Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):
Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова
(стр. 227-246)
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
§ 2. Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой. А. М. Абрамов НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ.
За неопределяемые понятия в курсе планиметрии принимаются
«точка», «прямая», «расстояние». Множество всех рассматриваемых
в планиметрии точек — плоскость (в стереометрии это тоже основное
понятие).
При иных подходах к аксиоматическому построению евклидовой
планиметрии выбирались и другие наборы основных понятий.
Например, в системе Гильберта к неопределяемым понятиям
отнесены «точка», «прямая», «принадлежит», «между»,
«конгруэнтность» (отрезков и углов). В развиваемой теории последние
три понятия определяются.
Простейшие свойства основных понятий формулируются в 12
аксиомах, разбитых на пять групп. Далее эти аксиомы будут
вводиться постепенно. Каждая аксиома или группа аксиом используется
с возможно большей интенсивностью, т. е. нужные
предложения доказываются с привлечением не всех аксиом системы,
а лишь той ее части, которая необходима для доказатель^
ства этих предложений. Постепенность введения аксиом обусловлена
и другими соображениями. Например, при введении аксиомы
A.III.3 предполагается, что уже определено понятие «луч», существование
и свойства которого вытекают из аксиом А ЛИЛ
и А.III.2.
К первой группе аксиом относятся аксиомы принадлежности:
А Л Л . Прямая есть множество точек.
А.1.2. Для любых двух точек существует одна и только одна
прямая, их содержащая.
A.I.3. Существует хотя бы одна прямая; каждой прямой
принадлежит хотя бы одна точка. 1
Простейшим следствием этих аксиом является теорема, доказанная
в «Геометрии, 6—8»;
231 Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
либо не имеют общих точек.
Как это вытекает из аксиомы А.1.1, в обсуждаемой аксиоматике
принят теоретико-множественный подход к пониманию отношения
принадлежности точек прямым: в плоскости — множестве а, элементы
которого называются точками (обозначаются прописными
латинскими буквами А, В, С, …), —выделена система L подмножеств
ос, называемых прямыми (обозначаются строчными латинскими
буквами (а, Ь, с,…). Таким образом, отношение принадлежности,
связывающее элементы а и L, есть известное из теории множеств
отношение принадлежности элемента множеству. Прямая — один
из видов геометрических фигур — произвольных подмножеств плоскости.
Другие фигуры определяются ниже.
Отметим, что теоретико-множественное понимание принадлежности
точек прямым не является единственно возможным. Так,
согласно Гильберту, есть две системы вещей: система прямых и система
точек. Между этими системами установлено некоторое отношение
«инцидентности» (принадлежности), которое в схеме Гильберта
относится к неопределяемым, и, следовательно, прямые не
обязательно множества точек.
Аксиомы второй группы — а к с и о м ы р а с с т о я н и я :
A.11.1. Любым точкам А и В поставлено в соответствие неотрицательное
действительное число \АВ\, называемое расстоянием
от точки А до точки В. Расстояние \ АВ\ равно нулю тогда
и только тогда, когда точки А и В различны.
А.11.2. Для любых точек А и В расстояния \АВ\ и\ВА\ равны:
\АВ\=\ВА\.
A.11.3. Для любых точек А, В и С расстояние от А до С не
больше суммы расстояний от А до В иотВдоС: | ЛС| ^|ЛВ|+|£С|.
Аксиома IIЛ проясняет природу основного понятия «расстояние
» — это отображение, при котором всем упорядоченным парам
точек плоскости ставится в соответствие число.
С помощью перечисленных основных понятий в «Геометрии,
6—8» даются определения понятий «окружность» и «круг», «лежать
между», «отрезок». Напомним определения последних двух понятий.
Будем говорить, что точка X лежит между точками А и В,
если эти точки различный |АХ\ + |ХВ\ = \АВ\. Отрезком называется
множество, состоящее из двух точек, а также всех точек, лежащих
между ними.
Если точка X лежит между точками Л и В, то, следуя Кокстеру,
будем писать: [АХВ].
У.2.1. Если [АХВ], то [ВХА], но неверно, что [ХАВ], [ХВА],
1АВХ), [ВАХ\.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению отношения .«лежать
между» точки А, X, В различны и
\АХ\ + \ХВ\ = \АВ [.
232 Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
Отсюда, учитывая равенство (1), получаем, что X лежит между В
и А.
Остальные предложения доказываются аналогично. Докажем
для примера, что точка В не лежит между X и А. Пусть это не так.
Тогда
\ХВ\ + \ВА\ = \ХА\. (2)
Из A.11.1 следует, что \АХ\ >0, \ХВ\ >0, |Л5|>0 (поусловию
точки А, X и В попарно различны). Из равенства (2) получаем,
что \ХА\ > \АВ\, а из (1) \ХА \ < \АВ\. Противоречие.
Доказанное утверждение имеет относительную ценность: оно
применимо, если известно, что на плоскости существуют тройки
точек, из которых одна лежит между двумя другими. Доказать это
из выписанных аксиом пока нельзя. Приведем пример.
Пусть — дискретное пространство (пример В из § 1). «Прямой»
назовем любую пару различных элементов — «точек» Хг . В этой
модели выполнены все перечисленные аксиомы, однако множество
точек, лежащих между любыми двумя данными, пусто.
Более того, из перечисленных аксиом нельзя вывести, что существуют
хотя бы две точки. Модель, в которой плоскостью является
одноэлементное множество {Л}, являющееся и точкой, и прямой,
и в которой задано расстояние ( | Л Л | = 0), удовлетворяет всем
сформулированным аксиомам. Чтобы получить содержательные
утверждения, необходимо увеличить список допущений.
Сформулируем аксиомы третьей группы — а к с и о м ы п о р
я д к а .
В предыдущих изданиях учебного пособия геометрии первыми
двумя из аксиом порядка являлись аксиома о разбиении прямой
и аксиома «если одна из трех точек лежит между двумя другими,
то эти три точки лежат на одной прямой». С целью упрощения изложения
теперь первые две аксиомы даются в новой редакции:
А.II 1.1. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только
тогда, когда одна из них лежит между двумя другими.
А.III.2. Любая точка О произвольной прямой р разбивает множество
отличных от О точек прямой р на два непустых подмножества
majt, Фпо тбчка О лежит между любыми двумя точками,
принадлежащими рМШм множествам.
Слово 1разбивает» в этой формулировке означает, что подмножества
р’о и р»о, о которых здесь идет речь, образуют разбиение
множества р \ {О}, т. е. р \ {0} = р’0 U р»0, р’о ф0, р»оФ0.
Из A.HI.1 сразу следует:
У.2.2. На любой прямой существуют хотя бы три точки.
Д о к а з а т е л ь с т в о . На любой прямой р существует хотя
бы одна точка О (А.1.3). В силу A.III.2 множества р’0 и р»0 непусты
и, следовательно, содержат хотя бы по одной точке.
У .2.3. Пусть р’0 и р»0 — пара подмножеств прямой р, удовлет-
233 Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
л и а каждого из этих подмножеств одна из них лежит между
другой и точкой О.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А 6 Ро» & £ Р’о> А Ф В.
Тогда в силу А.II 1.1 одна из точек А, О я В лежит между двумя
другими. Если [ОАВ] или \ОВА\, то утверждение доказано. Допустим,
что это не так и точка О лежит между А и В:
\АО\ + \ОВ\ = \АВ\. (1)
Вследствие А. II 1.2 р»0 Ф 0 и, следовательно, существует точка
С 6 р»0, такая, что О лежит между А я С, О лежит между В и С,
т. е.
\СО\ + \ОА\ = \СА\, (2)
| СО | + I OB I = I СВ |. (3)
Почленно складывая неравенства (2) и (3), получим:
\ С А \ + \СВ\ = 2\С0\ + (\0А\ + \0В\) = 2\С0\+\АВ\.
По предположению СфО, следовательно, ] СО| >0, и |ЛС| +
+ \СВ\ > | АВ\, т. е. точка С не может лежать между Aw В.
Предположение [САВ] также ведет к противоречию. Действительно,
если | С А | -f- \АВ\ = \СВ\, то из (1) и (3) получаем:
(|СО| + |ОЛ|) + (|ЛО| + |ОВ|) = | С О | + |ОВ|.
Отсюда 2| ОЛ | — 0, и, значит, О =а Л (А.II.2).
Наконец, допущение [С В А] также невозможно: в этом случае
|СВ| + \ВА \ =з | СЛ|; из (1) и (3) следует:
(|С0| + |05|) + (|0Л| +|ОВ|) = 1СО| + |ОЛ|,
т. е. 2 | ОВ\ — 0 и О = В, что противоречит выбору точек О я В.
Таким образом, ни одна из точек Л, В и С, принадлежащих
прямой р, не может лежать между двумя другими. Это противоречит
аксиоме А.II 1.1, и, значит, допущение [АОВ] неверно.
Докажем теперь единственность разбиения, удовлетворяющего
требованиям аксиомы А.II 1.2. Для этого надо доказать, что если
{р’0, р0} я {q’Q, q»0) — разбиения множества р \{0}, удовлетворяющие
требованиям этой аксиомы, то либо р’0 — q’0, р»0 = q»0, либо
Ро ” 3 Ро = Уо‘
Вследствие A.III.1 существует точка Л, принадлежащая р’0 ♦
Так как q’0 (J q»0 — р\{0), эта точка принадлежит q’0 или q»0,
Пусть Л 6 <7о‘ Допустим, что р’0 ф q’0. Тогда существует такая
точка В, что В 6 р’0» В ^ q’Q (случай В£ q’0, В i р’0 рассматривается
аналогично).
Поскольку q’0 U q»Q = р \ {О}, имеем: В £ q»0. Из условий
В ер’0 , А ер’о и У. 2.3 следует: [А ВО] или [В АО].
Из условий В £ q»0, А £ q’0 и А . I I 1.2 вытекает соотношение
234 Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
[АОВ]. Пришли к противоречию с У.2.1. Значит, р’0 = q’0. Очевидно,
что р»0 = q»0.
Элементы разбиения, удовлетворяющие требованиям аксиомы
А.III.2, называются открытыми лучами и обозначаются р’0 и р»0.
Точка О называется началом этих открытых лучей. Объединение
открытого луча и его начала называетея_лучом с началом О. Лучи
прямой р с началом О будем обозначать р0 и р0. Луч с началом А,
содержащий точку В, обозначается также [ А В).
Следствием аксиомы A.III.1 является такое утверждение, доказанное
в «Геометрии, 6—8»:
У.2.4. Для любых точек А, В а С, не принадлежащих одной
прямой, ■\АС\ < \АВ\ + \ВС\.
Очевидно другое следствие этой аксиомы:
У.2.5. Отрезок АВ — подмножество прямой АВ.
У.2.6. Если С и D — различные точки отрезка АВ, то: 1) прямые
АВ и CD совпадают; 2) отрезок CD — подмножество отрезка
АВ.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Так как отрезок АВ — подмножество
(АВ) (это следует из АЛII.1), то С 6 (АВ), D £ (АВ). По
А. 1.2 (АВ) = (CD).
2) Пусть р ‘а — открытый луч с началом А, содержащий точку
В; С и D — внутренние точки отрезка АВ (случаи совпадения
этих точек с А или В рассматриваются аналогично). Тогда верны
соотношения [АСВ], [ADB], и вследствие A.III.2 С 6 Ра , D 6 Ра —
Снова применяя У.2.3, получим, что верно либо соотношение
IACD], либо соотношение [ADC]. Допустим для определенности,
что точка С лежит между А и D, т. е.
\AC\ + \CD\ = \AD\. (3)
Пусть X — произвольная точка отрезка CD. Тогда
\CX\ + \XD\ = \CD\.’ ■ (4)
Из A.11.3 следует:
| Л Х | < | Л С | + |СХ|,
| B X | < | B D | + |DX|.
Сложив почленно эти неравенства, получим:
| Л Х | + | £ Х | < | Л С | + (|СХ| + |ХЯ|) + |ЯВ|.. (5)
Из соотношений (3), (4) и (5) следует:
|AX| + |BX|<(|i4C| + |CD|) + |DB|=|^Dl + |DB| = |i4B|,
| Л Х | + | Х В | < | Л В | .
Но вследствие А Л 1.3
\ А Х \ + \ Х В \ ^ \ А В \ .
235 Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
Значит, \АХ\ + | Х 5 | — \АВ\, т. е. X £ [АВ]. Точка X—произвольная
внутренняя точка отрезка CD, следовательно, [CD]czlAB J,
А. II 1.3. Для любого неотрицательного действительного числа а
на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка,
расстояние от которой до начала О равно числу а.
Из бесконечности множества действительных чисел и А . I I 1.3
сразу получаем, что прямая и луч — бесконечные множества (заметим,
что этот факт может быть установлен с несколько большими
трудностями и без привлечения этой аксиомы). Аксиома А ЛII .3
имеет целый ряд других более важных следствий: ее естественно
назвать аксиомой непрерывности, которая в той или иной форме
присутствует в любой системе аксиом евклидовой плоскости.
Т е о р е м а 2.3. Для любой прямой р существует такое отображение
ф множества R действительных чисел на р, что\ для
любых двух действительных чисел х и у
| -V — у 1 = I <Р ( х ) ф (у) |.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть О — произвольная точка прямой
р. Построим следующее отображение ф множества R на р:
1. Если х > 0, то ф {х) — такая точка А открытого луча ро,
что \ОА \ = х.
2. Если у < 0, то ф (у) — такая точка В открытого луча ро>
что | ОВ\ = —у.
3. ф (0) — 0.
Вследствие А . I I 1.3 любому действительному числу ставится
вполне определенная точка при отображении ф.
ф — отображение R на р. Действительно, всякой точке С прямой
р соответствует расстояние | ОС\(A.II.1). Поэтому если С£ ро*
то С = ф (с); если С 6 Ро, то С = ф (—с).
Пусть, например, х > 0, у < 0. Тогда ф (х) — точка А 6 Ро,
причем | ОА | = х; ф (у) — точка В, принадлежащая р»0, причем
| О В | = —у. Так как точки А и В принадлежат противоположным
открытым лучам с общим началом О, то по А . I I I . 2
1 ф ( * ) ф ( у ) 1 = \ЛВ| — \АО\+ \ОВ\ = х+(-у) = u — y j .
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Полученный результат можно сформулировать иначе: любая
прямая изометрична множеству действительных чисел R.
Если задано изометрическое отображение прямой р на множество
действительных чисел, то будем говорить, что на прямой задана
система координат. Из доказательства теоремы 2.3 видно, что любая
точка О прямой р может быть принята за начало системы координат
(образ нуля); точкам любого из двух открытых лучей с началом
О можно отнести положительные числа.
Свойства действительных чисел хорошо известны. Поэтому теорема
2.3 избавляет от необходимости каждый раз проводить формальные
доказательства наглядно очевидных предложений о расположении
точек на прямой, С помощью этой теоремы такие обоснования
236 Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
зать такие утверждения:
У.2.7. Если на прямой р задана система координат, то точки
одного из открытых лучей с началом А имеют координаты, большие
хА, а точки другого — меньшие хА.
У.2.8. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
(Серединой отрезка называется точка этого отрезка, равноудаленная
от его концов.)
Хотя перечисленные аксиомы и позволяют доказать известные
теоремы о расположении точек на прямой, о других свойствах плоскости
мы узнаем мало. В частности, пока нельзя доказать, что вне
любой прямой имеются точки или что существует более одной
прямой. Действительно, эти свойства не имеют места в модели, точками
которой являются действительные числа, прямой и плоскостью
одновременно — множество действительных чисел, а расстояние
находится по формуле р (х, у) = \ х— у|, хотя в этой модели и
выполняются все указанные аксиомы.
237 Следствия из аксиом принадлежности, расстояния и порядка на прямой.
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Школьная математика. Математика в школе.
Околоadmin
