§ 4. Способ группировки

Глава IV. Разложение многочленов на множители.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Способ группировки

Рассмотрим следующий пример на умножение многочленов:
(а —]— Ь) (с —j— d) == а(с -j— d) -j— Ь{с —}-“^) = ас —j— ad -j— be —|—bd*
Мы воспользовались правилом 1 умножения многочлена на* многочлен
(гл. III, § 9).
Представим теперь себе, что у нас поставлена обратная задача.
Дан многочлен ас -j- ad -f- be bd. Требуется разложить его на множители.
Очевидно, что для этого нужно провести те же вычисления,
но в обратном порядке:
ас — ad —j— be —J— bd = a(c —j— d) — b(c —J— d) = (a —J— b) (с -f- d).
Мы объединяем первое слагаемое со вторым и выносим из их суммы
а за скобку, одновременно объединяем третье и четвертое слагаемые
и из их суммы выносим за скобку Ы В обеих скобках получается
одно и то же выражение с + й, и его снова выносим за скобку.

102 Алгебра. Способ группировки. Школьный курс математики.

Рассмотрим теперь еще один пример, в котором разложение На
множители заранее неизвестно.
Приме р . Разложить на множители многочлен
3 ас -f- 3 ad — 2 be — 2 bd.
Решение . Мы видим, что если объединить первое и второе
слагаемые, то из их суммы можно вынести за скобку За, а из суммы
третьего слагаемого с четвертым можно вынести за скобку — 2Ь. В
обоих случаях в скобке остается одно и то же выражение c-j-d,
так что многочлен преобразуется в сумму двух слагаемых, имеющих
общий множитель с -j-d. После этого можно вынести за скобку c -\-d .
Наметив такой план преобразований, переходим к его осуществлению:
Зас + 3ad — 2be — 2bd = За (с —j— d) — §b (с -\-d) = (За — 2b) (с -f- d\.
Ответ. (За — 2b) (с -J- d).
Примененный в рассмотренном примере способ называется способом
группировки. В общем виде способ группировки состоит в том, что
слагаемые, из которых составлен многочлен, объединяются в группы
с таким расчетом, чтобы после вынесения в каждой группе некоторых
одночленов за скобку в скобках оказались бы одинаковые многочлены.
Конечно, совсем не обязательно объединять слагаемые, находящиеся
рядом, как это было сделано в рассмотренных примерах. В многочлене
Ъас -}- 3ad — 2be — 2bd мы могли с тем же успехом объединить первое
слагаемое С третьим, а второе с четвертым. Действительно,
Зас -f- 3ad —.2be — 2bd— (ba — 2b) с -j- (За — 2b) d ,= (За—2b)(c-\-d).
А в многочлене a*-f-4&c — аъ — 4ac группировка соседних слагаемых
ничего не дает. Здесь нужно объединить первое слагаемое
с третьим, второе с четвертым или первое с четвертым, второе с третьим:
а2 -f- Abc — ab—_ 4 ас = a (a — b) — 4с (a — b) = (a — 4c) (a — b)
или
a^-f- 4 be — ab — 4ac = a (a — 4c) — b(a — 4c) = (a — b) (a — 4c).

Упражнения

Разложить на множители многочлены:
1. 4*sy — 4л;уа— у + х> 3. а* + а — 2а£ + 3 + За* — 6А
2. 2ах + ау — a z—2bx— by + bz. 4. а* + 3 — f За* + с

103. Алгебра. Способ группировки. Школьный курс математики.

Околоadmin