Обучение решению задач векторным методом

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

Ю. М. Колягин. Д. С. Зейналов

Г. И. Саранцев. О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
§ 2. Обучение решению задач векторным методом

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

Г. И. Саранцев. О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
§ 2. Обучение решению задач векторным методом.

Рассмотрим вначале пример традиционного и векторного решения
известной задачи: «Доказать, что средняя линия трапеции
A BCD параллельна основаниям и длина ее равна полусумме их
длин».

Т р а д и ц и о н н о е р е ш е н и е . Через точки В и N проведем
прямую, которая пересекает прямую AD в точке G. Полученные
треугольники BCN и DNG конгруэнтны, так как у них
|САП = | ND\ (по условию), Z. BNC ^ Z_ DNG (как углы вертикальные)
и Z. BCN ^ Z_ NDG (как углы накрест лежащие при параллельных
прямых). Из конгруэнтности треугольников следует:
|SiV[ = | NG\ и | ВС\ = |DG|. В А ЛЯС прямая MN содержит середины
двух сторон, значит, (MN) || (AG») 2и |МАП = — (\AD | +
4* |£>G|) или (МАГ) || (AD) и \MN\ = — (\AD\ + |ВС|).
В е к т о р н о е р е ш е н и е . Введем в рассмотрение векторы:
AD = а, ВС = b, MN = с, МА = т, DN = п, тогда MB = — т,
CN — —п. Из четырехугольников AMND и MBCN имеем:
-> -> -> ->
с = т + а + п, (1)
с = — т ■+ Ъ — п. (2)
Складывая равенства (1) и (2), получаем: 2с — а + Ь, или с =
J -> -* -> ->
«= — (а + Ъ) (3). Из коллинеарности векторов а и b и равенства
(3) следует: с || а, с || Ь. Это означает, что [МАП || [AD\, [MN\ и \MN\ = {\AD \ + |5С|).

102 Обучение решению задач векторным методом.

Преимущество второго способа очевидно.
Известно, что векторы связаны с метрикой: \АВ\ =VАВ2,
т. е. расстояние от точки А до точки В равно корню квадратному
из скалярного квадрата вектора АВ. Угол ф между векторами А В
и АС определяется по формуле ч .*
cos а =——-~-А—В— -~-А—С— — ,
1 А В ] • \ А С \
Эго позволяет широко использовать векторы при решении метрических
задач, т. е. задач, связанных с длинами и углами.
Сила векторного метода заключается еще и в том, что он позволяет
легко делать обобщения, роль которых в обучении математике
трудно переоценить. В качестве примера рассмотрим задачу: «Доказать,
что сумма квадратов расстояний какой-нибудь точки окружности
до вершин вписанного правильного треугольника есть величина
постоянная, не зависящая от положения точки на окружности
».
Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность с
центром О, а М — произвольная точка этой окружности. Тогд^а
МА =МО + ОА, МВ = МО + OB, МС == МО + ОС, откуда
МА2 = МО2 + 2МО • ОА + ОА2, MB2 = МО2 + 2МО • ОВ +
+ О В2, МС2 = МО2 + 2 МО • ОС + ОС2. Сложив последние три
равенства, получаем:
\МА\2+\МВ\2 + \МС\2 = §R2(\MO\ = \OA\ = \OB\ = \OC\ = R,
ОА + ОВ + 0С= 0).
Приведенное векторное решение отличается большой общностью
рассуждений. Оно справедливо, очевидно, для любой точки сферы,
описанной около треугольника так, что центр треугольника совпадает
с центром сферы. Легко обобщить эту задачу и на случай.,
когда в окружность или сферу вписан любой правильный многоугольник.
Более того, он может быть не обязательно правильным,
а симметричным относительно центра.
Можно обобщить задачу и для описанных правильных многоугольников
(многогранников). Возможны и дальнейшие обобщения
задачи на тот случай, когда рассматриваемые многоугольник (многогранник)
и окружность (сфера) удовлетворяют условию: сумма
всех OAt равна нулевому вектору. Более подробно примеры обобщений,
даваемые векторным методом, рассмотрены в статье ш
Г. П. Бевза «Обобщения при решении задач с помощью векторов
» (Математика в школе, 19t8, № 2). Однако значение векторного
метода не исчерпывается этим. Его применение позволяет
иллюстрировать специфику использования математического знания,
для которой характерно построение, изучение и применение моде

103 Обучение решению задач векторным методом.

лей. Поэтому велико воспитательное значение векторного метода.
Поясним это на конкретном примере.
З а д а ч а . Доказать, что три высоты треугольника или их продолжения
пересекаются в одной точке.
Пусть в треугольнике ЛВС [АР] и [BQ] — высоты, О — точка
их пересечения. Введем в рассмотрение векторы ОА a, OB = Ь,
ОС = с. Тогда для доказательства требуемого утверждения достаточно
доказать, что с 1. АВ. Для доказательства перпендикулярности
векторов с п А В достаточно доказать, что с • АВ — 0. Данное
равенство является векторным выражением доказываемого
утверждения.
Имеем: АВ = b — а, ВС = с — Ьу С А = а — с.
Так как [РА] _L [ВС], то а • (с — Ь) = 0. (1)
Так как [OB] _L [СЛ], то b • (а — с) = 0. (2)
Равенства (1) и (2) являются векторной моделью рассматриваемой
задачи.
Выполняя преобразования этих равенств, получаем:
•-> —> —> -v -> —>
а • с = а — b и b — с = b • а. (3)
Из равенств (3) по транзитивности:
а • р = ~Ь • с или с (а — Ь) = 0. (4)
Равенство (4) на векторном языке означает, что [OCl _L [ЛВ],
т. е. [CL] — высота треугольника ABC (L = (ОС) f| (ЛВ)). Последнее
утверждение является истолкованием результата полученного
векторного решения на языке данной задачи.
Традиционное же решение рассмотренной задачи таково.
Через каждую вершину A ABC проведем прямую, параллельную
противоположной стороне его. Тогда получим вспомогательный
треугольник Л1В1С1, к сторонам которого высоты данного треугольника
перпендикулярны. Так как | С2В| = | ЛС| = \ВАХ \ (как противоположные
стороны параллелограммов), то точка В есть середина
стороны А1С1.
Подобно этому убедимся, что точка С есть середина стороны
А1В1 и точка Л —середина, стороны В1С1. Таким образом, высоты
ЛЬ, BQ и CF перпендикулярны к сторонам А Л1В1С1 и проходят
через их середину, а такие перпендикуляры пересекаются в одной
точке.
Следует иметь в виду, что векторный метод, как и любой другой,
♦не является универсальным* хотя он и позволяет решать широкий
круг геометрических задач.
Из них наиболее употребительны: а) задачи на доказательство
параллельности прямых и отрезков; б) задачи на доказательство
того факта, что некоторая точка делит отрезок в некотором отношении;
в) задачи на доказательство принадлежности трех точек одной

104 Обучение решению задач векторным методом.

прямой; г) задачи на доказательство перпендикулярности прямых
и отрезков; д) задачи на доказательство зависимостей между длинами
отрезков; е) задачи на нахождение величины угла.
Умение использовать векторный метод в конкретных ситуациях
достаточно сложно. Поэтому прежде всего важно выявить его состав.
Компоненты векторного метода решения 1геометрических задач
С целью выделения компонентов умения решать задачи векторным
методом проанализируем решения конкретных задач.
/. Задачи на доказательство параллельности прямых и отрезков
З а д а ч а 1. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна
основаниям.
Пусть средней линией трапеции A BCD ([AD] и [ВС] — ее основания)
является [MN]. Тогда \АМ \ = \МВ\ и |CiV| = \ND\.
Задача будет решена, если будет доказана коллинеарность векторов
MN и AD либо векторов MN и ВС. Следовательно, для решения
рассматриваемой задачи важно умение переводить геометрический
язык на векторный.
Из четырехугольника MBCN имеем:
MN = МВ + ВС 4- CN. (1)
Из четырехугольника AMND имеем:
MN == МА + AD + DN. (2)
Составление равенств (1) и (2) предполагает умение представлять
вектор в виде суммы векторов, которое является обратным умению
выполнять сложение векторов.
Складывая почленно равенства (1) и (2), получаем:
2MN =(AD ‘+BC) + (MB + МА) + (CN + DN) =AD + BC (МВ +
-f- мл = о, «cw + dn = 0).
Следовательно, __ AD + вс~ (З). Переход к равенству (3)
предполагает умение выполнять преобразования векторных равенств.
Так как AD || ВС, то AD — k • ВС. Здесь важно умение представлять
вектор в виде произведения вектора на число. Значит,
Mл TNtr = — = ~BC+k-BC 1 + k * ВС, а потому
MN коллинеарен ВС, следовательно, MN коллинеарен и AD.
На языке задачи это означает, что средняя линия трапеции параллельна
ее основаниям. Для этого -вывода важно умение переводить
векторный язык на геометрический, т. е. переходить от соотношения
между векторами к соотношению между геометрическими
фигурамй.

105 Обучение решению задач векторным методом.

Итак, для решения приведенной задачи учащиеся должны овладеть
следующими умениями: 1) переводить геометрический язык
нд векторный и наоборот; 2) выполнять операции над векторами;
3) представлять вектор в виде суммы векторов; 4) представлять
вектор в виде произведения вектора на число; 5) выполнять преобразования
векторных равенств.
II. Задачи на доказательство деления некоторой точкой отрез-
ка в данном отношении
З а д а ч а 2. Доказать, что медианы треугольника, пересекаясь,
делятся в отношении 2 : 1 .
Пусть [АЬ\ и [ВК\—медианы треугольника ABC и М —
= [AL] П 1ВК\, тогда KL = (■!)• Для выполнения (1)
необходимо умение переводить геометрический язык на векторный
(осуществлять переход от соотношения между фигурами к соотношению
между векторами).
Далее, KL = КМ + ML (2). Выполнение (2) требует умения
представлять вектор в виде суммы двух векторов.
Из (1) и (2) следует, что КМ + ML = отсюда 2КМ. +
+ 2ML = АВ, но AM + MB = АВ (3), значит, 2КМ + 2ML =-
= AM + MB или (AM — 2ML) + (MB — 2KM) = 0 (4).
Для (3) и (4) важны умения осуществлять операции над векторами
и преобразовывать векторные равенства.
Векторы AM — 2ML и MB — 2КМ соответственно коллинеар-
ны векторам AL и ВК, поэтому AM — 2ML — О и MB — 2КМ —
= 0, т. е. AM = 2ML и MB = 2/СМ, значит,
1^1 = 2 и Ц§1-‘=2. (5)
|.мГ| t
Вывод (5) основывается на умении осуществлять переход от соотношения
между векторами к соотношению между их длинами.
Итак, для решения данной задачи необходимы умения: 1) переводить
словесный текст задачи на язык векторов и наоборот; 2) выполнять
операции над векторами; 3) представлять вектор в виде
суммы (разности) векторов; 4) представлять вектор в виде произведения
вектора на число; 5) переходить от соотношения между
векторами к соотношению между их длинами; 6) преобразовывать
векторные равенства.
3 а д а ч а 3. На стороне AD и на диагонали АС параллелограмма
ABCD взяты точки М и N так, что | АМ\= — \AD\ и
5
I AN\ = —| АС|. В каком отношении точка N делит отрезок MB?

106 Обучение решению задач векторным методом.

Докажем прежде всего, что точки М, N и В принадлежат одной
прямой. Для этого надо доказать, что векторы MN и NB колли-
неарны (умение осуществлять переход от зависимостей между фигурами
к зависимостям между векторами). MN = МА + AN (уме-
.ние представлять вектор в виде суммы других векторов). МА =
== —DA (умение представлять вектор в виде произведения вектора
на число).
AN = — (АВ + AD); MN = -DA + -АВ — -DA =
6 5 6 6
= —аЪ + -DA = — (5ТВ + АД); NB = NA + АВ =
6 30 30
= АВ -Л£ -AD = ~АВ + — DA (умения представлять
6 6 6 6
вектор в виде суммы векторов, представлять вектор в виде произведения
вектора на число, выполнять преобразование векторных равенств);
NB = — *(5ЛВ + DA), значит, NB = 5MNi следователь-
6
но, векторы NB и MN коллинеарны.
Точка N делит отрезок на две части 1 : 5 (умение переводить
векторный язык на геометрический).
Таким образом, для решения задач указанного типа необходимо
формирование тех же умений, что и для решения задач первого
типа.
III. Задачи на доказательство принадлежности трех точек
одной прямой
Заметим, что доказательство принадлежности трех точек одной
прямой было рассмотрено в задаче 4. Проанализируем решение
еще одной задачи.
З а д а ч а 4. Доказать, что в произвольном четырехугольнике
ABCD отрезки, концами которых являются середины противоположных
сторон (Р, К, R, L — середины сторон АВ, ВС, CD, AD
соответственно), и отрезок, концами которого являются середины
диагоналей (точка N — середина ЛС; точка М\—середина BD),
пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
На векторном языке требованием задачи является доказательство
того факта, что МО = ON, где О — точка пересечения отрезков,
концами которых являются середины противоположных сторон
четырехугольника ABCD, а М и N — середины диагоналей
BD и ЛС._
МО = МР + РО, но МР = — DA, значит,
~МО= -DA + PO. (1)
2
Далее, ON = OR + RN, RN = ~DA, следовательно,

107 Обучение решению задач векторным методом.

ON = jDA.+ OR. (2)
Сравнивая (1) и (2) и учитывая, что РО — OR, получаем:
МО = ON.
Из решения приведенной задачи видна важность овладения
теми же умениями, которые были выделены нами ранее.
В учебно-методической литературе [6, 7 и др.], посвященной
применению векторов к решению геометрических задач, часто указывается
на полезность рассмотрения следующих теорем.
Т е о р е м а 1. Для того чтобы точка С делила отрезок А В
так, что \АС\ : \СВ\ — т : п, необходимо и достаточно, чтобы для
произвольной точки Q выполнялось равенство
QC-4-0Л + ■ QB. т + п т -(- п
Т е о р е м а 2. Для того чтобы точка С принадлежала прямой
АВ, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Q выполнялось
равенство QC = р • О А + q • ОВ, где р + q = 1.
Доказательства этих теорем содержатся в [6, 7]. Нетрудно заметить,
что выделенные умения во многом обеспечивают успех в их
доказательствах. Так что в формирование векторного метода данные
теоремы ничего принципиально нового не вносят, хотя они являются
«инструментом» решения многих задач второго и третьего типов.
Их действие проиллюстрировано в книге [6]. *
IV. Задача на доказательство перпендикулярности прямых и
отрезков
Задачи этого типа решаются с привлечением скалярного произведения
векторов.
З а д а ч а 5. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
Пусть ABCD — ромб, тогда | АВ| = j ВС | — | CD j = I DA |, к
тому же [АВ] || [DC] и [AD] |i ISC].
Выразим векторы АС и DB через А В и ВС: АС — А В + ВС,
DB = АВ — ВС (умение представлять вектор в виде суммы или
разности векторов).
Перемножая скалярно АС и DB (умение переходить от геометрического
языка к векторному), получаем: АС • DB = (АВ + ВС)Х
X (АВ — ВС) = АВ2 — ВС2 = | АВ \2 — | ВС |2 — 0 (умения осуществлять
операции над векторами и переходить от соотношения между
векторами к соотношению между их длинами).
Это означает, что AC _L ВС, а поэтому [AC] JL [BD] (умение
переводить векторный язык на геометрические термины).
В качестве еще одного примера задач этого типа укажем задачу
на доказательство того факта, что три высоты остроугольного треугольника
пересекаются в одной точке, рассмотренную нами в начале
этой главы.

108 Обучение решению задач векторным методом.

Из рассмотренных задач четвертого типа видно, что для успеха
в их решении также важны перечисленные выше умения.
V. Задачи на обоснование зависимостей между длинами отрезков
З а д а ч а 6. Доказать, что длины диагоналей прямоугольника
равны.
Пусть ABCD — данный прямоугольник. Тогда АС = АВ + ВС
и DB = DC — ВС = АВ — ВС (умение представлять вектор в
виде суммы и разности векторов).
АС2 = | ЛС |а = АВ2 + 2АВ-Ж + ВС2 = АВ2 + ВС\
так как АВ • ВС = 0, ибо АВ Л_ ВС (умения выполнять преобразования
векторных равенств и переходить от соотношения между
векторами к соотношению между их длинами).
Далее, DB2 = | DB |2 = АВ2 + ~ВС2. Следовательно, | ЛС |2 ==
= \DB\2, или |ЛС| — \DB\.
VI. Задачи на вычисление величины угла
З а д а ч а 7. В треугольнике ABC известны длины всех сторон.
Определите величины его углов.
Пусть \АВ\ = с, \ВС\ = а, \АС\ = Ъ.
Введем в рассмотрение векторы АВ = с, АС — Ъ, СВ = а. Тогда
а — с — Ъ (умение представлять вектор в виде разности векторов).
а2 = с2— 2 c-b+~b2= | с |2 — 2 | c\-\b |-cos(c,Afc) + | Ь |2= с2— 2 ЬсХ
X cos (с, л Ь) + Ь2
(умение переходить от соотношения между векторами к соотношению
между их длинами). Отсюда cos(cAЪ) = -с“ Ь ~ —
4 ’ 1 2Ьс
/ * с2 Ь2 — а2 или cos Z. А = ————— .
2 Ьс
Выделенные умения являются характерными для решения и
этой группы задач.
Итак, анализ решений рассмотренных задач приводит к выводу
о том, что компонентами умения использовать векторный метод
являются следующие умения: 1) переводить геометрические термины
на язык векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношения
между фигурами к соотношению между векторами и наоборот),
2) выполнять операции над векторами (находить сумму, разность
векторов, произведение вектора на число), 3) представлять вектор
в виде суммы, разности векторов, 4) представлять вектор в виде
произведения вектора на число, 5) преобразовывать векторные соотношения,
6) переходить от соотношения между векторами к соотношению
между их длинами и наоборот, 7) выражать длину век

109 Обучение решению задач векторным методом.

между
векторами через их скалярное произведение.
Для исследования состава умения применять векторный метод
к решению задач мы рассмотрели задачи, содержащиеся в учебниках
геометрии средней школы и в пособиях, рекомендованных
учителю. Анализ решений более сложных задач, содержащихся в
вузовских учебниках геометрии и в сборниках олимпиадных задач,
также показал важность выделенных умений. Это позволяет утверждать
объективность полученных выводов.
Приведем примеры задач, решение которых соответствует перечисленным
выше умениям.
I. Задача с использованием умения переводить геометрические
термины на язык векторов и наоборот
1. Отрезки А В и CD параллельны. Запишите это соотношение
в векторной форме.
2. Точки Л, В, С принадлежат одной прямой. Как это соотношение
можно записать с помощью векторов АС и АВ? Какие другие
векторные соотношения можно записать?
3. Точка С принадлежит отрезку АВ и \АВ\ i \СВ\ — т: п.
Что означает это на векторном языке?
* 4′, Известно, что CD = а • АВ. Каково геометрическое толкование
этого равенства?
5. Отрезки АВ и CD перпендикулярны. Запишите это соотношение
в векторной форме. ‘
6. Известно, что АВ2 — 0. Что можно сказать о расположении
точек Л и В?
7. Известно, что точка О является серединой отрезка АВ. Запишите
это соотношение в векторной форме.
8. Как расположены точки Л, С, В, если ОС = — (О А + О В)?
9. Известно, что Л В + ВС = 0. Как расположены точки А%
В, С?
10. Как расположены точки Л, В, D, если векторы Л В + A D
и АВ — AD коллинеарны?
11. Каков геометрический смысл тождества
2а • 1 = а2 *+ Ь2 — (а — &)2?
О т в е т : удвоенное скалярное произведение векторов а и b
равно следующей разности: суммы площадей квадратов, построенных
на направленных отрезках, изображающих векторы а и Ь, и
площади квадрат-а>, п->остроенного на направленном отрезке, изобра-
жающем вектор а — Ь.
11. Задачи на выполнение операций с векторами
12. Чему равна сумма вектора и вектора, противоположного
ему?

110 Обучение решению задач векторным методом.

13. Постройте точки А (1; 2), В (3; —2), С (0; 5) и D (1; —2).
Найдите: а) АВ + CD; б) АВ — CD.
14. ABCD — параллелограмм, О = [AC] f) [BD]. Изобразите
векторы: а) АО + СВ; б) АО — DC; в) OD + АВ; г) AD — ВС.
15. В треугольнике ABC М —точка пересечения медиан. Найдите
сумму векторов МА, MB и МС.
16. Дан вектор АВ. Постройте векторы 2А В; —2
17. Даны векторы MN и KL. Постройте векторы: а) — + 3/CL;
б) 3MN —KL.
2
III. Задачи на представление вектора в виде суммы (разности)
векторов
18. Дан многоугольник ABCDE. Представьте AD в виде суммы:
а) двух; б) трех; в) четырех векторов, заданных вершинами этого
многоугольника.
19. Представьте АВ в виде суммы двух, трех векторов.
20. Дан A ABC. Представьте АС в виде разности векторов В А
и ВС.
21. Дан пятиугольник ABCDE. Выразите: а) С А через векторы
А В и ВС\ б) AD через векторы А В, ВС и DC.
22. ABCD—трапеция, [BC]\\[AD], Выразите CD через ВА
и разность векторов AD и ВС.
23. Дан параллелограмм MNP К, IMP] f| [Л/7С1 =0, А €
£ [iVP], \AN\ = \АР\. Представьте вектор AM через векторы MN
и МО.
24. Представьте вектор А В в виде суммы следующих векторов:
а) AC, DC, BD; б) DA, CD, ВС; в) DA, DC, СВ.
IV. Задачи на представление вектора в виде произведения вектора
на число
25. Отрезок АВ делится точкой М на две части в отношении
3 : 1 . Выразите MB через МА.
26. ШАП — средняя линия треугольника ABC. Выразите MN
через AC (IMN] || [АС]).
27. Через середину стороны ВС равностороннего треугольника
ABC проведен перпендикуляр DK к стороне АС. Выразите DK
через векторы А В и АС.
—V —► | C D | ,
28. Вектор CD коллинеарен вектору Л В. —— — п. Вырази-
1 А В 1
те один вектор через другой.

111 Обучение решению задач векторным методом.

29. Точки F, D, E соответственно середины сторон А В, ВС и
СА треугольника ABC. Выразите вектор AD через вектор:
a) FB + ~?Е, б) ~EF —~СЕ.
30. ABCD — произвольный четырехугольник, М я N — середины
сторон АВ и CD. Докажите, что
_ Ш = ВС~МР—
2
31. ABCD — произвольный четырехугольник, М и N — середины
диагоналей BD и АС. Докажите, что 2MN — DC + ВА.
V. Задачи на переход от соотношения между векторами к соотношению
между их длинами и наоборот
32. О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Найдите х, если: а) А В — х • CD; б) АС = х • Л О; в) ОС =
= х • СА; г) BD = х • ОВ.
33. Известно, что АВ ff CD и длина вектора CD равна 1. Найдите
л;, если: a) CD = х • АВ; б) CD = х • ВА.
34. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор MN через
векторы АВ и AD, если |/Ш| — —| ВО| и |СЛ7| = —|СО|.
3 2
35. В параллелограмме ABCD точки К и L делят стороны АВ
и AD в отношении 1 : 4 . Выразите KL через А В и AD.
36. Векторы ВС, AD и MN коллинеарны. Каково соотношение
между длиной вектора MN и суммой длин векторов ВС и AD, если
MN = i (ВС + АО)?
37. Известно, что для любых точек Л, В, С А В + ВС = АС.
Имеет ли место равенство \АВ\ + \ВС\ — |ЛС|?
38. Известно, что МЛ/’ = ~ (AD + ВС). Каково соотношение
между длиной вектора MN и длиной вектора AD + ВС?
39. В треугольнике ABC [AM] и [BD] — медианы, а О — точка
их пересечения. Выразите АВ через векторы AM и DB.
40. Докажите, что | АВ — AC| \АВ\ + \АС\. В каком случае
имеет место знак равенства?
41. В каком случае \ОА — О В | — \ОА\— |ОВ|?
42. ДокажР1те, что | АВ + ВС| \АВ\ + |ВС|. В каком случае
имеет место знак равенства?
43. Может ли \АВ + ~ВС\ == \АВ — ВС\?
44. Существуют ли такие векторы а и Ь, что длина вектора

112 Обучение решению задач векторным методом.

a -f- Ь меньше длины каждого из векторов а и Ь?
45. Известно, что \АВ\ = 2 см, |CD| = 5 см. Постройте векторы
АВ и CD так, чтобы длина вектора АВ + CD была: а) наибольшей;
б) наименьшей.
46. В треугольнике ABC [BD] — биссектриса угла В. Выразите
BD через В А и ВС.
47. Векторы АВ и АС некрллинеарны. AD=\AC\- АВ +
+ | АВ\ ■ АС. Докажите, что [AD) — биссектриса угла.
VI. Задачи на преобразования векторных равенств
48. Упростите сумму векторов: а) АВ + ВС + CD; б) АВ +
+ AD + DN + NM.
49. Докажите, что МК + АВ + ВС + СА = МК.
50. Упростить выражение: а) АВ + MN + ВС + СА + PQ +
+ NM; б) ОР — ЁР + KD — КА; в) АС — ВС — РМ — АР +
+ ВМ.
51. Окружность с центром О точками А, В, С, D, Е, F делится
на шесть конгруэнтных дуг. Докажите, что ОА + ОБ +
+ oc + 6d + oe + of = 0.
52. О — точка пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD. Упростите следующие выражения: а) (АВ + DO) + ОА;
м б) (ВС + ОА) + OD; в) 04 + ВС + DO + CD.
53. Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC
равна с. Вычислите сумму АВ • АС + ВС • В А + С А • СВ.
54. ОА и ОВ — неколлинеарные единичные векторы. Найдите
скалярное произведение (О А + О В) • (О А — О В).
55. Упростите выражение (а + Ъ — с) ■ (а — b + с), если вектор
b перпендикулярен вектору с.
56. Четырехугольник ABCD — квадрат. Упростите выражение
(АВ — ЗВС)2.
57. Если A BCD — параллелограмм, то ВС2 + ВС ■ DA = 0.
Докажите.
VII. Задачи на нахождение длины вектора и величины угла между
векторами
—V —»У -«—У -—у ~У’ ■—У ‘ У
58. Известно, что с = а + 6, (а, Ь) == 30°, \а\ = 5 см, \Ь\ =»
= 3 смТ Найдите \с\.
59. В треугольнике A BC \ АС| см, | АВ\ — 12 см, А = 52°.
Найдите длину медианы AD.

113 Обучение решению задач векторным методом.

У к а з а н и е . Используйте соотношение АО — ~ (АВ + АС).
60. Дан треугольник MNP, \MN\ = |АФ| = 3 см, \МР\ =
‘«=. 4 см. Найдите MNP. —>•—>■ —>
61. Известно, что векторы а + 2Ь и 5а — 4Ь —вз>а■и— мн►о перп—ен>д■и -—>
кулярны. Какой угол образуют векторы а и Ь, если \ а\— \Ь\ =
— 1 см?
62. Определите \АВ\, если: а) А (2; 1), В (3; 5); б) А (—2;4),
В (3; -1). —>- —>—>■
63. Определите угол между векторами а и &, если: а) а = (2; 5),
Ь = (3; -2); б) а = (2; -3), 6 = (6; 5); в) а = (2; 1), Ь = (5; -2).
64. В треугольнике ABC \ АС\ = Ь, \АВ\ = с, ВАС = а. Найдите
\ВС\.
65. Докажите, что если М — середина отрезка АВ, то для любой
точки О справедливо соотношение
|ОЛ|2 + |ОВ\2 = 2 \ОМ\2 + у’ивр.
66. Докажите, что если A BCD — прямоугольник, то для любой
точки М справедливо равенство
\МА\2+ |/ИС|2= |АШ|2+ \MD\2.
67. Как расположены точки Л, 23, С, если
|ЛС|2 + | ВС|2 •= j\AB\2.
Задачи указанных типов формируют умения и навыки, являющиеся
компонентами векторного метода решения задач. Наш опыт
и опыт многих учителей школ Мордовии свидетельствует о том,
что специальное внимание указанным задачам значительно облегчает
использование векторов в конкретных ситуациях. В процессе
решения этих задач вырабатываются критерии использования
векторов для доказательства различных зависимостей и т. д. Векторы
эффективны при доказательстве параллельности прямых, отрезков,
при доказательстве принадлежности трех точек одной прямой,
при доказательстве того факта, что данная точка делит данный
отрезок в данном отношении, а также при доказательстве перпендикулярности
прямых и отрезков, при доказательстве соотношений
между длинами отрезков и величинами углов фигур. Разумеется,
никакие критерии не сообщаются ученику в готовом виде, а учащиеся
овладевают ими в процессе решения задач.
Приведем несколько задач, решаемых векторным методом. Условие
большинства из них «наводит» на метод решения. Задачи,
методы решения которых не очевидны, -а также подобные приведенным,
можно найти в различных сборниках задач и в журнале «Математика
в школе».

114 Обучение решению задач векторным методом.

1. На отрезке АС построен^ два произвольных параллелограмма
ABCD и ACKL. Докажите, что четырехугольник BDKL — параллелограмм.
У к а з а н и е . Докажите, что BL = DK-
2. A BCD — параллелограмм. Из точек А и С проведены два
отрезка AM и САГ так, что [AM) f! [CN) и \ AM | = | CiV|. Докажите,
что четырехугольник MBND — параллелограмм.
У к а з а н и е . MB = АВ — AM = DC — NC = DN.
3. Докажите, что диагонали параллелограмма A BCD точкой
пересечения делятся пополам.
Р е ш е н и е . Пусть М — середина диагонали Л С, N — сере-
— 1 — v АВ A — A D дина диагонали BD. Докажем, что М= N. AM = — АС =—у—,
AN = АВ + — = АВ +
2 1 2 2
Следовательно, ЛМ == AN, а потому М = А7.
4. Докажите, что если в четырехугольнике ABCD диагонали,
пересекаясь, делятся пополам (в точке О), то этот четырехугольник
— параллелограмм.
Р е ш е н и е . АВ = ЛО + ОВ = ОС + DO = DC.
5. В четырехугольнике ABCD точки М и N — середины сторон
А В и CD. Докажите, что
|ШГ|< W + M P I .
У к а з а н и е . Воспользуйтесь тем, что MN = —(ВС + AD).
6. Точки М, N, Р, К — соответственно середины сторон Л В,
ВС, CD и DA четырехугольника A BCD. Докажите, что MNP К —
параллелограмм.
У к а з а н и е . Воспользуйтесь тем, что MN = —ЛС и /(Р =
= J-ЛС.
2
7. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника делит
каждую из них в отношении 2 : 1 .
8. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD
перпендикулярны, то сумма квадратов длин двух противоположных
сторон равна сумме квадратов длин двух других сторон.
Р е ш е н и е . ЛD -f~, DB -f- ВС С А = О,
AD + BC=BD + AC. (1)
Возведем равенство (1) в квадрат:
AD2 + 2Ab-ВС + ВС2 — BD2 + 2BD-AC + ЛС2. (2)

115 Обучение решению задач векторным методом.

Так как [BD] JL [АС], то BD • AC — 0.
BD2 + AC2 == (ВЛ + iD)2 + (iD + DC)2 = ВЛ2 + 2ВЛ-Л£ + AD2+
+ AD2 + 2X;-DC + DC2 = BA2 + DC2 + 2AD-(BA + AD + DC) =
= ~BA2 + DC2 + 2AD-BC. (3)
Подставляя (3) в (2), получаем: AD2 + 2AD • ВС + ВС2 =
= ВЛ2 + DC2 + 2Л£> . ВС, или |AD|2 + |BC|2 = |A4 |2+|DC|2.
9. В окружность (0; R) вписан четырехугольник ABCD. Докажите,
что если | ЛВ|2 + |CD|2 = 4/?2, то диагонали этого четырехугольника
перпендикулярны.
Р е ш е н и е . |ЛВ|2 + \CD\2 = (ОВ — ОЛ)2 + (OD — ОС)2 =
= 47?2 — 2 • (ОЛ • ОВ + ОС • OD). Учитывая условие, получим:
ОА • ОВ+ОС • OD = 0 (1). Отсюда cos АОВ + cos COD — 0, или
АОВ + COD = 180°, а потому и ВОС + DOA = 180°. Из последнего
следует, что
ОБ-ОС + OD-OA = 0. (2)
Вычитая из (1) (2), получим: О В • (О А — ОС) — OD • (О А —
— ОС) = 0, или (ОЛ — ОС) • (OB — OD) = 0. Из последнего следует,
что СА • DB = 0.

116 Обучение решению задач векторным методом

решение задач векторным методом