Окружность и круг. Формула длины окружности круга

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

B. А. Гусев , C. С. Варданян

Окружность и круг. Формула длины окружности круга

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

Окружность и круг. Формула длины окружности круга.

Окружность и круг. Формула длины окружности круга.

1. Диск Солнца просматривается с Земли
в среднем под углом в 32°. Зная расстояние
от Земли до Солнца (150 млн. км),
вычислить величину истинного диаметра
Солнца.
*1 В В2 Р е ш е н и е . Вопрос сводится к вычислению
длины дуги в 32° при радиусе
Рис- 17 в 1,5 • 108 км. Полная окружность такого
радиуса равна 2 я • 1,5* 108, а длина дуги
в 32° равна
glb-5:10.8..-jg. да 1 390 ООО (км).
360-60 ‘
Отсюда можно определить поверхность и объем Солнца.
2. Ползун В стержневого шарнирного механизма при повороте
стержня АО вокруг точки О совершает поступательное движение
вдоль оси В^В2 (рис. 17). Вычислить ход ползуна (путь, который
проходит ползун из левого крайнего положения в правое крайнее
положение), если радиус стержня О А равен г, длина ползуна
\АВ\ = 7, а расстояние точки О от оси ВХВ2 равно h. (О т в е т:
2 V(r + /)2 — Ж)
3. Вычислить наибольшее возвышение водной выпуклости озера
над линией, соединяющей две противоположные точки берега, расположенные
на расстоянии* 130 км друг от друга (устья рек Ву-
оксы и Олонки на Ладожском озере). (Ответ: 325 м (выше Эйфелевой
башни).)
4. Определить длину бесконечного ремня, перекинутого через
два шкива диаметром 1 м каждый, если расстояние между осями
2,25 м и оба шкива вращаются в одну сторону.
Р е ш е н и е. Так как шкивы вращаются в одну сторону, то
передача не перекрестная. Поэтому искомая длила ремня равна
2 • ±л + 2 • 2,25 да 7,64 (м).
5. Наклон почвы не замечается нами, если высота подъема не
превышает ~ его основания («заложения»). Сколько приблизительно
градусов в угле такого наклона?
Р е ш е н и е . Длину меньшего катета весьма вытянутого прямоугольного
треугольника, получающегося при этом, можно без
ощутительной погрешности приравнять длине дуги, описанной радиусом,
равным другому катету. Задача сводится, следовательно,
к вычислению угловой величины дуги, длина которой равна —
длины радиуса. Из соотношения л; : 360 = ^ : 2пг имеем:

36 Окружность и круг. Формула длины окружности круга.

толщина снятой стружки 0,5 см. Определить длину окружности
вала до обработки. ( О т в е т : « 42,4 см.)
7. Глубина резания при обработке вала была 1 см, длина окружности
вала до обработки равна 78,5 см. Определить длину окружности
вала после обработки. ( О т в е т : 23 я см « 72,2 см.)
8. На сверлильном станке. производится сверление отверстия
диаметром 20 мм, глубиной 80 мм. Определить время сверления,
если скорость резания равна 160 мм/с и подача на один оборот—
0,22 мм. ( О т в е т : ж 2,38 мин.)
9. Землетрясения распространяются по земной поверхности
со скоростью до 800 м/с. Какую площадь может охватить землетрясение
через 1 мин после своего возникновения? (Кривизны земной
поверхности в расчет не принимать.)
Р е ш е н и е , я • (800 • 60)2 « 7235 (км2). Полезно также вычислить
величину дуги (в градусной мере), которая при этом расчете
принималась за прямую линию, чтобы оправдать приравненные
в данном случае длины дуги длине хорды.
10. На заводском дворе, представляющем собой квадрат 70 X
X 70 м2, имеются три прямоугольных строения размерами 20 • 10,
25 • 15 и 30 • 30 м2, а также два круглых бака диаметром 10 м.
Докажите, что на этом дворе мо^кно .еще разбить клумбу диамет-.
ром 10 м.
Р е ш е н и е . Центр клумбы может располагаться в любой
точке двора, удаленной от забора и от каждого из пяти сооружений
не менее чем на 5 м. Такие точки заведомо найдутся, если площадь
«внутреннего» квадрата со стороной 60 м, расположенного концент-
рично забору, окажется больше общей площади всех пяти сооружений
и окаймляющих их пятиметровых полос. Эта последняя площадь
равна S — Si -f- S2 -f- ••• -f S5 -f (/x ••• 5яХ2,
где 5; — площадь i-го сооружения, lt — его периметр (i = 1, 2,
3, 4, 5), а я = 5 м. Подставляя сюда данные из условия задачи, проверьте,
что 5 < 3540 < 602 (м2). Заметим, что форма сооружений
несущественна для решения. Достаточно было бы знать лишь число
сооружений, общую площадь, занимаемую ими, и сумму периметров.
11. На каждый квадратный сантиметр площади поршня паровой
машины пар давит с силой 8,5 кг. Вычислить полное давление
на поршень, если диаметр поршня D = 420 мм. ( О т в е т : Р =*
— 11,77 т.)
12. Из квадратного листа жести со стороной, длина которой
равна 20 см, вырезан круг наибольшего диаметра. Найти, какой
процент площади листа жести составляют площади отрезков.
Р е ш е н и е . Площадь квадратного листа 400 см2. Площадь
вырезанного круга яг2 = 314 см2. Площадь отрезков равна 400—
— 314 = 86 см2. Искомый процент = 21,5%. (Ответ:
21,5%.)

37 Окружность и круг. Формула длины окружности круга.

А в А ПN, В
Рис. 18 Рис. 19
13. Определить машинное время, необходимое для фрезерования
дисковой фрезкой шпоночной канавки длиной 160 мм, если
диаметр фрезы 40 мм, скорость резания 31,4 м/мин, глубина резания
8 мм и подача на один оборот фрезы равна 0,75 мм. ( О т в е т :
t да 1 МИН.)
14. Надо заменить трубу с площадью сечения 78,5 см2 четырьмя
трубами одного и того же диаметра так, чтобы площадь сечения четырех
труб меньшего диаметра равнялась площади сечения трубы
большего диаметра. Найти диаметр меньших труб. ( О т в е т :
да 5 см.)
15. По окружности требуется разместить центры отверстий
для 15 болтов так, чтобы расстояние между ними было равно 30 мм.
Какую длину должен иметь радиус окружности? ( О т в е т :
R да 72 мм.)
16. Два прожектора, находящиеся на противоположных берегах
озера на расстоянии 12 км один от другого, могут освещать
местность в радиусе 10 км каждый. Определить площадь, освещаемую
этими прожекторами. (О т в е т: 45 км2.)
Подобие
1. Паркетная плитка, имеющая форму ромба с диагоналями
30 см и 40 см, окаймлена рамкой, площадь которой равна площади
плитки. Определить ширину рамки. ( О т в е т : 12(1/2 — 1).)
2. Какой длины должна быть поднога стропильной фермы,
если длина стропильной ноги равна 10, а длина ригеля составляет
— от длины затяжки. [ А В ] — затяжка, [ K L ] — ригель, [ А С ] —
8
стропильная нога, [Л/Cl — поднога (рис. 18). ( О т в е т : 3,75.)
3. Длина пролета треугольной строительной фермы А В рав-
I CD| 1 • на d , а уклон | ^ — равен у Определить длину раскоса D N } если
известно, что |LW| = |£W| (рис. 19). (О т в е т: j
4. Уменьшенная деревянная модель проектируемого железного
сооружения имеет высоту 20 смги массу 240 г. Сооружение должно
иметь высоту 20 м. Определить массу сооружения. Железо тяжелее
дерева в 16 раз.

38 Окружность и круг. Формула длины окружности круга.

Р е ш е н и е . Сооружение имеет линейные размеры, в 100 раз
большие, чем у модели, и, следовательно, объем его больше объема
модели в 1003 раз. Отсюда масса проектируемого сооружения равна
240 X 1003 х 16 =s 3,84 • 109 г — около 3 840 т.
5. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 100 раз. Среднее
расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 км. Определить длину
тени, отбрасываемой земным шаром.
Р е ш е н и е . Длину | С Е | конуса земной тени, считая от центра
Земли, находим из соотношения
Итак, длина земной тени, считая от центра Земли, равна
1 388 000 км.
6. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 0,75 м, а длинное
плечо 3,75 м. Как высоко поднимается конец длинного плеча, когда
конец короткого опускается на 0,5 м? (О т в е т: 2,5 м.)
7. Изображение дерева на задней стенке фотографической камеры
получилось равным 32 мм. Найти высоту дерева, если оно
находится на расстоянии 29 м от объектива фотоаппарата, а глубина
фотокамеры 16 см. (О т в е т: 5,8 м.)
8. Параллельно прямой дороге на расстоянии 500 м от нее
расположена цепь стрелков, расстояние между крайними стрелками
равно 120 м, дальность полета пули равна 2,8 км. Какой участок
дороги находится под обстрелом этой цели? ( О т в е т : « 5630 м.)
9. Две параллельные улицы пересечены двумя улицами, выходящими
из одной точки А . Части параллельных улиц, заключенные
между лучевыми улицами, равны 0,75 км и 1,25 км. Трамвай
идет по одной из лучевых улиц от точки А до первой параллельной
улицы 15 мин. Сколько времени он при той же скорости будет идти
по той же лучевой улице от первой до второй параллельной улицы.
( О т в е т : 10 мин.)

39 Окружность и круг. Формула длины окружности круга.

Околоadmin