Композиция гомотетий

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости. § 2. Композиция гомотетий.

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости.

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

 § 2. Композиция гомотетий.

Теорема 1 . Композиция двух и большего числа гомотетий
есть либо гомотетия, либо параллельный перенос.
Доказательство . При гомотетии любая прямая отображается
на параллельную ей прямую. Отношение параллельности
прямых транзитивно. Поэтому при композиции двух и большего
числа гомотетий любая прямая отображается на параллельную
ей прямую. По теореме 3 (§ 1) можно утверждать, что эта композиция
есть либо гомотетия, либо перенос.
Центр гомотетии (или пара точек, определяющих перенос) композиции
гомотетий может быть получен конструктивным путем.
Рассмотрим, например, композицию гомотетий Н™ и N ф М.
Легко заметить, что образ точки М при композиции Нft о Н™
принадлежит прямой MN: Нм о Нм = Н% (М) = М2. Точка
М и ее образ М2 при гомотетии лежат на одной прямой с центром
N гомотетии. Для произвольной точки X плоскости построим ее
образ Х2 при композиции Hfi о //«*.

193 Композиция гомотетий.

Если ( M N ) П ( X X 2) — Р (рис. 15, а), то композиция tfj} о Н»}
есть гомотетия (см. признак гомотетии в § 1), а точка Р — ее центр.
Одновременно установлено, что если композиция двух гомотетий
есть гомотетия, то центры всех трех гомотетий принадлежат
одной прямой.
Если прямые MN и ХХ2 параллельны (рис. 15, б), то композиция
Hfi о — параллельный перенос (см. признак параллельного
переноса в § 1). Так как Ны ° Нм (X) = Х2, то искомый перенос
определяется парой точек (X; Х2) или (М; М 2 ) .
Рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве данной
теоремы, показывают, что композиция гомотетии и параллельного
переноса есть либо гомотетия, либо перенос. Если коэффициент
к гомотетии отличен от 1, то при композиции гомотетии и переноса
любые точки X и Y отображаются на такие точки X t и Y l t что выполняется
равенство I XjFJ = \ k \ |X Y \ . Следовательно, композиция
гомотетии (отличной от тождественного преобразования) и
переноса есть гомотетия.
При выяснении вопроса о композиции гомотетий можно пользоваться
также векторным уравнением гомотетии. Получим его.
Пусть О — некоторая точка плоскости и Н ™ — данная гомотетия.
Для произвольной точки X плоскости имеем:
( Н м ( Х ) = X j ) фф ( Ш 1 ^ т М Х ) ^ ( д Х 1 — 6 М = т О Х — тОМ)&
ф=> (0Х1== тОХ + (1 — т) О М ) .
Таким образом, уравнение
ОХ1=тОХ + (1 — т ) О М ,
где X — любая точка плоскости, есть векторное уравнение гомотетии
Н м — Заметим, что сумма коэффициентов при О Х и О М равна
единице.
Выведем также векторное уравнение параллельного переноса а .
Для произвольной точки X плоскости имеем:
( а ( X ) = Xj) (ХХх = а ) о (ОХ, — ОХ1= а ) ^ (0Хх= ОХ+ а ) .

194 Композиция гомотетий.

Выясним теперь, чему равна композиция гомотетий Н™ и tfJJ.
Если Н% о Я* (X) = НЪ (Xt) — Х2, то _
6Х1=тбХ + (1 — т ) 0 М , (1)
ОХ2 = nOXt + (1 — п) ON. (2)
Подставляя в равенство (2) значение 0ХУ из равенства (1), получим
уравнение
ОХ2 = mnOX-f- и (1 — т) ОМ -f (1 — п) ON. (3)
Рассмотрим случаи, когда тп ф 1 и тп = 1.
1) тп ф 1.
Вектор, равный сумме векторов n (1 — т) ОМ и (1 п) ON,
обозначим (1 —тп) ОР:
n{\ — m ) O M + { \ — n ) O N = ( \ — m n ) O P . (4)
Уравнение (3) примет вид:
0Х2 = тпОХ + (1 — тп) ОР. (5)
Уравнение (5) есть уравнение гомотетии с центром в точке Р и
с коэффициентом тп.
Таким образом, если тп ф 1, то композиция Ни °Нм есть гомотетия
с коэффициентом тп и с центром Р, где
OP = пОМ + ON. (6)
1— т п 1— т п
В равенстве (6) сумма коэффициентов при ОМ и ON равна коэффициенту
при ОР. Это означает, что точки М, N и Р лежат на одной
прямой.
Если М — N, то точка Р также совпадает с М и N (см. равенства
4 и б). .. Л 2) тп = 1.
Подставляя в уравнение (3) значение тп = 1, получим:
ОХ2 =■ ОХ + (1 —/г) М/V. (7)
Уравнение (7) есть уравнение переноса (1 — п) MN.
Следовательно, если тп — 1, то композиция Hn ° Нм есть перенос
(1 — п) MN. Если М = N, то MN — О, 0Х2 = ОХ, а значит,
композиция Hn о Нм есть тождественное преобразование

195 Композиция гомотетий.

Похожие статьи:
Школьная Математика. Школьный курс математики. Школьная математика скачать. Школьные учебники по математике.
Школьные задачи по математике. Математика 1 класс. Математика 2 КЛАСС. Математика 3 КЛАСС. 

Околоadmin