§ 7. Более сложные примеры

Глава IV. Разложение многочленов на множители.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Более сложные примеры

Мы разобрали несколько приемов разложения многочлена на множители—
вынесение за скобку, способ группировки, разложение
одночленов на подобные слагаемые, использование формул сокращенного
умножения. Не существует никаких общих правил для того,
какими из этих приемов и в каких сочетаниях их друг с другом
надлежит пользоваться для достижения цели в каждом частном случае.
(Конечно, если это возможно, следует раньше всего сделать
вынесение за скобку. Это никогда не ведет к усложнению, но часто
упрощает задачу.) Поэтому, прежде чем приступить к выкладке,
необходимо вдуматься в строение разлагаемого многочлена и составить
план действий. Для того чтобы показать, как составлять
этот план, рассмотрим несколько более сложных примеров.
Пример. Разложить на множители многочлен
х’2у х у 2 -j- x*z 4“ x z 2 -\-y 2z -\-y z2 -f- 2xyz.

105 Алгебра. Более сложные примеры. Скачать школьные учебники по математике.

Решени е . Мы видим, что если из суммы первых двух слагаемых
вынести х у , в скобке останется х — \ — у . Попробуем сгруппировать
остальные слагаемые так, чтобы х-\-у входило множителем в
сумму слагаемых каждой группы. Мы видим, что «хорошей» в этом
смысле группой является сумма х г 2 4 *y z 2; при вынесении из нее за
скобку z2 в скобке останется х — \ — у . Остается группа слагаемых
x 2z -{ -y 2z -\-2 x y z . Если в этой группе вынести за скобку z, то в
скобке останется х 2-\-у 2-\~2ху, т. е. квадрат суммы (л;-|-.)0* Итак,
+ ХУ2 + x%z + xz* + У*г -\~Уг<* + 2xyz —
== (х*у -f- х у 2) 4 “ (xz2 -{-yz2) -f- (X2Z -{-y*Z 4 — 2xyz) =
*= x y (x + y ) + Z*(x -|ly ) + г (xa + 2x y) =
= xy ( * + j 0 + 2s (*-f-.V) + z(*-{-.y)a =
= [х у 4 — г а+ г г (д г + ^ ) ] (x+_y) =
= (za -\-zx + zy + xy) (x-j-y).
Перрый множитель можно разложить дальше, воспользовавшись
способом группировки:
(za+ z x + zy + ху) (х + у ) = [г (г + х )^ -у (z + х) ] (х +_у) =
— (2 -\-У) (2 + х) (х +.У)-
Пример, х 3 — Зха— З х — j- b
Решени е . Здесь прежде всего бросается в глаза _ сходство с
кубом суммы или разности чисел, л?-и 1. Однако это сходство обманчиво—
знаки не те! Поэтому следует искать другой прием. Например,
хорошо сгруппировать вместе крайние члены х г и 1 и средние —
—Ъх2 и—Зл;, ибо лг34 -1 содержит , множитель х -{-1 по формуле
суммы кубов, и тот же множитель лг 4 -1 обнаруживается в
—Зл;2 — Зл; посредством вынесения за скобку. Итак,
Хъ — Зл;2 — Зл;-}- 1 = л ; 34 — 1 — Зл;2 — Зл; =
= (х —|— 1) (х2 — х 4* Зх (х —j— 1) = (х 4 — 1) (л;2 — 4 х —j— 1)
Пример. а4 4 “ 2аъЬ — Ъа2Ь2 — 4 аЬъ — Ь\
Решение . Здесь целесообразно член — За262 разбить на сумму
двух членов а2Ь2 и—4а2Ь2. Действительно, тогда сумма первых трех
членов, а также взятая с обратным знаком сумма последних трех
представится в виде квадратов, и после этого останется применить
формулу для разложения разности квадратов. Осуществим этот план:
а4 -}- 2 а6Ь — Ъа2Ь2 — 4 аЬъ — Ь* =
= а4 -}- 2а36 -}- а2Ъ2 — 4 а2Ь2 — 4 аЬъ — & =
== а4 4 — 2аЧ 4 — а2Ь2— (4а2Ь2 4 — Ш 4 — 64) =
— (а2 4- аЪ)2 — (2 аЬ + Ь2)2 =
= (а2 -}- ЪаЬ 4- Ь2) (a2 — ab — Ь2).

106 Алгебра. Более сложные примеры. Скачать школьные учебники по математике.

Пример, д6 — й6.
Решение.
Способ L д6 —й6 = (а3)2 — (й3)2 = (а3 — й3) (а3 + й3) =
= (а — й) (а2 + аЪ + й 2) (а + й) (а2 — аЪ + й2).
Способ 2. а6 — й6 = (а2)3 — (й2)3 = (а2 — й2) (а4 + д2й2 + й4) =
= (д — й) (д + й) (д4 + д2й2 + й4).
Сравнивая результаты, мы видим, что a1 ~f- а2й2 + й4 разлагается на
два множителя: (a2 -f- ob й2) и (а2 — дй-{-£*)• В этом можно убедиться
и непосредственно:
а4 — f д2й2 + й4 = а4 + 2д2й2 + й4 — д2й2 = (д2 — f й2)2 — (дй)2 =
= (д2 + й2 + дй) (д2 -{- й2 — дй).
Пример. Разложить на множители л;4+ 4*
Решен ие .
л:4 4 = л;4 -f- 4л:2 -|- 4 — 4л:2 = (л:2 -f- 2)2 — (2л:)2 =
= (л;2 — 2х + 2) (л:2 + 2л; + 2).
Пример. Разложить на множители л:4 — Зл:2-}-9.
Решение.
л:4 — Зл;2 — f 9 = х 1 + 6л:2 + 9 — 9лг2 = (л:2 + З)2 — (Зл:)2 =
= (л:2 — Зл: + 3) (л:2-f-Зл: + 3),
В последних двух примерах разложение удается посредством
преобразования’ в разность квадратов. Этот прием часто ведет к
.цели при разложении так называемого биквадратного трехчлена,
т. е. трехчлена, составленного из четвертой и второй степеней Одной
буквы с некоторыми коэффициентами и свободного члена.

Упражнения

Разлож&ть на множители:
1. — л 8— 1. 4. х 4 + 2л:8+ Злг* + 2 л 4- 1.
2. а* — 2а8Ь — 8а*й* — 6аЬ* — Ь4. 5. л 5 — 1.
3. х*у + х у ‘* + хН + xz* + уН + y z 1 + 3xyz.

107 Алгебра. Более сложные примеры. Скачать школьные учебники по математике.

Околоadmin