закон,
г) преобразование, обратное преобразованию подобия, есть
преобразование подобия.
Следовательно, так же как множество перемещений, множество
преобразований подобия на плоскости, а также в пространстве образует
группу.
При преобразовании подобия на плоскости и в пространстве
имеем: *•%
а) три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, переходят
в три точки А, В, С, также лежащие на одной прямой с сохранением
порядка,
б) отрезок отображается на отрезок,
в) луч отображается на луч,

23 Аксиоматика пространства. Аксиоматика плоскости.

г) прямая отображается на прямую,
дКпараллельные прямые отображаются на параллельные прямые,
е) угол отображается на конгруэнтный угол,
ж) окружность (круг) отображается на окружность (круг).
Кроме вышесказанного, при преобразовании подобия в пространстве
выполняются свойства:
а) плоскость отображается на плоскость,
б) две параллельные плоскости отображаются на две параллельные
плоскости,
в) сфера отображается на сферу,
г) сохраняется угол между прямой и плоскостью.
Группа перемещений является подгруппой группы преобразований
подобия.

24 Аксиоматика пространства. Аксиоматика плоскости.

Околоadmin