Абелевы группы

112 Абелевы группы. 

Теорема 19.2. р-группа A является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда A есть
объединение возрастающей последовательности подгрупп
Ai С A2 С … с An С … , и An = A,
n=l
где высоты ненулевых элементов, входящих в An, меньше фиксированного числа kn-
Группа C называется коциклической, если существует такой элемент c € C, что всякий гомоморфизм <р: C — B, где
c € Ker ф, является мономорфизмом. Известно, что группа C коциклическая тогда и только тогда, когда C = Zpk,
k = 1, 2, … или то.
Топология в абелевых группах может быть введена различными способами. Наиболее существенными являются
линейные топологии. Это такие топологии, что имеется база (фундаментальная система) окрестностей нуля,
состоящая из подгрупп, причем смежные классы по этим подгруппам образуют базу открытых множеств.
Большое значение имеют следующие топологии.
1. Z-адическая топология, где базу окрестностей нуля образуют подгруппы nA (n € Z, n = 0). Она хаусдорфова
тогда и только тогда, когда A1 =0 (через A1 для группы A обозначается ее подгруппа A1 = П nA), дискретна n=l
тогда и только тогда, когда nA = 0 для некоторого n.
2. р-адическая топология, где базу окрестностей нуля образуют подгруппы PkA (k = 0, 1, 2, …).
3. Топология конечных индексов, где базу окрестностей нуля составляют подгруппы U группы A, имеющие конечный
индекс.
Абелева группа A называется делимой, если nA = A и р-делимой, если PnA = A для каждого натурального числа
n.
Пусть — кардинальное число. Группа называется №^-свободной, если все ее подгруппы мощности < свободны.
Теорема 19.3. Прямое произведение бесконечного множества бесконечных циклических групп является №i-
свободной, но не свободной группой.
Как правило, в этой главе под словом «группа» понимается «абелева группа».
Задачи
19.1. Всякий эпиморфизм конечной группы на себя является ее автоморфизмом.
19.2. Разложите в прямую сумму группы: Z6, Z12, Z60, Z900.
19.3. Прямая сумма Zn 0 Zm является циклической группой тогда и только тогда, когда (m, n) = 1.
19.4. Подгруппа является максимальной тогда и только тогда, когда ее индекс — простое число.
19.5. Найдите с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка 2, 6, 8, 12, 16, 24, 36, 48.
19.6. Изоморфны ли группы: Z6 0 Z36 и Z12 0 Zis; Z6 0 Z36 и Z9 0 Z24; Z6 0 Zio 0 Z10 и Z60 0 Z10?
19.7. Сколько подгрупп порядков 2 и 6 (порядков 5 и 15) в нециклической группе порядка 12 (порядка 75)?
19.8. Сколько элементов:
а) порядка 2, 4 и 6 в группе Z2 0 Z3 0 Z4;
б) порядков 2, 4 и 5 в группе Z2 0 Z4 0 Z4 0 Z5?
19.9. Докажите неразложимость групп: Zp, Z, Zp^, Q и Zp. Будут ли неразложимыми также и их подгруппы?
19.10. Если в группе подгруппы Ai, … , An имеют конечные попарно взаимно простые порядки, то их сумма
является прямой.
19.11. 1) C есть прямая сумма подгрупп вещественных и чисто мнимых чисел.
2) R* есть прямое произведение подгруппы положительных чисел и подгруппы чисел ±1.
3) C* есть прямое произведение группы положительных вещественных чисел и группы всех комплексных чисел, по
модулю равных 1.
19.12. 1) Замыкание BA подгруппы B в Z-адической топологии группы A задается формулой BA = П (B + nnA=)l.
2) Подгруппа B группы A замкнута в Z-адической топологии тогда и только тогда, когда (A/B)1 = 0.
3) Подгруппа B группы A плотна в Z-адической топологии тогда и только тогда, когда A/B — делимая группа.
4) Z-адическая и р-адическая топологии на группе A совпадают, если qA = A для любого простого q = р.
19.13. 1) Если на группе A задана линейная топология, то всякая открытая ее подгруппа B будет замкнутой.

113 Абелевы группы. 

2) Всякий групповой гомоморфизм непрерывен в Z-адической, в р-адической и в топологии конечных индексов.
19.14. Для группы A эквивалентны следующие условия:
а) р-адическая топология группы A хаусдорфова;
б) A не содержит ненулевых элементов бесконечной р-высоты;
в) I _ e(-hp(a)) является нормой на группе A (a Е A);
г) S(a, b) _ 11a — b|| служит метрикой на группе A (a,b Е A), определяющей ее р-адическую топологию.
19.15. Разложите в прямую сумму циклических групп факторгруппу A/В, где A — свободная группа с базисом
xi,x2,x3, а В — ее подгруппа, порожденная элементами У1,У2,У3′-
У1 _ 7xi + 2×2 + 3хз,
а) ^ У2 _ 21xi + 8×2 + 9хз, б)
[ Уз _ 5xi — 4×2 + 3×3;
19.16. 1) Если A/В — бесконечная циклическая группа, то подгруппа В — прямое слагаемое в A.
2) Если A/В _ 0 (Cj/В), и В выделяется прямым слагаемым в каждой группе Ci, то В — прямое слагаемое в A.
iei
3) Если A/В — свободная группа, то подгруппа В — прямое слагаемое в A.
19.17. 1) Множество A [п] _ {а Е A | na _ 0 для фиксированного натурального п} образует вполне инвариантную
подгруппу группы A.
2) Множество Soc A _ {а Е A | о (а) — число, не делящееся на квадрат} образует вполне инвариантную подгруппу —
это цоколь группы A как Z-модуля; Soc A _ A[p] для р-группы A, Soc A _ 0 тогда и только тогда, когда A —
группа без кручения.
3) Периодическая часть t(A) образует вполне инвариантную подгруппу группы A.
4) Если В — произвольная подгруппа в A, то Ь(В) _ t(A) П В и Soc В _ (Soc A) П В.
19.18. Прямая сумма р-групп (периодических групп) сама является р-группой (периодической группой). Когда
прямое произведение периодических групп является периодической группой?
19.19. Всякая конечно порожденная группа является прямой суммой свободной группы конечного ранга и конечной
группы.
19.20. Если В С A, В1 < IAI и мощность IAI бесконечна, то IA/В| _ |A|.
19.21. Для всякого гомоморфизма а: A i В существует точная последовательность
0 i Ker а i A В i В/ Im a i 0.
19.22 (5-лемма, ср. с 15.41). Пусть
_ 6×1 + 5×2 + 7×3,
_ 8×1 + 7×2 + 11×3,
_ 6xi + 5×2 + 11×3.
Ai _ai
A2 Q2 A3 аз. A4 04′ A5
I71 |72 |73 |74 |75
В! в1. В2 02 ; В3 В4
в4: В5
— коммутативная диаграмма с точными строками. Тогда
а) если 7i — эпиморфизм, а 72, 74 — мономорфизмы, то 73 — мономорфизм;
б) если 75 — мономорфизм, а 72, 74 — эпиморфизмы, то 73 — эпиморфизм;
в) если Yi — эпиморфизм, 75 — мономорфизм, 72,74 — изоморфизмы, то 73 — изоморфизм.
19.23 (3 х 3-лемма). Предположим, что диаграмма
0 0 0
I I I
0 i Ai —ii B1 Ci i
I Ai 1 Mi 1 vi
0 i A2 — В2 C2 i
I A2 1 M2 I V2
0 i A3 —ii
3 В
C3 i
I I I
0 0 0

114 Абелевы группы. 

коммутативна, а все три ее столбца точны. Тогда если первые две или две последние строки точны, то оставшаяся
строка тоже точна.
19.24. Диаграмма:
G
а) ■п б)
0 — A B -— C,
A B -— C — 0
ьG
с точной строкой может быть пополнена гомоморфизмом ф, где а) ф: G — A, б) ф: C — G, так, чтобы получилась
коммутативная диаграмма тогда и только тогда, когда а) вп = 0, б) па = 0. При этом гомоморфизм ф определяется
однозначно.
19.25. 1) Пересечение всех максимальных подгрупп группы A одного и того же простого индекса р совпадает с pA.
2) Подгруппа Фраттини Ф^) совпадает с пересечением подгрупп pA, где р пробегает все простые числа.
3) Найдите подгруппу Фраттини групп Zn, Z, Zp«, Q, Qp, Q(p), Zp (см. 3.51 и 20.19).
19.26. Пусть фi: Bi — A, ^i: A — Bi — гомоморфизмы, i € I. Тогда существуют единственные гомоморфизмы
ф: 0 Bi — A, ф: A — П Bi, превращающие диаграммы
iei iei
Bi _Рг
0 Bi A 1a A
Wi
iei ■р ipi
A 1а A,
=4
—— Bi
в коммутативные, где pi — вложения, ni — проекции.
19.27. Если даны гомоморфизмы а: A — C и в: B — C, то существуют такая группа G, определенная однозначно
с точностью до изоморфизма, и такие гомоморфизмы y: G — A, S: G — B, что 1) диаграмма (*)
G
i*
B
A
коммутативна, и 2) если
C
— коммутативная диаграмма, то существует однозначно определенный гомоморфизм ф: G’ — G со свойствами
Yф = y’ и Sф = S’.
Коммутативная диаграмма (*), удовлетворяющая условию 2), называется коуниверсальным квадратом.
19.28. Если даны гомоморфизмы а: C — A и в: C — B, то существуют такая группа G, определенная однозначно
с точностью до изоморфизма, и такие гомоморфизмы y: A — G, S: B — G, что 1) диаграмма (**)
коммутативна, и 2) если
C
ie
B
C
ie
B
A
■b
G
A
i y’
G
— коммутативная диаграмма, то существует однозначно определенный гомоморфизм ф: G — G со свойствами
ФY = y’ и фS = S’.
Коммутативная диаграмма (**), удовлетворяющая условию 2), называется универсальным квадратом.
19.29. 1) Если в коуниверсальном квадрате (*) гомоморфизм а является мономорфизмом (эпиморфизмом), то и S —
мономорфизм (эпиморфизм).
2) Если в универсальном квадрате (**) гомоморфизм а является мономорфизмом (эпиморфизмом), то и S — мономорфизм
(эпиморфизм).

115 Абелевы группы. 

19.30. Периодическая группа A является прямой суммой всех своих р-компонент.
19.31. 1) Q/Z = 0 Zp~, а (Zp)m = 0 Zp для каждого бесконечного кардинального числа т.
p 2m
к
2) Если n = рГ … pk, то A/nA = 0 A/pГ A.
19.32. Две свободные группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг.
19.33. Множество X = {xi | i € I} образующих группы F является системой свободных образующих (и, следовательно,
F является свободной группой) тогда и только тогда, когда всякое отображение ф множества X в группу
A может быть продолжено до ровно одного гомоморфизма ф: F — A (ср. с 5.43).
Группа G называется проективной, если G — проективный Z-модуль (см. § 17).
19.34. Группа проективна тогда и только тогда, когда она — свободная группа.
19.35. Если F — такая группа, что из B С A и A/B = F всегда вытекает, что B — прямое слагаемое группы A,
то F — свободная группа.
19.36. 1) Если F — свободная группа, G — ее подгруппа, а H — прямое слагаемое, то G П H — прямое слагаемое
группы G.
2) Пересечение конечного числа прямых слагаемых свободной группы само является прямым слагаемым.
19.37. Пусть B — подгруппа группы A и C является B-высокой подгруппой в A (т.е. C — максимальная подгруппа
в A, имеющая нулевое пересечение с B; другими словами, C — д.п. для B в A). Тогда A = B 0 C в том и только в
том случае, когда из равенства pa = b + c (a € A, b € B, c € C) следует pb’ = b для некоторого b’ € B.
19.38. Независимая система M элементов группы A максимальна, если и только если {M) — существенная подгруппа
группы A. Всякая максимальная независимая система элементов существенной подгруппы группы A является
максимальной независимой системой и в A.
19.39. Пусть B — подгруппа группы A. Тогда:
а) r(B) ^ r(A);
б) r(A) ^ r(B) + r(A/B), причем возможен случай, когда r(A) < r(A/B);
в) ro(A) = ro(B) + ro(A/B).
19.40. Пусть Bi (i € I) — такие подгруппы группы A, что A = ^ Bi. Тогда r(A) ^ ^ r(Bi), причем если сумма
iei iei прямая, то имеет место равенство.
19.41. Группа бесконечного ранга т содержит в точности 2т различных подгрупп.
19.42. 1) Группа A не содержит разложимых подгрупп тогда и только тогда, когда r(A) ^ 1.
2) r(A) ^ 1 тогда и только тогда, когда группа A изоморфна подгруппе группы Q или подгруппе некоторой группы
19.43. 1) Если E — существенная подгруппа группы A и B С A, то E П B — существенная подгруппа в B.
2) Подгруппа B группы A является существенной тогда и только тогда, когда Soc A С B и A/B — периодическая
группа.
3) Подгруппа B группы A является существенной тогда и только тогда, когда всякий гомоморфизм а : A — G в
произвольную группу G является мономорфизмом, если его ограничение на подгруппу B есть мономорфизм.
19.44 (Ср. с 15.56 и 15.57). Группа A является элементарной тогда и только тогда, когда выполнено одно из
следующих условий:
а) каждая подгруппа группы A — прямое слагаемое в A;
б) она является периодической группой, подгруппа Фраттини которой нулевая;
в) она является единственной существенной своей подгруппой.
Группа A называется ограниченной, если nA = 0 для некоторого n € N.
19.45. Ограниченная группа является прямой суммой циклических групп.
19.46. Счетная р-группа A является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда она не содержит
ненулевых элементов бесконечной высоты.
19.47. Пусть A — периодическая подгруппа прямого произведения Zp*.. Тогда A есть р-группа мощности кон-
n=l
тинуума без элементов бесконечной высоты, группа A не является прямой суммой циклических групп. Этот пример
показывает, что требование счетности в 19.46 существенно.

116 Абелевы группы. 

Прямые разложения A _ 0 Bi и A _ 0 Cj называются изоморфными, если существует биекция f: I i J такая,
iei jeJ
что Ai = Cf (i) при всех i Е I.
19.48. Любые два разложения группы в прямую сумму циклических групп бесконечного порядка и порядков, равных
степеням простых чисел, изоморфны.
19.49. Пусть A, В — прямые суммы циклических групп. Тогда из A 0 A = В 0 В вытекает A = В, а из 0 A = 0 В
#0 N0
не следует A = В.
19.50. Пусть G _ 0 Zpk. Тогда всякая счетная р-группа является эпиморфным образом группы G, а всякая
k=i
р-группа мощности m > №о является эпиморфным образом прямой суммы m групп, изоморфных группе G.
19.51. Подгруппы прямых сумм циклических групп сами являются прямыми суммами циклических групп.
19.52. Счетная группа без кручения является свободной тогда и только тогда, когда каждая ее подгруппа конечного
ранга свободна.
19.53. Всякая счетная группа A может быть представлена в виде A _ N 0 F, где F — свободная группа, а группа
N не имеет свободных факторгрупп. Подгруппа N определяется группой A однозначно.
19.54. Группа делима тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
а) в ней нет максимальных подгрупп, т.е. когда она совпадает со своей подгруппой Фраттини;
б) она не имеет ненулевых конечных эпиморфных образов.
19.55. 1) Прямая сумма и прямое произведение групп делимы, если и только если каждое слагаемое является
делимой группой.
2) Группы Q, R, C, а также Zp^, делимы.
3) Факторгруппа делимой группы делима.
4) Если В и A /В — делимые группы, то группа A также делима.
5) Аддитивная группа любого поля характеристики 0 является делимой группой без кручения.
6) Факторгруппа Zp/Z делима.
Группа D называется инъективной, если она инъективна как Z-модуль (см. § 17). Инъективность группы D можно
интерпретировать как возможность продолжить любой гомоморфизм <р: A i D до гомоморфизма группы В,
содержащей A, в группу D.
19.56. Делимые группы инъективны (см. 17.20 6)).
19.57. Делимая подгруппа D группы A служит для A прямым слагаемым, т.е. A = D0C для некоторой подгруппы
C группы A. Эту подгруппу C можно выбрать так, что она будет содержать заранее заданную подгруппу В группы
A, для которой D П В = 0.
Группа называется редуцированной, если она не содержит ненулевых делимых подгрупп.
19.58. Всякая группа A является прямой суммой делимой группы D и редуцированной группы C, A = D 0 C.
Подгруппа D группы A здесь определяется однозначно (ее называют делимой частью группы A), подгруппа C —
с точностью до изоморфизма.
Теорема, содержащаяся в 19.58, имеет большое значение для теории абелевых групп, поскольку сводит проблему
описания строения абелевых групп к проблеме описания строения делимых и редуцированных групп.
19.59. Всякая делимая группа D является прямой суммой квазициклических групп и групп, изоморфных группе
Q. Таким образом, для делимой группы D имеет место разложение
D = 0 Q 0 0 (0 Zp~),
П0 p Пр
где по _ ro(D), np _ r(Dp).
19.60. Группа R изоморфна группе 0 Q и RN0 =0 R.
2*0 N0
19.61. Пусть K _ П Zp~, где р пробегает все простые числа. Покажите, что K изоморфна группе вещественных
p
чисел, рассматриваемых по модулю 1, и K = (0 Zp^) 0 ( 0 Q).
p 2*0
19.62. Если m — бесконечное кардинальное число, то П Zp« = 2® (Zp“ 0 Q).
Группа A, необязательно абелева, называется хопфовой, если всякий эпиморфизм группы A на себя является автоморфизмом.
Аналогично определяются хопфовы модули, хопфовы кольца и другие подобные объекты. Конечная
абелева группа всегда хопфова (упр. 19.1). Любая свободная группа конечного ранга хопфова (А.И. Мальцев). В то

117 Абелевы группы. 

же время доказано существование нехопфовых групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением.
В следующем упражнении группы предполагаются абелевыми.
19.63. 1) Хопфовость группы A равносильна отсутствию у A изоморфных себе собственных факторгрупп, т.е.
таких факторгрупп A/C, что C = 0 и A = A/C.
2) Конечно порожденная группа хопфова.
3) Прямое слагаемое хопфовой группы есть хопфова группа. С другой стороны, существует хопфова группа A
такая, что группа A 0 A не хопфова.
4) Хопфова группа не имеет прямых слагаемых, являющихся прямой суммой бесконечного числа копий какой-либо
группы.
19.64. Квазиинъективная группа (т.е. квазиинъективный Z-модуль) или инъективна, или является периодической
группой, р-компоненты которой — прямые суммы изоморфных между собой циклических групп.
19.65. Всякую группу можно вложить в качестве подгруппы в некоторую делимую группу.
Для заданной группы A делимая группа E, содержащая A, называется минимальной делимой группой, если в E
нет собственных делимых подгрупп, содержащих A.
19.66. 1) Делимая группа E, содержащая группу A, является минимальной делимой группой тогда и только тогда,
когда A — существенная подгруппа группы E.
2) Всякая делимая группа E, подгруппой которой является группа A, имеет минимальную делимую группу, содержащую
A, причем любые две минимальные делимые группы, содержащие A, изоморфны над A.
Минимальную делимую группу E, содержащую группу A, называют делимой (или инъективной) оболочкой группы
A. Так как ro(E) = ro(A) и r(Ep) = r(Ap) для каждого простого р, то строение делимой оболочки группы A
полностью определяется рангами группы A.
19.67. (См. упр. 17.21). Для группы D эквивалентны следующие условия:
а) D — делимая группа;
б) D — инъективная группа;
в) D служит прямым слагаемым для всякой содержащей ее группы.
19.68. Пусть A — группа без кручения, E — множество всех пар (a, т), где a € A, т — натуральное число и
(a, m) = (b, n), если и только если mb = na. Пусть, далее, (a, m) + (b, n) = (na + mb, mn). Покажите, что E —
минимальная делимая группа, содержащая образ мономорфизма A — E, a — (a, 1), a € A.
19.69. Делимая оболочка группы A является делимой оболочкой подгруппы B группы A тогда и только тогда,
когда B — существенная подгруппа группы A.
19.70. 1) Делимая группа D, содержащая группу A, минимальна в точности тогда, когда D/A — периодическая
группа и A содержит цоколь группы D.
2) Если D — делимая оболочка p-делимой группы A, то факторгруппа D/A имеет нулевую р-компоненту.
19.71. Если группа A служит прямым слагаемым для всякой такой содержащей ее группы G, что G/A — квази-
циклическая группа, то A — делимая группа.
19.72. Если C — такая подгруппа группы B, что факторгруппа B/C изоморфна какой-то подгруппе группы G, то
существует такая содержащая B группа A, что A/C = G.
Если a — элемент порядка рк группы A, то через e(a) = к обозначим его экспоненту. Положим A[pk] = {a €
A I pka = 0}, причем если A — р-группа, то A[pTO] = A.
19.73. Пусть A = B 0 D, где B — редуцированная, а D — делимая группы. Подгруппа H вполне инвариантна в
A тогда и только тогда, когда Н имеет один из следующих видов:
а) Н = B’ 0 (0pDp [pkp]), где B’ — периодическая вполне инвариантная подгруппа группы B и kp ^ mp =
sup{e(b) | b € Bp};
б) H = B’ 0 D, где B’ — вполне инвариантная подгруппа группы B.
19.74. Периодические квазинепрерывные группы (т.е. квазинепрерывные Z-модули) являются квазиинъективными,
а разложимые квазинепрерывные группы без кручения являются инъективными.
Подгруппа H группы A называется инвариантной относительно проекций, если пН С H для каждой проекции п
группы A.
19.75. 1) Прямое слагаемое, инвариантное относительно проекций, является вполне инвариантным.
2) Если H — подгруппа группы A, инвариантная относительно проекций, и п — проекция группы A, то отображение
a + Н — na + Н — проекция группы A/H; в частности, если A = B 0 C, то A/H = (B + Н)/Н 0 (C + Н)/Н.

118 Абелевы группы.

3) Если H, В — такие подгруппы группы A, что H С В и H инвариантна относительно проекций группы A, а
В/H инвариантна относительно проекций группы A/H, то В инвариантна относительно проекций группы A.
4) Инвариантная относительно проекций подгруппа H группы A = 0Ai является вполне инвариантной тогда и
только тогда, когда каждая H П Ai — вполне инвариантная подгруппа группы Ai.
19.76. Пусть A = В0D, где В — редуцированная, D — делимая группы, D = Do0t(D). Подгруппа H инвариантна
относительно проекций группы A тогда и только тогда, когда H имеет один из следующих видов:
а) H = В’ 0 (0p Dp [р^]), где В’ — инвариантная относительно проекций периодическая подгруппа группы В и
kp ^ mp = sup{e(b) | b Е В.’};
б) H = В’ 0 D0 0 t(D), где В’ — инвариантная относительно проекций подгруппа группы В, 0 = D0 С Do, причем
D’o = Do, если В’ — непериодическая группа или если группа Do разложима.

119 Абелевы группы.