дома » Геометрия в школе » ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. § 4. Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. § 4. Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Система геометрических задач

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан

 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
§ 4. Система геометрических задач, решаемых с применением векторов

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан
ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
§ 4. Система геометрических задач, решаемых с применением векторов

1. Понятие вектора. Сложение и вычитание векторов
1. Записать различными способами выражения:
—►
а) Вектор а отображает точку Л на точку В;
б) Вектор АВ отображает точку Е на точку С;
в) Вектор CD отображает [АВ] на [Л1^51];
г) Параллельный перенос на расстояние АВ в направлении
от Л к В отображает точку D на точку С;
— у
д) Вектор а отображает фигуру F на фигуру Ft .

155 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

2. Прочитать следующие выражения: а (В) = А, АВ (с) = D,
А В = ОЕ — и изобразить их на чертеже.
3. Сколько различных векторов задает:
а) множество точек {А, В};
б) множество точек {А, В, С};
в) множество вершин равностороннего треугольника;
г) множество вершин параллелограмма;
д) множество точек {А, В, С, £>}?
4. Сколько различных векторов изображено на рисунке 28, а, Ь, в?
5. Известно, что АВ = CD. Можно ли утверждать, что \АВ\ —
= |CD|?
6. Известно, что \АВ\ = \CD\ и |С£>| ф 0. Можно ли утверждать,
что АВ = CD}
7. Могут ли быть различными два вектора, изображаемые направленными
отрезками равной длины, расположенными на одной
прямой? Привести пример.
8. Можно ли один и тот же вектор изобразить направленными отрезками,
расположенными на: а) двух пересекающихся прямых;
б) на различных параллельных прямых; в) на одной прямой?
9. Могут ли пары точек, первая из которых — центр окружности,
а вторая — точка окружности, определять один и тот же вектор?
10. Могут ли пары точек, одна из которых — центр окружности,
а другая — точка круга, определять один и тот же вектор?
Привести пример.
11. Определяют ли пары точек, -составленные из несмежных вершин
равнобедренной трапеции, один и тот же вектор?
12. Отложить от точки О до плоскости все векторы, определяемые
парами вершин данного ромба.
—у —У
13. Задать вектор а и точки А, В, С, D. Построить точки а (Л),
а (В), АВ (С), DC (В). —у
14. Вектор а отображает начало координат в точку (2, 3). В какие
точки отображает этот же вектор точки А (0,2); В (—2, 0);
С (-2, -3); D (-3, 1)?

156 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

15. Вектор b отображает точку
М (—2, —1) на точку
Мх (—1, 3), а отрезок А В —
на отрезок АхВг с координатами
точек Ах (2, 0) и
Вх (3,3). Найти координаты
концов отрезка АВ.

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

16. Точку А (—2, 3) вектор а отображает на точку Q (1, 0). В какую
точку отображает точку А вектор той же длины и противоположного
направления.
17. Записать на языке векторов, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
18. Даны треугольник ABC, медиана ВМ этого треугольника и
MN = ВМ. Доказать, что АВ — NC.
19. Изобразите на плоскости несколько фигур, каждую из которых
данный вектор переводит снова в эту фигуру.
20. Отложить от данной точки О три таких вектора, чтобы при их
последовательном откладывании один за другим получился
треугольник.
21. В какой из изображенных на рисунке 29 лучей можно отобразить
луч АВ при помощи: а) некоторого вектора; б) центральной
симметрии; в) поворота?
22. Что является результатом двух последовательных центральных
симметрий? Показать на рисунке.
23. Какое отображение получится, если над точками плоскости
произвести последовательно два переноса. Показать на рисунке.
24. Дан квадрат ABCD, О — точка пересечения его диагоналей.
Какими перемещениями можно отобразить: а) вершину В на
вершину D; б) отрезок ВО на отрезок ОС; в) отрезок ВО на
отрезок OD; г) отрезок ВС на отрезок DC; д) отрезок ВС на
отрезок AD; е) квадрат A BCD сам на себя?
25. Существуют ли перемещения, при которых в квадрате ABCD
g центром О: а) (В -> 0; б)

д) (А А,
1с-*-С?
26. Дан равносторонний треугольник ABC, [AD] — его биссектриса.
Какими перемещениями можно отобразить: а) В -*■ С;
б) [АВ]-*—[АС]\ в) треугольник ABC сам на себя?
27. Дан ромб ABCD с точкой пересечения диагоналей О. Какими
перемещениями можно отобразить: а) отрезок А В на отрезок
DC; б) г) ромб A BCD сам на
себя?

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

157 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

28. Дан квадрат ABCD с центром О. Какое перемещение отображает!
а) [АВ) -у [DC); б)[AB)-+[CD)\ в) [АВ) [AD)\
г) (ЛВ) [DA)\ д) [АС) -у ЮС)-, е) ЮЛ) [ОС);
ж) ЮВ) -у [ОС); з) [ОВ) -у [ЛО)?
29. Дан равносторонний треугольник ABC, AD — биссектриса
угла Л. Какое перемещение отображает! а) [ Л В ) [ С Л ) ;
б) [Л£>)-ИВС)?
30. Построить произвольный треугольник ЛВС и начертить луч
MN. Найти образ этого луча при’ последовательном выполнении
векторов Л В и ВС.
■—У —У
31. Даны два вектора а и b и отрезок. Изобразить образ этого от-
-У-У
резка для композиции векторов b и а.
32. Даны два вектора (рис. 30) а и Ь. Найти сумму этих векторов
по правилу треугольника (при решении использовать клетчатую
сеть).
—У -► —У •>
33. Даны два вектора а и Ь. Построить вектор с такой, что а + с = -у
— Ь.
34. Может ли быть длина суммы двух векторов одинаковой длины:
а) меньше длины каждого вектора; б) равна длине каждого
вектора; в) больше длины каждого вектора; г) больше суммы
длин векторов; д) равна сумме длин векторов?
35. Найти сумму векторов Л В и CD, если Л (1, 1); В (3, 4);
С (0, -1); D (1, 3).

158 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

36. Найти сумму векторов а и & по правилу параллелограмма
(рис. 30, б).
37. На диагонали АС параллелограмма ABCD построен другой
параллелограмм ACEF. Чему равен вектор FE, если а (А) = В
и b(A)~D?
38. Доказать равенство ВС + А В = AD + DC, не используя рисунок.
—>
39. Дан вектор а. Представить его в виде суммы двух векторов!
а) имеющих данные направления; б) один из которых дан;
в) имеющих длины (всегда ли это возможно?); г) имеющих
взаимно перпендикулярные направления.
40. Как найти сумму трех и более векторов? Сформулируйте правило
сложения. Сделайте рисунок.
41. Найти сумму векторов: а) АВ -+• ВС + CD’, б) MN + МР +
+ PQ + QE; в) ХК -\-YZ + ZX.
42. Записать вектор АВ в виде суммы двух векторов, один из которых
есть вектор AM.
43. Записать вектор CD в виде суммы двух векторов, один из которых
есть вектор PD.
44. Записать вектор MN в виде суммы двух векторов.
45. Записать вектор АВ в виде суммы трех векторов, если один из
них — вектор: а) Л/С; б) DB; в) CD.
46. Записать вектор MN в виде суммы трех векторов.
47. Даны векторы а, b и d. Найти вектор с такой, что а + b -f с =
= d.
48. Какому условию должны подчиняться три вектора а, & и с,
чтобы можно было построить треугольник ABC такой, что
АВ = а, ВС = Ь, СА = с?
49. Дан параллелограмм ABCD с центром О. Упростить суммы
векторов: а) {А В + OD) + СО; б) (ВС + О А) + OD.
50. Указать на рисунке 31 коллинеарные векторы.
51. Как провести прямую, чтобы
векторы, изображенные
направленными отрезками
этой прямой, были колли-
неарны вектору ВА7 Сколько
таких прямых можно провести?
52. Изобразить в тетради не-
‘ сколько коллинеарных

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Рис. 31

159 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

вывод.
53. Дана равнобедренная трапеция. Выпишите все множества коллинеарных
векторов, определяемых вершинами трапеции.
54. Для четырехугольника MNPQ векторы: a) MN и PQ коллине-
арны, a NP и MQ неколлинеарны; б) NM и QP, NP и QM кол-
линеарны. Какую фигуру представляет в каждом из этих случаев
четырехугольник MNPQ?
55. Упростить суммы: а) АВ + MN + ВС + С А + PQ + NM;
б) FK + MQ + ~КР + AM + QK + PF\ в) КМ + ~DF +
+ AC+FK+CD+PA + МР; г) АВ + BA + CD +
+ MN + DC+ NM.
56. Даны векторы АВ и CD. Найти сумму векторов А В и вектора,
противоположного вектору CD.
57. Возможно ли равенство векторов АВ и В А?
58. Найти разность векторов а и b (рис. 30).
59. Даны векторы АВ и CD. Найти разность вектора CD и вектора;
противоположного вектору АВ.
60. Даны четыре точки А, В, С, D. Выразить вектор АВ в виде разности
двух векторов, определяемых данными точками. Сколькими
способами это можно сделать?
61. Записать вектор АВ в виде разности двух векторов, один из
которых равен вектору О А.
62. Записать вектор CD в виде разности двух векторов, один из
которых равен вектору KD.
63. Записать вектор MN в виде разности двух векторов.
64. Представить вектор А В в виде алгебраической суммы следующих
векторов: а) AC, DC, BD; б) DA, CD, ВС; в) DA, DC, СВ.
65. Упростить выражения: а) ОР — ЕР + KD — КА; б) AD -f
+ МР + Е~К — ЁР — MD; в) АС—ВС + МР —РА+ВМ,
66. Рассматривая параллелограмм, определяемый— в>екторами а и Ь, — > — —> — >
проверить правильность соотношений (а — b) + b — а.
67. Даны параллелограмм ABCD и точка О. Выразить вектор OD
через векторы ОА = т, ОВ — п, ОС — р.
— > ■
68. В каком отношении находятся векторы а и Ь, если векторы
—>■ —> —> —>■
а + b и а — Ъ коллинеарны?
69. ABCD — параллелограмм. Какому условию должны удовлет

160 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

ворять векторы В А иВС, чтобы вектор AD — А В образовывал
равные углы с ними?
70. Может ли выполняться равенство | С А + СВ | = | С А — СВ |?
71. Могут ли длины векторов АВ ± АС быть больше длины каждого
из векторов А В и АС? Привести пример.
72. Доказать, что | АВ — АС| | АВ| + | ЛС|. В каком случае
имеет место знак равенства?
73. Сравнить длины j а + b| и \ ‘а\ + | Ь\, если: а) а и b сонаправле-
ны; б) а и b неколлинеарны. Чему равна длина \ а + й|, если
а и b противонаправлены?
74. Для любых четырех точек Л, В, С, D доказать справедливость
равенств: а) А В + CD == Л£ + СВ; б) АС + BD = ЛЛ +
+ ВС; в) А В + ВС = Л/) + DC. Изобразить эти соотношения
на рисунке.
75. Даны два треугольника ABC и А1 В1С1 , имеющие общую медиану
ААХ . Доказать, что СВХ = СХВ.
76. Даны два параллелограмма ABCD и А^С^. Доказать, что
векторы АА, и СХС равны.
77. Пусть ABCD и Л^С^ —два четырехугольника. Доказать,
что AAi -f- ВВА -f- CCX -j- DDi = ЛС^ -f- В/^+СЛ] -f- DBi.
78. Проверить справедливость равенства ЛЛг + ВВХ + ССХ +
+ DD{ = ЛВХ + ВСХ + CDX + ДЛХ. Составьте еще несколько
аналогичных равенств и докажите их справедливость.
79. При каждой вершине треугольника ЛВС построены ромбы,
стороны которых конгруэнтны и направлены по сторонам треугольника;
[ЛЛ11, [BBJ, [CCJ—диагонали этих ромбов.
Доказать, что АА{ + ВВ1 + СС1 = 0.
80. Для того чтобы четырехугольник A BCD был параллелограммом,
необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Q выполнялось
равенство QA + QC = QB + QD. Доказать это.
2. Умножение вектора на число
1. Выразить вектор MN на рисунке 33 через векторы а и Ь,
используя клетки.
2. При каком значении k справедливо соотношение АВ + CD +
+ BC=k(EA+DE)?
3. Доказать, что в параллелограмме A BCD АС + BD = 2ВС.
4. Дан треугольник ЛВС. Доказать, что если для двух точек М

161 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

g ) 6 ) 6 ) г ) J )
Рис. 32
и N выполняется равенство МА + MB + МС = N А + NB +
+ NC, то точки М и N совпадают.
5. В треугольнике ABC [СМ] —* медиана и СВ — а, СА = Ь.
Выразить вектор СМ через векторы а и h.
6. Л, 5, С — три точки, принадлежащие одной прямой и такие,
что \АС\ = | ВС |. Доказать, что для произвольной точки Q плоскости
выполняется равенство QC = ~ (С^Л +QS).
7. Пользуясь свойством средней линии треугольника, доказать,
что — (а + Ь) = — а + — Ь.
2 2 2
8. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF. Найти
сумму AD + BE + CF.
9. Л, В, С, D — четыре точки плоскости, М и N — соответственно
середины отрезков AD и ВС. Выразить вектор MN через:
а) АВ = а и DC = b\ б) АС = с и DB = d.
10. Точки М и N являются соответственно серединами диагоналей
АС и BD четырехугольника ABCD. Доказать, что MN =
= — (АВ + CD) и M~N = — (AD + CS).
2 2
11. Записать на языке векторов, что четырехугольник EFKP —
трапеция.
12. В трапеции A BCD длины оснований равны |ЛВ| — а и \CD\ =
= b. Выразить вектор DC через вектор ЛВ.
13. Точка Р — середина стороны AD параллелограмма ABCD.
Выразите вектор PC через векторы А В и Л1).
14. В параллелограмме ABCD точки М и N — соответственно
середины сторон CD и AD. Выразить вектор MN через векторы
СВ = а и DC = b.
15. В четырехугольнике Л BCD точки Af, Ny Р, Q — соответственно
середины последовательных сторон. Доказать, что MNPQ —
параллелограмм.

162 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

16. В параллелограмме,- A BCD АС = а и BD = Ь. Выразить векторы
А В и ВС через а и Ь.
17. В пятиугольнике ABCDE М, N, Р, Q— соответственно середины
четырех последовательных сторон, начиная от АВ. Найти
зависимость между векторами MN, PQ и АЕ‘.
18. ABCD и BDCF— два параллелограмма и О — центр первого
из них. Выразить векторы AD, ВО, FC, OF, DF, CD через векторы
BF = а и СО = Ь.
19. ABCD — параллелограмм, О — его центр, Q — произвольная
точка плоскости. Выразить вектор QO через векторы QA = а,
CD — b, AD = с.
20. ABCD и ACEF — два параллелограмма с центрами О и D.
Выразить векторы AC, BF, ЕО, FO, AF, BE через векторы
ЕС — а и FD = Ъ.
21. Доказать, что если в четырехугольнике ABCD точки М м N —
соответственно середины сторон АВ и CD и для построенного
параллелограмма ABDD’ точка О — середина отрезка CD’,
то [ЛШ ^ [АО], [ЛШ || [АО].
22. На стороне АВ четырехугольника ABCD построен параллелограмм
АВСС и взята точка О — середина отрезка C’D. Доказать,
что если М н N — соответственно середины сторон А В и
CD, то отрезок АО равен отрезку MN по длине и параллелен.
23. Даны два параллелограмма ABCD и Л1В1С101. Доказать, что
в общем случае середины отрезков ААХ , BBt , CCr , DDX
являются вершинами параллелограмма A0 B0C0D0 . Построить два
таких параллелограмма, чтобы точки А0 , В0 , Ce, D0 совпали
или принадлежали одной прямой.
24. Доказать, что если А, В, С, D, Е, F — соответственно середины
последовательных сторон шестиугольника, то АВ + CD +
+ EF= ОТ
25. Пусть Ах , Вх , Сх — середины сторон треугольника ABC, Q —
•произвольная точка плоскости. Доказать, что QAX -J- QBX -f
+ QCX = QA + QB + QC.
26. Дан треугольник ABC, в котором проведены медианы. Доказать,
что если Ах , Вх , Сх — середины медиан, то,для любой точки
Q плрскости выполняется равенство QA + QB + QC =*
— QA i + QBX + QCX .
27. В треугольнике ABC точка D взята на стороне АС так, что
\АС\ : \DC\ ==т : п. Выразить векторы В А и ВС через АС =
= а -и BD ==-■ Ь.

163 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

28. Дана трапеция ABCD, в которой основание АВ в k раз больше
основания CD. Выразить векторы АС и ВС через векторы
AD — b и DC = а.
29. Точки /Си L служат соответственно серединами сторон ВС и
CD параллелограмма A BCD. Полагая А К = т и AL = п,
выразить векторы ВС и CD через тип.
30. В трапеции ABCD основание AD в k раз больше основания ВС.
Для произвольной точки Q выразить вектор QD через векторы
QA = a, QB = b, QC = с.
31. а и b — ненулевые и неколлинеарные векторы. Доказать, что
если числа а и |3 удовлетворяют условию аа + $Ь = 0, то
а = 0 и Р = 0.
—► —> ——V
32. Известно, что а + b + с = 0. При каких kx , k2 , k3 верно ра-
— > — > ■ — > — > ■ — > — — > — — > —
венство kx a + k2 b + k3 c = О (а> b, с попарно жколлинеарны)?
— У
33. Доказать, что любой вектор т может быть представлен, и притом
единственным образом, в виде т = аа + fib, где а, р —
—> —>■
числа, а а и b — неколлинеарные векторы. Можно ли обобщить
задачу на случай большего числа слагаемых?
34. Пусть вектор т представляет собой линейные комбинации векторов
ах и Ьх, а2 и Ь2, где% и Ъх неколлинеарны, а ах и а2, Ьг и
Ь2 соответственно коллинеарны. Доказать, что соответствующие
слагаемые этих линейных комбинаций равны. (Линейной комбинацией
векторов а2, …, ап называется выражение вида
Mi + k2 a2 + … + , где &2, …, — числа.)
35. Два параллелограмма ABCD и ЛВ^/)! имеют общую вершину
Л. Доказать, что \ВВг \ ^ |ССХ| + \D± D\.
36. В четырехугольнике ABCD точки М и N — соответственно
середины сторон AD и ВС. Доказать, что 2 | AliV | | АВ\ +
+ I CD\.
37. Даны две различные точки Л, В и число k. Найти такую точку
М, что в векторы ЛМ и Ь ЛМ: а) равны между собой;
б) противоположны.
38. Дан параллелограмм A BCD. Найти на плоскости такую точку
Q, чтобы выполнялось равенство QA + QB + QC + QD = О.
Сколько существует таких точек?
39. Дан четырехугольник ABCD. Найти на плоскости такую точку
Q, чтобы выполнялось равенство QA + QB -f QC + QD =0.
Сколько существует таких точек?
40. Пусть 5 — точка пересечения средних линий четырехугольни

164 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

ка ABCD и Q — произвольная точка плоскости. Доказать, что
имеет место равенство QA + QB + QC + QD = 4QS.
41. Дан четырехугольник ABCD. Его средние линии пересекаются
в точке М. Построена ломаная MAUV, где AU = MB, r UV =
= МС. Доказать, что М — середина отрезка VD.
42. Доказать, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей
трапеции, равна полуразности ее оснований.
43. Если длина отрезка, соединяющего середины двух противоположных
сторон выпуклого четырехугольника, равна полусумме
двух других сторон, то этот четырехугольник — трапеция
или параллелограмм. Доказать.
44. Точки М и N — соответственно середины сторон АВ и CD четырехугольника
A BCD. Доказать, что середины диагоналей
четырехугольников AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма
(или лежат на одной прямой).
45. На прямой заданы три точки Л, В, С. Существует ли на плоскости
такая точка Q, что выполняется равенство QA + QB -f-
+ QC =к О?
46. Доказать, что медианы произвольного треугольника ABC пересекаются
в одной точке М, которая обладает следующими
двумя свойствами: а) расстояние от точки М до каждой вершины
треугольника равно — 2д лины соответствующей меодианы; б) для 3
любой точки Q справедливо соотношение
QM = 1 (0Л+ QB + QC).
О
47. Для того чтобы точка Q была центром тяжести треугольника
ABC, необходимо и достаточно, чтобы QA -f QB + QC = 0.
Доказать это.
48. Существует ли в плоскости треугольника ABC точка Q, удовлетворяющая
равенству QA + 2QB 4* 3QC — 0?
49. Пусть Ах , А2 , А3 — три не принадлежащие одной прямой точки
плоскости и ах , а2 , сс3, Pi, Р2> Рз — данные действительные
числа. Если для некоторой точки М выполняются со<}тношения
QM = <xx QAx + a2Q/42 4* a3Q43, QM — PiQ/4i -j- P2Q-^2 «t*
+ p3Q^3 независимо от выбора точки Q, то ах = а2 = р2,
а3 = р3.
50. Дан произвольный треугольник ABC. От произвольной точки
М отложены векторы МВХ = АВ, МСХ = ВС, МАХ = СА.
Доказать, что М — центр тяжести треугольника АХ ВХ СХ .
51. Из точки М, лежащей внутри треугольника ABC, проведены
перпендикуляры на стороны ВС, АС, АВ и на этих перпендикулярах
отложены отрезки МАХ , МВХ , МСХ , конгруэнтные

165 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

соответствующим сторонам треугольника. Доказать, что М —
центр тяжести треугольника АХ ВХ СХ .
52. В треугольнике ABC [ААХ ] — медиана и М — ее середина.
Выразить для произвольной точки Q плоскости вектор QM через
векторы QA, QB, QC.
53. Доказать, что в произвольном четырехугольнике отрезок, соединяющий
середины диагоналей, проходит через точку пересечения
средних линий и делится ею пополам.
54. В треугольнике ABC проведены медианы ААХ , ВВХ , ССХ и Q —
произвольная точка плоскости. Выразить векторы QB, QC,
QAX через векторы QA — a, QBX = b, QCX = с.
55. Пусть АХ А2 … Ап — произвольный многоугольник, а Вх , В2,
…, Вп — середины его сторон. Доказать, что для произвольной
точки Q справедливо соотношение QAX + QA2 -j* … +
+ QAn — QBX 4- QB2 + ••• + QBn .
56. Точки Mx , M2 , делят отрезок АВ на три равные части. Для
произвольной точки Q выразить векторы QMX и QM2 через векторы
QA = а п QB — Ь.
57. Отрезок АВ разделен точками М3 и Мь в отношении 3 : 5 и
5 : 3 (от точки А). Выразить векторы QMS и QM5 через векторы
QA =5 а и QB = Ь.
58. Для того чтобы точка С делила отрезок А В в отношении
\АС\ : [ СВ\ = т : п, необходимо и достаточно, чтобы для
произвольной точки Q плоскости выполнялось равенство
0С = -0А + -^0В.
т-\- п т-\- п
Доказать это.
59. В условиях предыдущей задачи рассмотреть случай, когда
\АС\ ! \СВ\ = k.
60. Если * точки М и N делят отрезки АВ и CD так, что
4 | АМ | : | MB | — | СМ | : | ND | =s т: п, то выполняется равенство
MN — —— АС Ч—— BD. Доказать это. Сформулировать и
т+ п т+ п
доказать предложение, обратное данному.
61. На прямой Рх даны три точки Ах , Вх , Сх , а на прямой Р2 — три
точки А2, В2 , С2 , причем АХ ВХ = тВх Сх, А2 В2 = тВ2 С2 . Отрезки
Ах А2 , Вх В2 и СХ С2 разделены точками А0 , В0 , С0 в равных
отношениях. Доказать, что эти точки принадлежат одной пря-
/ мой или совпадают.

166 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

62. Для того чтобы точки Л, В, С принадлежали одной прямой,
необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки Q плоскости
выполнялось равенство QC = PQA 4- QQB, где Р + Q =
= 1. Доказать.
63. Даны треугольник ABC и произвольная точка Q. Доказать,
. что если построить параллелограммы QBBL C и QAAX BX , то
диагональ QAX последнего проходит через центр тяжести О данного
треугольника и I <2ЛХ| = 3 |Q0|.
64. Доказать, что прямая, проходящая через вершину Л треугольника
ABC и середину медианы BD, делит сторону ВС в отношении
1 : 2 .
65. Пусть О и Ох — точки пересечения средних линий двух четырехугольников
ABCD и AX BX CXDX . Доказать, что: а) ААХ 4- ВВХ 4*
4* ССХ DDX = 4 • ООх , б) ААХ «4 ВВХ 4* ССХ 4* DDX —
-s=s АВХ 4- ВСХ 4- CDi + DAi-
66» Даны два конгруэнтных отрезка А В и АХ ВХ . Каким должен
быть угол между прямыми, которым принадлежат эти отрезки,
чтобы расстояние между серединами отрезков ААХ и ВВХ было
равно — |ЛВ|?
67. На стороне АВ параллелограмма ABCD взята точка Р так,
что п ■ АР = АВ. Прямая DP встречает диагональ АС в точке
Q. Доказать, что (п 4- 1) A Q = А С.
68. Дан правильный шестиугольник Л1Л3Л3Л4Л5Л6. Доказать,
что АХ А2 4- АХ А3 4″ АХ А4 4» АХ А5 4» Ах Ае = ЗЛ1Л4.
69. Величина угла Л ромба ABCD равна 60°. Из центра О этого
ромба’ на его стороны проведены перпендикуляры ОМ, ON,
OP и OQ. Выразить векторы ОМ, ON, OP и OQ через векторы
АВ = т и AD =Ъ.
70.- Через точку М, взятую внутри параллелограмма, проведены
прямые, параллельные его сторонам. Они пересекают стороны
параллелограмма в точках Л, С и В, D. Доказать, что точка
пересечения средних*линий четырехугольника ABCD является
серединой отрезка ОМ, где О — центр данного параллелограмма.
71. Даны треугольник ABC и точка М на стороне АВ. Прямая,
проведенная через М параллельно медиане ССХ , пересекает
(СЛ) в точке Р, а (СВ) — в точке Q. Доказать, что PM -f QM =э
‘ — 2ССХ .
72. Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции,
проходит через точку пересечения продолжения боковых
сторон и через точку пересечения диагоналей.
3. Скалярное произведение векторов ^
1. Вычислить скалярное произведение векторов а и Ь, если:

167 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

а) |oj = 2, \b\ = 3, aV= 30°; б) Й = |Ь| = 4, ~a b- = 120°; •
в) |а| = 4, |Ь| = 5, а = k ■ b, k<0; г) |а|= |fr| = 1, а =
= k • b, k > 0.
2. Что можно сказать о векторах а и Ь, если: а) а • Ь = |а| • \Ь\;
б) а • b — — | а 11Ь |; в) а ■ 6 = 0?
3. Для равностороннего треугольника ABC, длина стороны которого
равна 2, вычислить выражение ВС ■ СА -J- СЛ • АВ-\-
Н- AS -ВС.
— — > — ► — > ■
4. Известно, что а = kb, с = Ы. Справедливы ли пропорции:
а)ч а- = -;с б) — = в)а — = г) b — = -? ч b d ^ d с ~
b d с d а с Ъ а
5. Какие из следующих преобразований справедливы:
а) (2а — Ъ)2 = 4а2 — 4а6 + Ь2 ; б) (а + Ь) (а — Ь) = | а|2 —
— > * — > ■
— \ Ь\2 -, в) 2а2 —~ab = 0=>а (2а — Ь) = 0=> Й1->= °> —
_2 а — Ь = 0=»
= 0
а» = — о? 2 2
—У —>
6. При каких векторах а и Ь верно равенство
a (ab) = а2 b?
7. Справедливо ли равенство (ЛС • SD)2 = АС2 ■ BD2?
— > — — > ■
8. Какой угол образуют единичные векторы s и t, если известно,
что векторы s + 2t и 5s — 4/ взаимно перпендикулярны?
9. Вычислить (За — Ь) (2Ь + 2а), если известно, что а и b — единичные
взаимно перпендикулярные векторы.
10. Записать с помощью векторов следующие утверждения:
а) ЛВС — равнобедренный треугольник с основанием АС;
б) ABC — равносторонний треугольник; в) A BCD — ромб;
г) ABCD — прямоугольник; д) ABCD — квадрат.
11. Даны две стороны | АВ | = a, \CD\ = b четырехугольника Л BCD
и угол а между этими сторонами. Найти длину отрезка, соединяющего
середины двух других сторон четырехугольника.
12. В треугольнике ЛВС со сторонами | Л В | = 5, | ВС f = 2, |ЛС| —
= 4 вычислить величину угла ЛВС.
13. Для треугольника ЛВС выразить скалярное произведение
векторов А В • АС через длины сторон треугольника.

168 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

14. В треугольнике ЛВС со сторонами | АВ | =3, |ВС| = 4, \АС\ —
= 6 найти скалярное произведение АВ • АС.
15. Доказать, что в равностороннем треугольнике ABC с центром
тяжести М \АВ\2 = 3 \МС\2 .
16. В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. Доказать,
что справедливо равенство МА * МС = MB • MD.
17. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Вычислить
сумму ВС • AD + С А • BE + А В • CF.
18. Доказать справедливость тождества а -Ь = } j ■

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

для любых векторов а и Ь.
19. Доказать, что скалярное произведение двух векторов, отложенных
от данной точки до концов любого диаметра данной
окружности, есть величина постоянная.
20. Доказать, что для любых четырех точек плоскости Л, В, С, D
имеет место равенство ВС * AD + С А • BD + А В • CD = 0.
Записать это равенство через векторы а = DA, Ь = DB, с =
= DC.
21. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной
точке.
22. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов длин его
диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон.
23. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то для произвольной
точки Q плоскости выполняется равенство
| QA\* + \QB?=2\QM\*+±\AB\\
24. Доказать, что если ABCD — прямоугольник, то для любой
точки М верно равенство \МА |2 + \ МС\2 = \МВ\2 + |уИ£>|2.
25. Даны три точки А, В, С, для которых | Л С р + | ВС |2 -= ~| АВ |2.
Доказать, что Л С + ВС = 0.
26. Доказать, что угол С треугольника ЛВС будет острым, прямым
или тупым, смотря по тому, будет ли длина медианы CD
больше, равна или меньше ~ |ЛВ|.
27. Доказать, что в треугольнике ЛВС с центром тяжести М справедливо
соотношение
| АВ I2 + | ВС |2 + | Л С |2 = 3 (| МА |2 + | MB |2 + | MCJ2).
28. Доказать, что если центр тяжести треугольника ЛВС совпадает
с точкой пересечения высот, то треугольник равносторонний.
29. Доказать, что если векторы а и b удовлетворяют условию

169 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

—У “-V —V *-У
(а — Ь) (| Ь\ • а + |а| • Ъ) — 0, то они либо коллинеарны,
либо равны их модули. ■’
30. Выразить длину каждой медианы треугольника через длины его
сторон.
31. В трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями большее
основание равно 4, а меньшее 3. Найти ее боковую сторону,
если известно, что она составляет угол в 60° с большим основанием.
32. Дан треугольник ЛВС, в котором [ АС\ — 3, | ВС\ = 4, АСВ =
== 120°. Найти расстояние от вершины С до точки М, делящей
сторону АВ в отношении 1 i 3, считая от вершины А.
33. Если в прямоугольном треугольнике А ВС из вершины прямого
угла проведена высота CD, то: а) |СО|2=|Л.О|- \BD\-,
б) | ЛС|2 =?jАВ\ • \AD\-, в) |ВС|2 = \ВА\ • \BD\. Доказать.
34. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны.
Доказать, что высота трапеции есть среднее пропорциональное
между ее основаниями.
35. Доказать, что в трапеции ABCD с основаниями АВ и CD выполняется
равенство | ЛС|2 + |BD|2 = | AD\2 + | ВС|2+2| ЛВ|х
X \DC\. ‘
36. Для того чтобы диагонали четырехугольника были взаимно
перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов
противоположных сторон четырехугольника были равны.
Доказать это.
37. Доказать, что если в треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны,
то сумма их квадратов равна квадрату третьей
медианы.
38. Найти зависимость между сторонами треугольника ABC, если
его медианы ААХ и ВВХ перпендикулярны.
39. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Найти длину
биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.
40. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого
• угла проведена высота CD. Выразить через векторы а =- СВ и
Ъ — СА\ а) вектор AD; б) вектор CD.
41. Из середины D основания АВ равнобедренного треугольника
ABC проведен перпендикуляр DM на сторону ВС. Точка N —
середина отрезка MD. Доказать, что отрезки AM и CN перпендикулярны.
— ‘ -V
42. Через вершину прямого угла С треугольника ABC проведена
прямая, на которую из вершин А и В проведены перпендикуляры
ЛЛХ и ВВХ. Вершина С отражена в точку Сх относительно
середины М отрезка AX BV Доказать, что АСг В — А
43. На стороне АВ A ABC по разные стороны от прямой Л В построены
равносторонние треугольники ЛВСХ и ЛВС2. Найти

170 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

зависимость между сторонами данного треугольника, если
прямые ССх и СС2 перпендикулярны (С Ф Сх, С ф С2).
44. Выяснить условия, при которых (а ■ Ь) ■ (с • d) — (а ■ с) х
X(Ь ■ d).
4. Преобразование векторов
1. Дан вектор а. Найти его образ при некотором: а) переносе;
б) центральной симметрии; в) осевой симметрии; г) повороте.
2. Дан вектор а. Найти его образы при нескольких центральных
симметриях с произвольными центрами и сравнить полученные
образы между собой.
3. Дан вектор а. Найти его образы при нескольких осевых симметриях
со взаимно параллельными осями и сравнить полученные
образы между собой.
—^
4. Найти образ вектора а при последовательном выполнении двух
осевых симметрий со взаимно перпендикулярными осями.
5. Найти образ вектора а при последовательном выполнении переноса
и центральной симметрии. Играет ли роль при этом порядок
выполнения указанных перемещений?
6. Вектор а отобразить гомотетиями с коэффициентом к и центрами
— > — — > —
Ох и 02 в некоторые векторы ах и а2 и сравнить их.
7. Векторы АВ и ВС отображаются гомотетиями с коэффициентом
k и центрами 0Х и 02 на векторы АхВх и В2С2 . Найти зависимость
между векторами АС и AX BX + В2 С2 .
8. В прямоугольнике ABCD диагонали АС и^ BD пересекаются
» в точке О и образуют угол AOD = 60°. При каком перемещении
вектор AD отображается на векторы: а) ОС; б) ВС; в) ОВ;
г) СВ; д) ОА; е) QD?
. 9. Дан равносторонний треугольник ABC с центром О. При каком
перемещении: а) вектор Л С отображается на векторы АВ;
СА; ВС; СВ; б) вектор АО отображается на векторы ВО; СО;
ОВ; ОС?
10. Каким образом в равностороннем треугольнике ABC с центром
О и медианами ЛЛХ, BBX и ССХ можно отобразить вектор Л О на
векторы: а) ЛхО; б) ОСх; в) ВхО? \
11. В квадрате ABCD с центром О: а) найти образ вектора АО при
повороте на +90°; б) найти образ вектора ОВ при последовательном
выполнении поворота на —45° и гомотетии е коэффициентом
У 2.
12. Каким преобразованием можно отобразить в квадрате A BCD

171 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

с центром О: а) вектор DA на вектор О В; б) вектор АС на вектор
CD?
13. В квадрате A BCD с центром О рассмотреть образы векторов
АО и OD при повороте на +90°. Сумму полученных’векторов
сравнить с вектором AD.
14. Дан равносторонний треугольник ABC с центром О. Некоторое
перемещение отображает*вектор АО на вектор ОВ. В какой
вектор отображается вектор А В этим же перемещением?
15. В квадрате ABCD с центром О проведен перпендикуляр ОК к
стороне CD. При некотором перемещении вектор АО отображается
на вектор ОВ. В какой вектор при этом отображается
— вектор FK?
16. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты.
Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами
квадрата.
17. На сторонах А В и ВС треугольника ABC построены вне его
квадраты ABDE и BCKF. Доказать, что отрезок DF в два раза
больше медианы ВР треугольника ABC по длине и перпендикулярен
к ней.
18. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники ABCг и ВСАХ . Доказать, что
отрезок, соединяющий середины отрезков А В и ЛхСх, равен
половине отрезка АС по длине и составляет с ним угол в 60°.
19. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники АВСХ и ВСАг . Доказать, что если
Му N и Р — соответственно середины сторон ЛС, С± ВУ ВАХ ,
треугольник MNP равносторонний.
20. Диагонали ЛС и BD равнобедренной трапеции ABCD ([АВ] ||
|| [CD]) пересекаются в точке О под углом 60°. Доказать, что
середины отрезков ОЛ, OD и ВС являются вершинами равностороннего
треугольника.
21. В трапеции ABCD диагональ АС отсекает равносторонний
треугольник ACD. Из точки Е диагонали АС (или ее продолжения)
основание ВС видно под углом 60°. Доказать, что середины
отрезков АЕу ВС и CD являются вершинами равностороннего
треугольника.
22. Если на двух сторонах параллелограмма, исходящих из-одной
вершины, построить (внешним или внутренним образом) правильные
треугольники, то противоположная вершина параллелограмма
и свободные верщины треугольников образуют правильный
треугольник. Доказать.
23. Даны два равносторонних треугольника А1 В1 С1 и Л2В2С2
одинаковой ориентации. Отрезки Ax A2 t Bt B2 и С\С2. разделены
точками Л, В и С в одном и том же отношении соответственно

172 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

от концов Аъ Вх и Сг . Доказать, что треугольник ABC равно*
сторонний.
24. Составить несколько задач, используя результат предыдущей
задачи.
25:. В прямоугольной трапеции ABCD с острым углом D в 45°
диагональ АС равна стороне CD. Доказать, что середина меньшего
основания равноудалена от вершины А и середины стороны
CD.
26. На отрезках А В и АС некоторой прямой построены равнобед-
ренные прямоугольные треугольники АВС1 и АСВ1 (Сг = В± =
= 90°) противоположной ориентации. Доказать, что середина
отрезка ВС и точки Вг и Сг служат вершинами равнобедренного
и прямоугольного треугольника.
27. В треугольнике ABC с углом В в 45° проведены высоты ССг и
АА1 У пересекающиеся между собой в точке О. Доказать, что
середины отрезков ВС, А1 С1 и СО служат вершинами равнобедренного
и прямоугольного треугольника.
28. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники АВСг и ВСАг с центрами соответственно
Ог и 02. Доказать, что отрезок 0Х02 вдвое длиннее
отрезка, соединяющего середины отрезков Ог С и СгО2, и составляет
с ним угол в 60°.
29. На сторонах А В, ВС, CD прямоугольника A BCD вне его построены
равносторонние треугольники АВОъ ВС02 , CD03 .
Доказать, что расстояния между серединами отрезков АВ,
0г 02 и ВС, 02 03 равны.
30. На сторонах’Л В и АС треугольника ABC вне его построены
квадраты ABDE и ACFG, а затем параллелограмм AELG.
Доказать, что:
а) | LA | = \ВС\ и [LA] 1 [ВС]; б) \LC\ = \BF\ и [LC] 1
± [BF]; в) | LB| = \DC\ и \LB] 1 [DC].
31. На сторонах АВ, ВС и СА A ABC вне его построены равносторонние
треугольники. Доказать, что центры Ог , 02 и 03
этих треугольников являются вершинами равностороннего
треугольника.
32. A BCD и АхВ-ьСтРх — два квадрата с общим центром и одинаковой
ориентацией. Доказать, что середины отрезков ААЪ ВВЪ
ССг , DD± являются вершинами некоторого квадрата.
33. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
квадраты ABMN и BCQP. Доказать, что центры этих квадратов
и середины отрезков МР и АС являются вершинами
квадрата.
34. На сторонах А В и CD произвольного выпуклого четырехугольника
A BCD вне его построены квадраты ABMN и CDKL. Доказать,
что середины диагона лей четырехугольников A BCD
и MUKL являются вершинами квадрата или совпадают.
35. Даны два квадрата Л1В1С1С1 и Л2В2С202 одинаковой ориен-

173 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

тации. Отрезки ЛаЛ2, В\В2 , СхСй , DXD2 разделены течками
Ло, Во, Со, Do в одном и том же отношении, начиная от вершин
одного из этих квадратов. Доказать, что AoBoCoDo — квадрат.
36. Составить несколько задач, используя результат предыдущей
задачи.
37. Даны два правильных одноименных многоугольника Аг А.г ,,, Ап
и ВХ В2… Вп одинаковой ориентации. Отрезки Ах Вг , А2 В2 , …,
Ап Вп разделены точками Cl t С2,…» Сп соответственно в одном
и том же отношении, начиная от вершин одного из этих многоугольников,
Доказать, что многоугольник СХС2 … Сп правильный.
38. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равнобедренные прямоугольные треугольники ABD и ВСЕ
/S — (В = С 90°) одинаковой ориентации. Доказать, что середи-.
ны отрезков АВ, ВС и DE являются вершинами прямоугольного
равнобедренного треугольника,
39. В квадрате ABCD точка О — его центр и М и N — середины
отрезков ВО и CD. Доказать, что треугольник AMN равнобедренный
и прямоугольный.
40. На сторонах четырехугольника A BCD вне его построены равнобедренные
прямоугольные треугольники ABM, BCN, CDP
и DAQ (М = N = Р = Q = 90°). Доказать, что середины
отрезков МР и NQ и середины диагоналей четырехугольника
являются вершинами квадрата.
41. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла
проведена высота CD, Точки М и N делят соответственно
стороны АС и СВ в равных отношениях (начиная от концов
Л и С). Доказать, что треугольник DMN подобен данному тре-
• угольнику,
42. На основании и одной из боковых сторон равнобедренного
треугольника вне его построены квадраты. Доказать, что центры
этих квадратов и середина другой боковой стороны служат
вершинами равнобедренного и прямоугольного треугольника.
43. В прямоугольнике A BCD проведен перпендикуляр В К к диагонали
АС. Точки М и N делят соответственно отрезкй Л К и
CD пополам, Доказать, что BMN — 90ч.
44. Для прямоугольного треугольника ABC построен ему симметричный
— АВСХ относительно гипотенузы АВ. Если точка М —
середина высоты CXD Д АВСХ и N — середина стороны ВС, то
A AMN подобен A ABC, Доказать.
45. Дан параллелограмм A BCD, На прямых А В и ВС выбраны
точки соответственно Н и К так, что треугольники КА В и НС В
равнобедренные (| КА\ = | АВ\ и | НС\ =э | СВ|), Доказать, что
треугольник KDH тоже равнобедренный и точки К, A, D, С
и Н принадлежат одной окружности,
46. Четырехугольник ABCD повернут около некоторой точки О,

174 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

лежащей в его плоскости, на 90° в положение A1 B1 C1 D1 . Доказать,
что если точки Р, Q, R и S суть соответственно середины
отрезков Аг Ву ВХС, C±D и £>ХЛ, то отрезки PR и QS перпендикулярны
и равны по длине.
47. На сторонах четырехугольника вне его построены квадраты.
Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами
четырехугольника с равными по длине и взаимно перпендикулярными
диагоналями.
48. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла
проведена вьшота CD и построена точка Dl y симметричная
точке D относительно катета Л С. Доказать, что точка Л и середины
отрезков DXC и СВ служат вершинами треугольника,
подобного данному.
49. В прямоугольном треугольнике ABC построена точка Dl y симметричная
некоторой точке D катета ВС относительно гипотенузы
ЛВ; Е — точка пересечения отрезков DDt и АВ, М и
N — соответственно середины отрезков ADX и СЕ. Доказать,
что MNB = 90°.
50. В треугольнике ABC проведены высоты ААХ и ВВг и построена
точка Л 2, симметричная точке Л1г относительно прямой Л С;
М и N — соответственно середины отрезков ВХЛ 2 и АВ. Доказать,
что треугольник CMN прямоугольный.
51. На стороне А В треугольника ABC как на диаметре описана
окружность, пересекающая прямые ЛС и ВС соответственно
в точках Лх и Bt . Доказать, что середины хорд АВг и ВАг и
г основание высоты, проведенной из вершины С в данном треугольнике,
образуют треугольник, подобный данному.
‘52. Из произвольной точки М, взятой на окружности, описанной
BqKpyr треугольника ЛВС, проведены перпендикуляры МАг и
МВ\ на стороны ВС и ЛС; Р и Q— соответственно середины
отрезков ЛВ и Л^. Доказать, что PQM = 90°.
53. В треугольнике ABC из вершины Л проведена биссектриса AD
до пересечения с описанной вокруг данного треугольника
окружностью в точке Аг ; М и N — соответственно середины
отрезков CD и Аг В. Доказать, что треугольники АСАЛ и AMN
подобны.
54. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является диаметром
одной из них. Уерез один из концов этого диаметра проведены
касательные к данным окружностям. Доказать, что
другой конец диаметра и середины отрезков проведенных касательных,
отсекаемых окружностями, служат вершинами
прямоугольного треугольника.
55. В треугольнике ABC высоты AD и BE продолжены за вершины
Л и В, и на их продолжениях отложены отрезки ЛМ и BN такие,
что \АМ] Ш [ВС] и [ВМ ^ [ЛС]. Доказать, что отрезки
СМ и CN перпендикулярны, а длины их равны.
56. На сторонах ЛС и ВС треугольника ЛВС вне его построены

175 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

равносторонние треугольники АСВг и ВСЛ; М — середина
стороны АВ и О — центр треугольника ЛСВХ. Определить углы
треугольника МАх О.
57. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены
квадраты АСВАг и ВСЁВ1 . Доказать, что прямые АВХ и ВАХ
пересекаются на высоте данного треугольника, проведенной . к
стороне А В.
58. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники с центрами соответственно
03, 0г и 02. Если С1 у Аъ В± — соответственно середины сторон
А В, ВС и С А, то доказать, что Сг 03 + Ах 0г + Вх02 = О.
59. Дан многоугольник Аг А2 … Ап . Доказать, что векторы
Ь2, …, Ьп , образующие соответственно с векторами А Х А ^ А 2Л3,…,
…, один и тот же ориентированный угол и такие, что
\b1 \=~k |ЛИ2|, \Ь2 \= k \ A M …, | bn | =~k \An Ax \, в сумме
равны нулевому вектору. ^
60. Даны три равносторонних треугольника А±ВС, AJl >E и A3 FQ,
имеющие одинаковую ориентацию, причем точки Лх, Л2 и Л3
являются вершинами равностороннего треугольника той же
ориентации. Доказать, что середины отрезков CD, EF и QB
являются вершинами равностороннего треугольника.
61. Дан параллелограмм ABCD. На его сторонах CD и ЛD построены
в-не его одинаково ориентированные подобные треугольники
CDE и FBC. Доказать, * что треугольник РАЕ подобен им и
одинаково с ними ориентирован.
62. На сторонах АВ, ЛС и ВС треугольника ЛВС, как на основаниях,
построены три равнобедренных подобных треугольника
АВР, ЛСС и BCR\ два первых расположены вне данного треугольника,
третий, напротив, по ту же сторону от (ВС), как и
данный треугольник (или обратна). Доказать, что APRQ —
параллелограмм.
63. На сторонах ЛС и ВС треугольника ЛВС вне его построены
подобные прямоугольники ACMN и BCPQ. Доказать, что
прямые NB и QA пересекаются на высоте треугольника (или
ее продолжении), проведенной из вершины С.
5. Смешанные задачи
1. В конце Л хорды Л В окружности О проведена к ней касательная,
к которой из точки В проведен перпендикуляр ВМ, встречающий
окружность вторично в точке С. Доказать, что центр О,
точка N, делящая хорду ЛВ в отношении | AN\ : |iVB| = 1 : 2,
и точка С’, симметричная точке С относительно точки М, лежат
на одной прямой.
2. Противоположные стороны ЛВ и CD четырехугольника A BCD
разделены соответственно точками М и N в равных отношениях,
считая от точек А и D. Доказать, что отрезок MN делит

176 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

среднюю линию четырехугольника в том же отношении и делится
сам средней линией пополам.
3. Точки Я, Q, R, S делят стороны четырехугольника ABCD так,
что \ A P \ : \ P B \ = \ D Q \ : \ Q C \ = т и \ A R \ : \ R D \ = \ B S \ :
: \ S C \ = n. Доказать, что отрезки PQ и RS делят друг друга
в том же отношении.
4. Доказать, что для всякого многоугольника АХ А\ … Ап найдется
точка О, для которой 0А± + ОЛ2 + … + 0Ап = О,
и что такая точка только одна.
5. В треугольник ABC вписан параллелограмм ADEF так, 4jo
вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах А В, ВС и
АС. Через середину М стороны ВС проведена прямая AM,
пересекающая прямую DE в точке /(. Доказать, что CFDK —
параллелограмм.
6. Через противоположные вершины параллелограмма проведены
прямые, пересекающие его стороны или их продолжения в четырех
точках. Доказать, что эти точки являются вершинами
трапеции или параллелограмма.
7. В трапеции A BCD произвольная точка М боковой стороны А В
соединена с вершинами С и D. Из вершин А и В проведены
прямые AN и BN, параллельные соответственно прямым СМ
и DM. Доказать, что точка N их пересечения принадлежит
стороне CD.
8. Дан четырехугольник ABCD. Прямая, проведенная через вершину
А параллельно стороне ВС, пересекает диагональ BD в
точке Му а прямая, проведенная через вершину В параллельно
стороне AD, пересекает диагональ АС в точке N. Доказать, что
ШАГ] Н ICDL
9. Даны шесть точек. Центроид (точка пересечения медиан) треугольника
с вершинами в трех из этих точек соединяется отрезком
прямой с центроидом треугольника, имеющего своими
вершинами три остальные точки. Доказать, что полученные
таким образом 10 отрезков имеют общую середину.
10. На стороне АС треугольника ABC взята такая точка М, что
\ А М \ = — |ЛС|, а на продолжении стороны ВС — такая
• з
точка N , что |ВЛП = |СВ\. В каком отношении делит точка Р
пересечения отрезков АВ и MN каждый из этих отрезков?
И. Даны три отрезка Ах Аг , BXD2 , Сх Сг . Их середины обозначим
соответственно через А3 , В3 , С3 . Если центры тяжести треугольников
АхВхСх, А^В^С2 , А3 Ва С3 соответственно Мх, М2 , М3 ,
то требуется доказать, что М3 — середина отрезка М г М 2 (или
М1 = М 2 = М3 ).
12. На медиане СМ3 треугольника ABC дана точка М. Через нее
проведены прямые AM и ВМ, пересекающие стороны ВС и
АС соответственно в точках Ау и Вг . Доказать, что отрезок Л1й1
делится медианой СМ3 пополам и параллелен стороне АВ.

177 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

13. На стороне А В треугольника ABC дана точка Р, через которую
проведены прямые параллельно его медианам и ВМ2 и
пересекающие соответствующие стороны треугольника в точках
Аг и Вг . Доказать, что середина отрезка Аг Ви точка Р и
точка пересечения медиан Q данного треугольника лежат на
одной прямой.
14. Расстояние от точки пересечения йедиан треугольника до центра
описанной около него окружности равно одной трети радиуса
этой окружности. Доказать, что треугольник прямоугольный.
15. На даух прямых даны соответственно отрезки АВ и CD. Точками
М и Мх отрезок А В разделен в отношениях \ А С \ : \ BD\
и — | А С | : | BD |, | А С | Ф | BD |, а отрезок C D точками N и А\
разделен соответственно в тех же отношениях. Доказать, что
отрезок M N перпендикулярен отрезку МхА^.
16. Доказать, что если боковые стороны трапеции перпендикулярны,
то сумма квадратов ее оснований равна сумме квадратов
диагоналей.
17. Если в четырехугольнике сумма квадратов его диагоналей
равняется сумме квадратов всех его сторон, то этот четырехугольник
— параллелограмм. Доказать.
18. Даны два одинаково ориентированных квадрата A BCD и
ЛiBADi. Доказать, что \ААг \2 + \ ССг \2 = | ВВг \2 + |DDX \2 .
19. На медиане CMS треугольника ABC дана точка Р, через которую
проведены прямые АР и ВР, пересекающие стороны СВ
и СА соответственно в точках Аг и Вг . Доказать, что если | ААг \=
= \ВВг \, то треугольник равнобедренный.
20. На основании А В равнобедренного треугольника ABC дана
точка Р. Доказать, что | PC\2 = | Л С | 2 — \ А Р \ \ВР\. Выяснить,
как изменится формула, если точка Р расположена на продолжении
основания АВ.
21. Доказать, что если из произвольной точки М, взятой внутри
прямоугольного треугольника ABC (С — прямой угол), провести
перпендикуляры MX, MY, MZ соответственно на стороны
ВС, СА, АВ, то имеет место соотношение \ A Y \ \ А С \ +
+ | B Z \ | В А | + \ С Х \ | СВ | = | АВ?..
22. На продолжениях сторон АВ, ВС, СА треугольника ABC
взяты соответственно точки М, N, Р так, что \ВМ \ = \ А В \ ,
| CN | = \ВС\, \ А Р \ — \ С А |. Вычислить отношение суммы квадратов
сторон треугольника P M N к сумме квадратов сторон
треугольника ABC.
23. Боковые стороны ВС и AD трапеции A BCD повернуты около
своих середин в положительном направлении на 90е, после
чего они занимают положение отрезков [BjCJ и 1 А ^ Х ] . Доказать,
что I D A I — \А1 В1 [.
24. На сторонах АВ, CD и EF центрально-сймметричшг© шестиугольника
построены одинаково ориентированные равносторонние
треугольники АВР, CDQ и EFR. Доказать, что треугольна

178 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

ник PRQ равносторонний (в частности, он может выродиться
в точку).
25. Сторона АС треугольника ABC повернута около вершины А
на +90°, а сторона ВС повернута около вершины В на —90°.
Доказать, что положение середины отрезка СхС2, соединяющего
концы С± и С2 повернутых отрезков, не зависит от поло-
• жения вершины С.
26. На сторонах четырехугольника, как на диаметрах, построены
полуокружности, причем две противоположные полуокружно-
♦ сти обращены внутрь четырехугольника, а две другие — во
внешнюю область. Доказать, что середины этих полуокружностей
являются вершинами параллелограмма.
27. Дан квадрат. Строятся всевозможные равнобедренные прямоугольные
треугольники, вершина одного из острых углов которых
совпадает с вершиной квадрата, а вершина прямого угла
принадлежит его диагонали. Найти множество третьих вершин
рассматриваемых треугольников.
28. На сторонах произвольного треугольника вне* его построены
квадраты. Тогда высоты треугольника, вершины которого являются
центрами этих квадратов, проходят соответственно
через вершины данного треугольника. Доказать.
29. В треугольнике ABC проведены высоты АА1 У ВВг и ССХ; Л0,
В0, С0 — середины этих высот. Доказать, что треугольники
Л0В0С0, В0С0 Аг и Aq Cq Bx подобны.
30. Даны параллельные прямые gx и g2 и две пары точек А1 9 А2 и
Вь В2. На прямых найти соответственно такие точки С± и С2,
чтобы (AxCi) || (Л2С2) и (BjlCi) || (В2С2).
31. В четырехугольнике’ A BCD стороны ВС и AD точками Въ В2
и Al t А2 соответственно разделены на равные части. Можно
ли провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между
сторонами А В и CD, разделился на равные части прямыми
AiBi и А2 В2 ?
32. Даны три точки А1 % Ви Сг . Считая их точками деления соот-
• ветствующих сторон некоторого треугольника ABC в отношении
2 i 1 в одном и том же направлении обхода, построить треугольник
ЛВС.
33. На гипотенузе прямоугольного треугольника или на ее продолжении
найти такую точку, чтобы прямая, соединяющая ее
проекции на катеты, была перпендикулярна гипотенузе.
34. В треугольнике ЛВС проведена биссектриса ЛD. Выразить
вектор AD через векторы ЛВ = с и ЛС — Ь.
35. Пусть [ОЛ), [ОВ), [ОС) — три луча, пересекающие две прямые
■ а и Ъ соответственно в точках Л, В, С и А1 У Въ Сг так, что | Л В |:
I | ВС| = ос, | ОЛ | : | Л Л Х | — р. Найти зависимость между отношениями
| ОВ | ! | ОВх| == х и | ОС J ! | OCL | — у.
36. Противоположные хтороны Л В и DC, ЛD и ВС четырехугольника
ABCD пересекаются соответственно в точках Е и F.

179 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Доказать, что образовавшиеся отрезки удовлетворяют равенству
\ А Е \ \ С Е \ „ | A F 1 1 C F |
\ B E \ \ D E | \ B F \ \ D F \ ‘
37. Для того чтобы точка О принадлежала треугольнику ABC,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство QO =*
= pQA + qQB -f rQCy где Q — произвольная точка плоскости
и Р + q + Г =; 1, р > 0, q > 0, г > 0. Доказать.
38. Прямая, проходящая через центр тяжести треугольника, делит
его стороны на некоторые отрезки. Найти зависимость между
отношением длин отрезков одной стороны и отношением длин
отрезков другой стороны.
39. Даны две точки А и В. Найти множество точек X плоскости,
удовлетворяющие условию QX — mQA + tiQB, где т + п <
< 1 ( т + п > 1 ) и Q — произвольная точка одной из полуплоскостей,
образуемых прямой АВ.
40. Доказать, что если в четырехугольнике продолжения противоположных
сторон попарно пересекаются, то середина отрезка,
соединяющего эти точки пересечения, лежит на одной прямой
с серединами диагоналей.
41. Доказать, что сумма четвертых степеней расстояний данной
точки, расположенной в плоскости некоторой окружности, до
вершин любого вписанного в нее квадрата постоянна.

180 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Школьная Математика.

Около

Статистика


Яндекс.Метрика