Аддитивные группы колец

27. Аддитивные группы колец.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

147 Аддитивные группы колец.

Теорема 27.4. Умножение л на p-группе A полностью определяется своими значениями x(ai, aj), где элементы
ai и aj пробегают p-базис группы A.
Более того, для любого выбора значений fx(ai, aj) € A, где элементы ai и aj берутся из некоторого p-базиса
группы A, при единственном условии, чтобы всегда выполнялось неравенство o(x(ai,aj)) ^ min (o(ai), o(aj)),
существует умножение на группе A, являющееся продолжением сопоставления (ai, aj ) — x(ai, aj).
Абелеву группу называют нильгруппой, если она допускает лишь тривиальное умножение. Если же группа допускает
лишь конечное число неизоморфных колец, то ее называют квазинильгруппой.
Теорема 27.5. Периодическая группа является нильгруппой тогда и только тогда, когда она делима. Смешанных
нильгрупп не существует.
Периодическая группа является квазинильгруппой тогда и только тогда, когда A = B 0 D, где B — конечная
группа, D — делимая группа.
Теорема 27.6. Кольцо без кручения ранга 1 либо является нуль-кольцом, либо изоморфно некоторому подкольцу
поля рациональных чисел, имеющему вид mZ(q-1, j € J), где (m, qj) = 1. Группа без кручения ранга 1 не является
нильгруппой, если и только если ее тип идемпотентен.

Задачи

27.1. В каждом кольце R имеются следующие идеалы: nR и R [п] для всякого п, периодическая часть t(R) и ее
p-компоненты, цоколь и делимая часть. Более общо, для всякого левого (правого) идеала L кольца R подобные
подмножества также являются левыми (правыми) идеалами кольца R.
27.2. 1) Если R — периодическое кольцо, то R1 — аннулятор кольца R, а разложение R = 0 Rp является теоретико-
р кольцевым.
2) Если R — кольцо без кручения, то x(ac) ^ x(a)x(c) для всех a, c € R, поэтому для всякого идеала L и для
всякого типа t подгруппы L(x), L(t) — идеалы кольца R (по поводу обозначений см. § 24).
3) В кольце R без кручения с единицей 1 всегда x(1) ^ X(a) для всех a € R.
4) Вполне инвариантные подгруппы группы R+ всегда являются идеалами в кольце R независимо от того, каким
образом в R определено умножение.
27.3. Обозначим через I(A) = (фA \ ф € Hom(A, (End A)+)) — подгруппу, порожденную всеми гомоморфными
образами группы A в группе (End A)+. Покажите, что:
а) I(A) — идеал кольца End A;
б) подгруппа C группы A служит идеалом в каждом кольце на группе A, если и только если C является I(A)-
допустимой подгруппой, т.е. I(A)C С C;
в) если A — редуцированная периодическая группа, то I(A) — периодическая часть группы (End A)+.
27.4. В группе A только вполне инвариантные подгруппы являются идеалами в каждом кольце на A в том и
только в том случае, когда для всякого a € A группа (End A)+ порождается единицей и подгруппами I(A) и
{п € End A \ na = 0}.
27.5. 1) Если A — циклическая группа, то Mult A = A.
2) Если mA = 0, то m Mult A = 0.
3) Если pA = A, то Mult A не содержит элементов порядка p.
4) Если группа A не содержит элементов порядка p, то их не содержит и группа Mult A.
27.6. Умножения л и v определяют изоморфные кольца на группе A тогда и только тогда, когда существует
автоморфизм а группы A, сохраняющий произведения, т.е. x(a, b) = a-1v(aa, аЬ) при всех a, b € A.
27.7. 1) Умножения, являющиеся коммутативными, образуют подгруппу Multc A группы Mult A.
2) Если C = (a 0 b — b 0 a \ для всех a, b € A), то Multc A = Hom((A 0 A)/C, A).
27.8. Приведите пример, показывающий, что ассоциативные умножения не образуют подгруппу в группе Mult A.
27.9. 1) Умножения л и v на группе Z определяют изоморфные кольца тогда и только тогда, когда л = ±v.
2) Существует бесконечно много неизоморфных колец на группе Z, и каждое из них изоморфно nZ (п > 0), либо
нуль-кольцу на Z.
27.10. 1) Умножения л и v на группе Zm определяют изоморфные кольца тогда и только тогда, когда л = kv при
некотором к, для которого (к, m) = 1.
2) Каждое кольцо на группе Zp« изоморфно одному из колец pkZ/pn+kZ (к = 0, 1, … , п).

148 Аддитивные группы колец.

27.11. Всякое кольцо на группе Zp изоморфно одному из колец рkZp (к = 0, 1, …) или нуль-кольцу на Zp.
27.12. Пусть C — чистая и плотная в Z-адической топологии подгруппа редуцированной группы A. Тогда частичное
умножение v: C х C — A может быть продолжено до умножения л: A х A — A не более чем одним способом.
27.13. Пусть R — кольцо без кручения и D — делимое кольцо, такое же, как в теореме 27.2. Установите взаимно
однозначное соответствие между чистыми левыми идеалами в R и чистыми левыми идеалами в D. Проверьте, что
при этом соответствии простые идеалы переходят в простые.
27.14. Если A — периодическая группа и A1 =0, то существует естественный изоморфизм Mult A = Mult A.
27.15. Если A — редуцированная периодическая группа и A• — ее копериодическая оболочка, то существует
естественный изоморфизм Mult A• = Mult A.
27.16. Пусть A — периодическая группа, F = (~) рA — ее подгруппа Фраттини. Тогда:
p
а) аннулятор всякого кольца на группе A содержит A1;
б) всякий элемент из F порождает нильпотентный идеал в каждом кольце на A.
27.17. Пусть A — периодическая группа. Тогда:
а) подгруппа Фраттини F группы A содержится в радикале Джекобсона всякого ассоциативного кольца на
группе A;
б) существует ассоциативное и коммутативное кольцо на группе A, радикал которого совпадает с F.
27.18. Постройте такое р-кольцо, которое не является нильпотентным, но каждый его элемент порождает нильпо-
тентный идеал.
27.19. Всякий простой идеал и всякий максимальный идеал р-кольца R содержит рR.
27.20. Пусть R — некоторое р-кольцо. Тогда если каждый элемент из некоторой базисной подгруппы группы R+
является нильпотентным, то и каждый элемент из R нильпотентен.
27.21. Радикал Джекобсона произвольного кольца на смешанной группе всегда содержит подгруппу Фраттини ее
периодической части.
27.22. Для произвольного максимального левого идеала M кольца без кручения R либо (R/M)+ — делимая группа
без кручения, либо рR С M при некотором простом числе р.
27.23. Пусть F — свободная группа и G — подгруппа группы F. Покажите, что существует такое кольцо R на
группе F, что аддитивная группа кольца R2 совпадает с G.
27.24. Свободная группа конечного ранга допускает счетное число попарно неизоморфных ассоциативных колец.
27.25. Пусть R, S, T — рациональные группы, содержащие целые числа, и (R, S, T) = {д Е Q | gRS С T}.
Покажите, что:
а) (R, S, T) — подгруппа группы Q;
б) если A = 0 Ri, где Ri — такие рациональные группы, что (Ri, Rj, Rk) = 0 при любом выборе индексов
iei
i, j, к Е I, то A — нильгруппа.
27.26. Существуют нильгруппы без кручения произвольного ранга.
27.27. 1) Если A, C — нильгруппы, то группа A 0 C не обязана быть нильгруппой.
2) Всякая ненулевая делимая группа без кручения служит аддитивной группой некоторого поля.
3) Группа A служит аддитивной группой некоторого булева кольца тогда и только тогда, когда A является элементарной
2-группой.

149 Аддитивные группы колец.

Околоadmin