§ 3. Порядок действий. Вычисления алгебраического выражения.

ГЛАВА I. УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Математика просто и доступно.

Вычисления алгебраического выражения.

В алгебре принят тот же порядок действий, что и в арифметике.
Именно:
П р а в и л о 1. Если для вычисления алгебраического выражения
требуется произвести два действия, то порядок действий
указывается скобками. При этом сначала выполняется действие,
указанное в скобках.
Например, выражение
{a -f- b) с
означает, что сначала надо к числу а прибавить число Ь> а потом
полученную сумму умножить на число с. Выражение
а: (Ьс)
означает, что сначала надо число b умножить на число г, а потом
число а разделить на полученное произведение.
П р а в и л о 2. Если для вычисления алгебраического выражения
требуется произвести более двух действий, то порядок действий
указывается несколькими различными скобками. При этом одни
скобки заключают внутри других и сначала выполняют действие,
указанное во внутренних скобках.
Например, выражение
[(а + b) с] — d
означает, что сначала надо к числу а прибавить число Ь, затем полученную
сумму умножить на число с и, наконец, из полученного произведения
вычесть число d. Выражение
( a + b ) — ( c — d )
означает, что сначала производятся сложение и вычитание и последним
производится умножение суммы на разность.
Для того чтобы упростить запись алгебраических выражений и
реже употреблять скобки, допускаются следующие исключения из
правил 1 и 2:
1. Для того чтобы записать сумму нескольких слагаемых, достаточно
написать их в том порядке, в котором надо производить сложение,
и поставить между ними знак т. е. вместо выражения
(a -f- b) -f- с
можно писать
a -f- Ъ -j- с;
вместо выражения
[(a + b)-\-c]+d
можно писать
а —|— b —J— с —j- d\

19 Вычисления алгебраического выражения. Математика просто и доступно

вместо выражения
{[(a-H)-f c] + t f } — f e
можно писать
с -\-d-\-е
и т. д.
2. Если требуется произвести последовательно несколько действий
сложения и вычитания, то числа и знаки пишутся в том порядке,
в котором должны выполняться действия. Например, вместо
{[ (a -f- b) — с] -f- d] — е
пишут
а-^Ь — с -\-d — е.
3. Для того чтобы записать произведение нескольких сомножителей,
достаточно приписать их друг к другу в том порядке, в
котором надо производить умножение, т. е, вместо выражения
[(ab)c]d
можно писать
abed;
вместо выражения
{[ (ab) с] d} в
можно писать
abede
и т. д.
4. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени,
а умножение и деление — действиями второй ступени.
Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести
сначала действие второй ступени, а потом действие первой
ступени, скобки можно не писать. Например, выражение
a — (b: с)
\ означает то же, что и выражение
a — b: с,
т. е. что сначала надо b разделить на с и затем из а вычесть полученное
частное. Выражение a-\-(bc) можно без скобок писать так:
a-\-bc.
5. Если деление указано чертой, то сначала вычисляются отдельно
числитель и знаменатель и последним действием выполняется деление
числителя на знаменатель. Например, выражение
a + Ъ
c — d

20  Вычисления алгебраического выражения. Математика просто и доступно

означает, что сначала производятся сложение и вычитание и последним—
деление суммы на разность. Это же выражение можно записать
и при помощи другого знака деления (:), но тогда надо ставить
скобки, т. е. писать так:
(а + 6):(с — d).
П р и м е р . Вычислить выражение
(За + Щ с
[,a — (b + c)\(a + b)
при а = 4; 6 = 2; с— 1.
Р е ш е н и е .
1) За = 3 • 4 = 12. 6) а —(6 + 0 = 4 — 3 = 1.
2) 56 = 5 • 2 = 10. 7) а + 6 = 6.
3) З а + 5 6 = 1 2 + 10 = 22. 8) [а — (6. + О](*+ Ъ)= 1 • б = б.
4) (За + 56) • с = 22 . 1 = 22. Qx (За + 5Ь)с 22 _____________________ 11
5) ^ + = ‘ [a-(b + c)](a + b) “6 3 •
Ответ.
З а д а ч а . На заготовительный пункт в первый день поступило
а т картофеля, во второй день на b т больше, чем в первый, а в
третий на с т меньше, чем в первые два дня вместе. Сколько тонн
картофеля поступило на заготовительный пункт за три дня?
Рассмотреть частный случай: а=100; 6 = 50; с = 75.
Р е ш е н и е . Во второй день поступило (а+ 6) т. В первый и
второй день вместе поступило [а + (а + 6)] т. В третий день поступило
{[я + (а + 6)] — с} т. За три дня поступило
[а + (а + 6) + {[а + (а + 6)] — с}] /я.
Ответ. [а + (а + 6) + {[а + (а + 6)] — с}]
Частный случай:
а + (а -|- Ь) + {[а + (а + Ь)\ — с) =
= 100 + (100 -j- 50) + {[100 + (100 + 50)] — 75} =
= 100 4- 150+ 175 = 425.
З а д а ч а . Из двух пунктов, расстояние между которыми S км,
вышли одновременно навстречу друг другу два поезда со скоростями,
соответственно равными км/час и г/2 км/час. Через сколько
часов после выхода поездов расстояние между ними будет равно 5 км?
Рассмотреть частный случай: S = 520; ^ = 39; х/2 = 41; 5=100.
Р е ш е н и е . Расстояние между поездами каждый час сокращается
на (^1 + г>2) км, Для того чтобы расстояние между поездами стало

21  Вычисления алгебраического выражения. Математика просто и доступно

равным s км, необходимо, чтобы оно уменьшилось на S — s км.
g _ £
Это произойдет через :— часов после выхода поездов.
“Г ^2
Ответ. —v ч а с . t + Vg
Частный случай:
S — s 520—100 420 — 5* 1 -т- час. Vi + v9 39 + 41 80 4
З а д а ч а . Пионеры одной школы собрали А кг семян дуба,
клена, белой акации и желтой акации. Семян желтой акации собрали
а кг, семян белой акации собрали на b кг меньше, чем семян
желтой акации. Семян клена собрали на с кг больше, чем семян
белой и желтой акации вместе. Семян дуба собрали в d раз больше,
чем семян клена.
Составить уравнение, выражающее зависимость между А, а, Ь, с, d.
Р е ш е н и е . Семян белой акации собрано (а — Ь) кг. Семян белой
и желтой акации вместе собрано [а-\-(а — Ь)\ кг. Семян клена собрано
{[а-\-(а — Ь)\-\-с) кг. Семян дуба собрано [{[a-J-(a — b)] -J-
с) d] кг. Всего семян собрано
[а-\-(а — b)-\- {[a -J- (<а — Ь)\ -{- с] 4~ {[a -f- (а — b)\ -J- с} d\ кг.
Но, по условиям задачи, всего собрано А кг семян. Значит,
А = а + (а — Ь) + {[а + (а — Ь)] +с} + {[а +(а — b)] + c)d.
Ответ. А=а-\-{а — Ь)-\-{[а-\-{а — Ь))-\-с} 4~
{[а 4“ (а — Ь)\ 4- с\ d.
З а д а ч а . Основание прямоугольника а м, высота b м. Если основание
этого прямоугольника увеличить в с раз, а высоту уменьшить
в d раз, то получится новый прямоугольник, площадь которого на
k м2 меньше площади данного прямоугольника.
Составить уравнение, выражающее зависимость между а, b, с, d, k.
Р е ш е н и е . Основание нового прямоугольника ас м. Высота
нового прямоугольника м. Площадь нового прямоугольника
ас мI Площадь данного прямоугольника (ас + k) м2. Но при
другом способе подсчета площадь данного прямоугольника равна
аЬ м*. Значит ab — ac-~- +k.
Ответ. аЬ = ас ——k.
З а д а ч а . Числитель дроби а, знаменатель на b больше числителя.
Если от числителя и знаменателя дроби отнять по х, то новая
3
дробь будет составлять — исходной. Составить уравнение, выражающее
зависимость между а, b и д;.

22  Вычисления алгебраического выражения. Математика просто и доступно

Р е ш е н и е . Знаменатель дроби а-\-Ь. Исходная дробь — .
Новая дробь -^azrj^zrx или, в силу последнего условия,
0 а — х 3 а
оначит,* т( а- г+— Ьп) -—— -х— — = -т“4 • —па-т\ -*Ь
~ а — х 3 а
Ответ. -—————— = —(а—г * х— 4г ат b

23  Вычисления алгебраического выражения.

Математика просто и доступно

Околоadmin